第3章练习答案

1、第3章练习答案概率论与数理统计第三章习题1. 一射手对某目标进行了三次独立射击，现将观察这些次射击是否命中 作为试验，试写出此试验的样本空间；试在样本空间上定义一个函数以 指示射手在这三次独立射击中命中目标的次数；设已知射手每次射击目 标的命中率为0.7，试写出命中次数的概率分布。解：设A “第i次射中”，i 1,2,3则 (,A2,Aa),( A,A2,Aa),(, A2,A3),( A1,A2,A3),(A1,A?,A3), (Ai, A2, A3),( A1, A2, A3),( A1, A2, A3)1 ,2,3,4,5 ,6 ,7,8令代表击中目标的次数，则(1)3,(2)(3)(4

2、) 2，( 5)(6)( 7)1(8)0P(3)P(1)p(AAA3)3(0.7)0.343P(2)P(2)P( 3) P(4)3卩(人民乓)3 0.7 0.7 (1 0.7)0.441P( 1) P( 5) P( 6)P( 7) 3P(AA2A3)3 0.7 (1 0.7) (1 0.7)0.189P( 0)P( 80)卩(入兀入3)3(1 0.7)0.027所以，的分布列为01230.0270.1890.4410.343 .服从b(3,o.7)，在Excel依次输入:=bino mdist(0，3, 0.7, 0)，=bino mdist(1,3,0.7,0),=bino mdist(2,

3、3,0.7,0),=bino mdist(3,3,0.7,0),2. 一批零件中有9个合格品、3个废品，安装机器时从这批零件中任取1个来使用，若取得废品就不再放回而再取1个，求在取得合格品之前已取出的废品数的概率分布。解：令代表废品数，则可能取值为：0,1,2,3P(P(P(cc990)9Ci1212Q_27C；2 C；12111321 1 1C3C1C932954C；2C；c101211101320P( 3)c3C2c；c1C；1_3 _2 丄 912 11 10 95411880所以，的分布列为01239275454121321320118803.设在10个同类型的一堆产品内混有2个废品，

4、现从中任取 3件，每次取1个，试分别就（1）取后不放回；（2 ）取后放回两种不同情况，求出取得 废品数的概率分布。解：（1令代表废品数，则C 3P（ 0）号，C10所以，的分布列为0C3C8C 3C10设废品数为P(的可能值有：0,1,2c； c2Cw，1)P(2)c8 c；CwP(0)1c； c2CT，则可能取值有:C1 3C8CwP(所以,C 1 2) CfC10的分布列为0 10.512 0.3842c8 dCw0,1,2,3,0.512,c2c1o20.096P(1)c3c8Cwc2Cw0.3840.096,30.008P(3)C21c1o30.0084自动生产线经调整后出次品的概率是

5、p,若在生产过程中出现次品就立即要进行调整，试求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布。解：令合格品数为，则P( 0) P两次调整之间生产的是一件次品 pP( 1)卩两次调整之间生产一件 正品，再是一件次品 pqP( n)P两次调整之间前n次生产正品，第(n 1)件是次品 pqn所以，的分布列为012323p pq pqpqnnpq，其中q 1 p.5甲、乙两人分别独立的 对同一目标各射击1次，甲、乙击中目标的 概率 分别为p1, p2，试求击中目标次数的 概率分布。解：甲、乙二人分别独 立对同一目标各射击一 次，令 为击中目标次数, 贝y的取值为012P(0)(1P1)(1P2)P(1)(1

6、 P1)P2P1(1P2)P(2)P1 P2所以，的分布列为01 2(15)(1P2)(1 P1)P2 P1(1 P2) P1P26.(1已知随机变量折有的可能值是1,2丄，N,且已知P( k) a，k 1,2,L ,NN试确定a的值；(2) 试问下式的c取何值能使k2P( k) c 3 ，k 1,2,L为分布律。解：（）1由概率的规范性，可知a 1，从而a 1;NNNP( k) 1,贝V 1k 1k 1 N N k 1(2)由概率的规范性，可知k) 1,则c2kc2k 13k 13n1222133lim 一3222n11 -33P(k 1k而2k 1 31,所以，2c=1,从而c .27.设

7、在某种试验中，试验成功的概率为3-，以表示首次取得成功的试4次数序号，试写出的分布律，并求出为偶数的概率 p解：令 代表首次取得成功的试验次数序号，从而的取值为1,2丄P(k)所以，的分布列为123LkL3,33,233L1k 133,k 1,2,L1 -1L4444444为偶数时，PP( 2)P(4)L,33,333 ,-L4444353 111L4 4441 12( n 1)1344lim24n1143丄14 1516 58.一本500页的书，共有100个错别字，设每个错别字等可能的出现在500页的任何一页上，现考察该书某一页上的错别字数，试用n重贝努利试验描述之。1499解：每个错别字以

8、概率 p 出现在该页，而以概率 q 不出现在该页，500500由于错别字是否出现在该页对其他错别字是否出现没有影响，故该页上错别字字数 B(100, 1).5009. 人类的血型可粗分成0、A、B、AB等四型，设已知某地区人群中这四种血型人数的百分比依次为0.4、0.3、0.25>0.05,要从该地区任意选出10人，考察带 AB型的人数，试用n重贝努利试验描述之。解：由于只关心AB血型的人数，其他血型 可不予区分，故在此时 每个人血型 只有两个可能结果：AB型或者非AB型。这样p 0.05是任取一人，其血型为AB 型的概率，而问题可说 成是成功概率为p的10重贝努利试验，带AB血型的人数

9、 B(10,0.05).10. 某建筑物内装有5个同类型的供水设备，设在任一时刻每个设备 被使用的概率是0.2,又设各个设备是否被 使用相互独立，求在同 一时刻下列事件 的概率：(1) 恰有2个设备在使用；最多有2个设备在使用；(3至少有2个设备在使用；有多数设备在使用。解：设 代表设备使用的个数，=0,1,2， ,5,由题意，显然 B(5,0.2)(1) P(2) Cf p2q3 C5 (0.2)2 (0.8)3 0.2048(2) P(2)P( 0)+ P( 1)+ P( 2)C?(0.2)0(0.8)5 C5(0.2)1(0.8)4 C2 (0.2)2 (0.8)30.94208(3)

10、P(2) 1 P( 0) P( 1)1 C0(0.2)0(0.8)5 C5(0.2)1(0.8)4 0.26272(4) 有多数设备在使用，即超过半数以上的设备在使用，故应取3,4,5,即2,从而P( 2)1 P( 2)1 0.94208 0.05792.11. 设事件A在一次试验中发生的概率为 0.3，当在进行多次试验时，若A发生3次或更多次时，指示灯就要发出信号，求下列情况下，指示灯发出信号的概率：(1) 共进行3次试验；(2) 共进行5次试验。解：设 代表事件A发生的次数，由题意 B(n,0.3)(1)P(3) P( 3)因为试验只进行3次，要指示灯发出信号，则事件 A只能出现3次P(

11、3) C；(0.3)3(0.7)°0.027 P( 3) P( 3) P( 4) P( 5)因为试验进行5次，要指示灯发出信号，则事件 A可发生3次、4次和5次P( 3) C|(0.3)3(0.7)2+ Cs(0.3)4(0.7)1 + Cf(0.3)5(0.7)00.16308 b(5,0.3)，在 Excel 中输入：=1-binomdist(2,5,0.3,1) 得 0.1630812. 某商店有4名售货员，据统计，每 名售货员平均在一小时 内用秤的时间 为15分钟，各人何时用秤相 互独立。试问：(1)该店配备几台秤较为合适？ 若按(1的结果配秤，一天 8小时内平均有多少时间

12、秤不够用？解：设 代表一小时内用秤的售 货员数，贝U B(4)4041381(1)P(0) C00.31644425633 - 411 - 41 4C/VP0.42191 2 3 2 P( 2) C40.210944P( 2) P( 0) P( 1) P( 2)0.9492故同时用秤的人数不超 过2人的概率接近0.95,从而可配2台秤，这样既不使秤过度闲置，也不致常因秤不够用而影响业务；由题，每小时，2台秤的平均使用率为0.9492,那么还有(1 0.9492) 1的时间内秤不够用，而在8小时内，秤不够用的时 间就为(10.9492) 8=0.4064(小时)13已知某厂产品的次品率是，今从其

13、大批产品中任取10件来检验，问10其中是否必有1件次品？为什么？1解：任取一件产品为次品的概率为 一，任查十件产品的次品率是在这十件10产品中次品出现的频率 ，两者有区别，可算出 任取10件产品其中1件是次 品的概率为p C110(0.1)(0.9)9 0.3874，可见，如果经常任抽 十件检查，约 有38.74 %的机会会遇到1件次品。14. 进行8次独立的射击，设每次击中目标的概率均为0.3,试问：(1) 击中几次的可能性最大？并求出相应的概率；(2) 求至少击中目标2次的概率。解：设 代表击中目标的次数，贝U =0,1,2,3,8,显然 B(8,0.3)(1) (n 1)p2.7,由二项

14、分布的 Th.2,取 k ent(n 1)p)2时，B(2;8,0.3)的值最大，故击中2次的可能性最大p Cf(0.3)2(0.7)60.2965(2) P( 2)1 P( 0) P( 1)1 C0(0.3)°(0.7)8 C8(0.3)1(0.7)70.7447.15. 某厂产品的次品率为0.005,问在它生产的1000件产品中: (1只有1件次品的概率；至少有1件次品的概率；(3最大可能有几件次品，概率是多少？解：设代表产品为次品的件数，0,1,2,1000,显然 B(1000,0.0005)显然n很大，p很小,从而 P(),np 5(1)P(1)5 5 e1!0.0337(2

15、)P(1)1 P(5050)1e 50.99330!555(3) 最多可能有5件次品，其概率为P( 5)- e 50.17555!16. 为了保证设备能够正常运转，需配备适当数量的维修人员(配少了有时会影响设备正常运转，配多了会造成浪费人力资源)，根据检验，每台设备发生故障的概率是0.01，各台设备情况相互独立，试问：(1)若由1人负责维护20台设备，有设备发生故障而不能得到及时维修的 概率；(2若有设备100台，每台发生故障时均需1人去处理，则至少要配多少维护人员，才能使设备 解:(1)设代表一人负责的 显然发生故障时不能得到及时维修的概率不超过0.01。P(2)设P(P(P( P( ),n

16、p2)1 P( 0)20台设备中，同时发生故0.2障的台数,0,1,20,P( 1)代表100台设备中，同时发生故np 10.2° 0.2 e 0!障的台数,°e 0.20.017551!0,1,100,显然 P()，0)2)4)10e0!12e2!14e4!0) P(0.3679；0.1839；0.0153P(故在100台设备中，才能使得设备发生故障P(P(2)1)3)P(11 1 一 e 1!13 一e 3!0.3679；0.0613 ；3)1) P(有4台同时发生故障的概率而不能得到及时维修的4)0.9963P(在0.9963，所以应派4个维修人员,概率不超过0.01

17、.17 .设要对某一物理量进行测量，已知由于各种原因而导致带过大测量误差的概率是 0.05,现在独立的进行了100次测量，求误差过大的次数不小于3的概率。解：设 代表100次测量中，出现过分布 大测量误传的次数，0,1, ,100,显然 B(100,0.05)，由于n较大p较小,故用泊松分布近似计算，np 5 P( 3) 1 P( 0) P( 1) P( 2)50 5 515 52 51 e 5e 55 e 50.87530! 1! 2!18.设随机变量服从参数为的泊松分布，冋 m为何值时，概率 P(m)最大。解：P(k)ke ，P( k!k 1)k 1e(k 1)!P(k)P(k1)k(1)

18、k，P(k) P(k1)，P(k)；(2) =k，P(k)= P(k1)，P(k)达到最大值；(1)k，P(k) P(k1)，P(k)从而，当非整数时，m ,使 P(m)最大；当是整数时，m或m1,同时使得P(m)最大.19.一产品的次品率为0.1,检验员每天抽检 4次，每次随机抽查10件 产品进行检验，如发现 次品多于1件，就要调整设备，以 表示1天 要调整设备的次数，求 E .解：代表1天要调整设备的次数，0,123,4令代表1次抽检中抽出次品的件数，=0,，10,显然B(10,0.1), 令Ai “第i次抽检时，抽出次品多于1件，从而调整设备”，i 1,2,3,4P(Ai)1 P( 0)

19、 P( 1)0.2642P(Ai)1P(Ai)0.7358则B(4, P(Ai)P(0)P(Ai )40.2931P(1)C；P(Ai)P(Ai)30.421P(2)2 2 2C：P(Aj )2P(Ai)20.2267P(3)c3P(Aj )3P(Ai )0.0543P(4)44C；P(Ai )40.0049从而012340.29310.4210.2267 0.05430.0049所以，E0 0.2931+1 0.421+2 0.2267+30.0543+4 0.00491.0569或直接用Enp 4 0.26421.056920. 一长途客车沿途可停k各站，规定途中只可 下客不能上客，一个站

20、若无人下客可不停。设始 发时车上乘客数是参数为的泊松分布随机变量，每个乘客在k各车站中哪一站下车是等可能 的，求有2个乘客在终点站下车的概率p。 解：用x表示终点站下车的人数，则有PX 2PX2|Yn P Y nn 02n 2亠211eCn1n 2n!kkn 2nn!k1n 2e n!2!n2 !knt 2kt1t 012!t!ktk221 /ke2 k21某生产流水线一天出次品件数 为5的泊松 分布，若采用新工艺，则有0.75的可能使 称为3的泊松分布，但也有0.25的可能无效。现采 用新工艺生产，结果一天出了 2件次品。问新工 艺有效的概率多大？(令a “新工艺有效”。) 解：设B表示生产

21、两件次品的事件，新工艺有效 生产2件次品的概率P(B|A) 32e30.H202!新工艺无效效生产2件次品的概率P(B| A)52 5 e 2!0.04210.8887由贝叶斯公式P(A|B)P(A)P(B| A) P(A)P(B | A) P(A)P(B| A)0.75 0.11200.75 0.1120 0.25 0.042122.某设备一天故障次数 服从泊松分布。已知 一天内发生1次故障与发生2次故障的概率相 同，求每天发生故障不超过1次的概率。解：P( k) ek!由 P( 1) P( 2)得：22!e解之得：2P(1) P( 0) P( 1)2r2c2e 2 e 3 e23已知的分布

22、列为21 0 131小113a3a a630试求：()a的值;(2)E ；(3)21的分布列；(4)用两种方法算出E解：(1)3a13a11 a1,从而a163015210 13因此111 1115652)E(2)(1)-013 -5651530521038(3)1 171115305301711110E(1)0 -3 -85305303EE(21)c1c1(1)111110300 85651530324.设已知202 0.40.30.3试求E ，E2，E(325)，D3解：Exipxi( 2) 0.4 0 0.3+2 0.30.2i 132 2 2 2Ex P 人(

23、2)0.4 0 0.3+ 20.3 2.8i 12 2E(35) 3E 52.8 513.4E 2 (E )22.8 ( 0.2)2 2.7625.设随机变量的分布列为p q试问p取何值时，使 D达到最大值。解：E 1 p 0 q pE 212 p 0 q p从而，D E 2 (E )2 p p2(p 丄)2max所以，当p26.袋中有8个球，6个黑球、2个白球，每次从袋中取2个球，取出后不放回。在第3次取出球时，所得白球数为，求e解：设A表示前两次取球后剩余i(i 0,1,2)的事件40前两次后剩下2个白球的概率为：p(A)等14，C8 14在此条件下第三次取得0个白球的概率为:C；C；1P

24、( 0|A2)CCC2 1C46第三次取得1个白球的概率为:P(1| A2)C；C；2C4 3第三次取得2个白球的概率为:P(2|A2)C；C；1c26前两次后剩下1个白球的概率为:P(A)C6c2"CT在此条件下第三次取得0个白球的概率为:P(OIA)CCO iC42 2第三次取得1个白球的概率为:P(1| A)c3c；第三次取得2个白球的概率为:P( 2|A) 0前两次后剩下0个白球的概率为：pg 晋，在此条件下第三次取得0个白球的概率为:P( 0| Ao) 1第三次取得1个白球的概率为:P( 1| Ad) 0第三次取得2个白球的概率为:P(2|Ao) 0根据全概率公式0|Bo) P(Bi)P(3,15114280|BJ P(B2)P(0| B2)P( 1)P(B°)P(1| B。）P(BJP(1|即 P(BJP(32413 031437214714 6