数字信号处理-Hilbert变换滤波器

1、 南华大学电气工程学院 数字信号处理课程设计任务书设计题目： Hilbert变换滤波器的实现 专 业： 学生姓名: 学 号: 起迄日期: 2012年12月28日2013年1月14日指导教师: 数字信号处理课程设计任务书1课程设计的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等）： 1.设计内容：根据自己在班里的学号0207（最后两位）查表一得到一个四位数1301，由该四位数索引表二确定待设计数字滤波器的类型：Hilbert变换滤波器；滤波器设计方法：等波纹FIR。2. 滤波器的设计指标： （1）通带波纹 0.05 ； （2）阻带波纹 0.05 ； （3）过渡带宽度 = 0.014 rad ；

2、（4）滚降 =5.6 dB ；其中，为学号的最后两位，故=7 3. 滤波器的初始设计通过手工计算完成； 4. 在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构对其性能指标的影响（至少选择两种以上合适的滤波器结构进行分析）； 5. 在计算机辅助计算基础上分析滤波器参数的字长对其性能指标的影响； 6. 以上各项要有理论分析和推导、原程序以及表示计算结果的图表； 7. 课程设计结束时提交设计说明书。 2对课程设计成果的要求包括图表（或实物）等硬件要求： 滤波器的初始设计通过手工计算完成； 在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构对其性能指标的影响（至少选择两种以上合适的滤波器结构进行分析）； 在计算机辅助计算基础上

3、分析滤波器参数的字长对其性能指标的影响； 以上各项要有理论分析和推导、原程序以及表示计算结果的图表； 课程设计结束时提交设计说明书。3主要参考文献：1高息全 丁美玉.数字信号处理M.西安：西安电子科技大学出版社，2008.82陈怀琛.数字信号处理教程MATLAB释义与实现M.北京：电子工业出版社，2004.123张德丰.详解MATLAB数字信号处理M.北京：电子工业出版社，2010.64飞思科技产品研发中心.MATLAB7辅助信号处理技术与应用M.北京：电子工 业出版社，2005.35胡广书.数字信号处理理论、算法与实现北京：清华大学出版社，20064课程设计工作进度计划：序号起 迄 日 期工

4、 作 内 容18-接到题目，搜集资料22013.1.1-2013.1.2整理资料，构思设计方案32013.1.3-手工计算进行滤波器的初步设计42013.1.6-完善初步设计，学习Matlab软件操作5-2013.1.10通过Matlab软件分析设计内容，逐步落实课题目标62013.1.11-2013.1.14上交课程设计，并做细节修改并完成设计主指导教师日期： 年 月 日 摘要 本设计介绍了FIR滤波器的设计思想与步骤，通过建立滤波器模型利用MATLAB软件进行仿真，在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构和参数的字长对其性能指标的影响。在此着重介绍希尔伯特变换滤波器、等波纹最佳逼近设计思想及F

5、IR滤波器网络结构和有效字长对滤波器性能指标的影响，并通过仿真结果对其进行分析。关键字 FIR滤波器 希尔伯特变换 等波纹最佳逼近Abstract This design is introduced the FIR filters the design thoughts and step by establishing filter model, using MATLAB software, and simulation calculation basis in computer aided analysis filter structure and parameters of the wor

6、d on the performance of the long effect. Introduced in this Hilbert transformation filter, the corrugated best approximation design idea and FIR filter network structure and effective word length to filter the influence of performance index, and through the simulation results on the analysis. Keywor

7、ds FIR filter hilbert transform the corrugated best approximation目录1、希尔伯特变换滤波器的设计步骤62、希尔伯特变换器的基本原理63、滤波器的技术指标74、FIR滤波器的结构分析95、希尔伯特变换器的Matlab设计14 5.1直接程序法14 5.2利用FDATool工具设计法166、借助FDA工具箱分析字长对滤波器性能的影响177、心得体会24 Hilbert变换滤波器的实现 在传统的设计中，希尔伯特变换器可由一个FIR滤波器和一个时延模块实现，也可由一组滤波器对实现，而实现FIR型希尔伯特变换器的一个简单方法就是对原型低通

8、滤波器作正弦/余弦变换。Matlab作为滤波器设计的基础软件，不仅可以快速有效地实现希尔伯特变换器的设计、分析仿真和最优化，而且可以直接计算出希尔伯特变换器的系数。1、希尔伯特变换滤波器的设计步骤 设计一个FIR数字滤波器主要包括下面5个步骤： （1）确定滤波器要求的规范指标； （2）选择合适的滤波器系数计算； （3）用一个适当的结构来表示滤波器并用软件来实现滤波器； （4）有限字长效应对滤波器性能的影响分析；2、希尔伯特变换器的基本原理 连续时间信号x(t)的希尔伯特变换定义为： 式（1）由式(1)可得单位冲击响应h(t)=1/(t)，由于jh(t)=j/(t)的傅里叶变换是符号函数sgn(

9、w)，所以希尔伯特变换器的频率特性为： 式（2）记，当时： 式（3） 信号x(t)的希尔伯特变换可以看成是信号x(t)通过一个幅度为1的全通滤波器输出，信号通过希尔伯特变换器后，其负频率成分作+90°的相移，而正频率成分作-90°的相移。这类滤波器要求滤波器的零频响应为0，若滤波器阶数为偶数，则还要求Nyquist频率(归一化频率为1)处的响应为0。即如果滤波器的阶数为偶数，那么增益在频率为0 Hz和fs/2处必须降为零，希尔伯特滤波器必须是一个带通滤波器。如果滤波器的阶数为奇数，那么增益在频率为0 Hz处必须降为零，希尔伯特滤波器必须是一个高通滤波器。3、滤波器的技术指标

10、 常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的频率响应函数用下式表示： 式中，称为幅频特性函数;称为相频特性函数。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。图3-1 低通滤波器的幅频特性上图3-1表示低通滤波器的幅频特性， 和分别称为通带边界频率和阻带截止频率。通带频率范围为0|p，在通带中要求，阻带频率范围为s|，在阻带中要求。 从到称为过渡带，过渡带上的频响一般是单调下降的。通常，通带内和阻带内允许的衰减一般用分贝表示，通带内允许的最大衰减用表示，阻带内允许的衰减用表示。对低通滤波器，和分别定义为 所以低通滤波器的

11、设计指标完全由通带边界频率、通带最大衰减 阻带边界频率和阻带最小衰减as确定。片段常数特性： 对于选频型滤波器，一般对通带和阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，只要求其波纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称为“片段常数特性”。所谓片段，是指“通带”和“阻带”，常数是指“通带波纹幅度”和“阻带波纹幅度”，而通带最大衰减和阻带最小衰减是与和完全等价的两个常数。上图3-1 所示的单调下降幅频特性，和别可以表示为:如果将归一化为1则表示为： 希尔伯特变换滤波器的设计要求：用等波纹最佳逼近法设计一个FIR型希尔伯特变换滤波器，要求如下： （1）通带波纹 0.05 ； （2）阻带波纹 0.05 ； （3

12、）过渡带宽度 = 0.014 rad ； （4）滚降 =5.6 dB ；（学号：20094470207，故式中id =7） 一般情况下，用损耗参数p,p,s,s.描述在工程实际中，通常取通带边界频率p=/2,通带最大衰减p=2dB,阻带边界频率s=11/20,阻带最小衰减s=20dB.但是在等波纹最佳逼近设计法求滤波器阶数N和误差加权函数W（）时，要求给出的滤波器通带和阻带的震荡波纹1和2。这是等波纹法设计滤波器时常使用的描述方法。所以，有转换关系为：p=-20lg(1-1)/(1+1) s=-20lg2/(1+1)手工计算完成等波纹FIR滤波器初始设计的技术指标： 设采样频率Fs=10kHz

13、，通带波纹 = 0.05。由公式=Fs/2可将截止频率的单位转换为Hz：（1）通带截止频率：=0.5，fpc=2500Hz； (2)过渡带宽度: = 0.014 rad ， 70Hz ；（3）阻带截止频率:=0.5+0.014=0.514， =2500+70 =2570Hz；（4）通带最大衰减：p=-20lg(1-1)/(1+1)=0.8693dB；（5）阻带最小衰减： =0.8693+5.6=6.4693dB ； 所以，阻带波纹=10-s/20=0.474826555 0.4748 此时，由凯泽逼近n的公式: n=, = 可得：s-p =0.014 rad，=0.007rad，n=31.75

14、097805324、FIR滤波器的结构分析FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h（n）长度为N，其系统函数H(z）和差分方差分别是 （1） （2）FIR系统的基本网络结构有二种，即直接型和级联型。（1）直接型 按照H(z）或者卷积公式直接画出结构图如图4-1所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。图4-1 FIR网络直接型结构（2）级联型当需要控制滤波器的传输零点时，可将系统函数分解为二阶实系数因子的形式：于是可用二阶节级联构成，每一个二阶节控制一对零点。级联型网络结构，其优点是调整方便，而且级联结构中后面的网络输出不会流到前面，运

15、算误差的积累也相对较小。缺点： 所需要的系数a比直接型的h(n)多； 乘法运算多于直接型。图4-2为FIR级联型网络结构图4-2 FIR级联型网络结构下面来讲述直接型到级联型的变换： 设FIR网络直接型系统函数H（z）如下式： 将H（z）进行因式分解，得到：利用Matlab求解程序如下：B=0.96 2 2.8 1.5;A=1;S,G=tf2sos（B,A）运行结果：S=1.0000 0.8333 0 1.0000 0 0 1.0000 1.2500 1.8750 1.0000 0 0G=0.9600所以级联型的系统函数为：其直接型结构和级联型结构如下图4-3（a）、（b）所示 x（n） 0.

16、96 2 2.8 1.5 y（n） 图4-3 （a）直接型 x（n） 0.6 1.6 y（n） 0.5 2 3 图4-3 （b）级联型级联型结构每一个一阶因子控制一个零点，每一个二阶因子控制一对共轭零点，因此调整零点位置比直接型方便，但H(z）中的系数比直接型多，因而需要的乘法器多。分解的因子愈多，需要的乘法器也越多。另外，当H(z）的阶次高时，也不易分解。因此，普遍应用的是直接型。直接型 根据希尔伯特变换器的设计要求，用Matlab程序实现，其程序清单如下： clf;n=32;f=0.25 0.257;m=1 1; %理想滤波器的幅频特性fs=10000; %采样频率hn=firls(n,f

17、,m,'h') %采用firls设计Hilbert变换器运行结果如下：hn= -0.00121890.00405150.00688990.00558530.00091828-0.0043058-0.0069437-0.0054057-0.000614170.004550.00697970.00521160.00030768-0.0047829-0.0069977-0.005003800.00500380.00699770.0047829-0.00030768-0.0052116-0.0069797-0.004550.000614170.00540570.00694370.004

18、3058-0.00091828-0.0055853-0.0068899-0.00405150.0012189hn即为所设计的希尔伯特变换变换器的直接型系数，如下图4-4示： 图4-4 希尔伯特变换变换器的直接型系数hn所以，系统函数=-0.0012189+0.0040515Z-1+0.0068899Z-2+0.0055853Z-3+-0.0068899Z-30-0.0040515Z-31+0.0012189Z-32因此，直接型结构如下图4-5所示：y(n)n) x(n)z-1z-1z-1-0.00121890.00121890.00478290.00688990.0040515 图4-5 直接

19、型结构级联型将其转换为级联型系数的Matlab程序为：B=-0.00121890.00405150.00688990.00558530.00091828-0.0043058-0.0069437-0.0054057-0.000614170.004550.00697970.00521160.00030768-0.0047829-0.0069977-0.005003800.00500380.00699770.0047829-0.00030768-0.0052116-0.0069797-0.004550.000614170.00540570.00694370.0043058-0.00091828-0.

20、0055853-0.0068899-0.00405150.0012189;A=1;S,G=tf2sos(B,A)运行结果为：S =1-5.72334.723310010.78828-0.2117210011.6698 110011.8511 11 0 01-0.74081 1 1 0011.1272 110011.9624 11001-0.36386 110010.78591 110011.4255 11001-1.9603 11001-1.0901 11001-1.6531 110010.026113 11001-1.8429 110010.41425 1100G = -0.0012189G

21、和S即为所设计的希尔伯特变换变换器的级联型系数，如下图4-6示： 图4-6 希尔伯特变换变换器的级联型系数S所以，系统函数 H(z)=-0.0012189(1-5.7233Z-1+4.7233Z-2)(1+0.78828Z-1-2)(1+1.6698Z-1+Z-2)(1+0.41425Z-1+Z-2)因此，级联型结构如下图4-7所示： 图4-7 级联型结构5、希尔伯特变换器的Matlab设计 5.1直接程序法 Matlab信号处理工具箱提供了firls函数和remez函数，它们的调用格式语法规则相同，只是优化算法不同，函数firls利用最小二乘法使期望的频率响应和实际的频率响应间的误差最小;函

22、数remez实现Park-McClellan算法，这种算法利用remez交换算法和Che-byshev近似理论设计滤波器，使实际频率响应拟合期望频率响应达到最优。 函数调用格式为b=remez(n，f，m，h)或b=firls(n，f，m，h)，其中，n为滤波器的阶数;f为滤波器期望频率特性的频率向量标准化频率，取值01，是递增向量，允许定义重复频点;m为滤波器期望频率特性的幅值向量，向量m和f必须同长度且为偶数;h(n)为函数返回的滤波器系数，长度为n+1，本文将采用firls函数法。 下面设计一个希尔伯特变换器，要求采样频率为10k Hz，通频带为2.52.57kHz，滤波器阶数为32阶。

23、实现程序如下：clf;n=32;f=0.25 0.257;m=1 1; %理想滤波器的幅频特性fs=10000; %采样频率b=firls(n,f,m,'h'); %采用firls设计Hilbert变换器h,w=freqz(b,1,512,fs); %计算Hilbert变换器的脉冲响应figure(1);plot(w,20*log10(abs(h);grid; %计算幅频特性axis(0 1000 -40 10); %绘制正半轴频率xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值/dB');title('Hilbert变换器的幅频特性

24、');figure(2);plot(w,angle(h)/pi*180); %计算相频特性grid;xlabel('频率/Hz');ylabel('相角/');title('Hilbert变换器的相频特性')设计的希尔伯特变换器的特性如图5-1所示。 图5-1 等波纹最佳逼近法设计的幅频响应曲线 5.2 利用FDATool工具设计法 FDATool是Matlab信号处理工具箱专用的滤波器设计分析工具，操作简单、灵活，可以采用多种方法设计不同的滤波器，同时可以实现滤波器的最小阶数设计。在Matlab命令窗口输入FDATool后回车就会弹出F

25、DATool界面。 根据2.1中的设计实例，首先在Filter Type栏中选择Hilbert Transformer，在Design Method栏中选择Equiripple法，在filter order中选择32，在Frequencyand Magnitude Specifications中设置F=2500 2570;m=1 1;Fs=10000，最后点击Design Filter，通过菜单选项Analysis可以在特性显示区看到滤波器的各种特性，如图5-2图5-6所示。 图5-2 Hilbert变换器的单位脉冲响应 图5-3 Hilbert变换器的幅度响应 图5-4 Hilbert变换器

26、的相位响应 图5-5 Hilbert变换器的零极点图 图5-6 Hilbert变换器的相位延时图在幅频特性和相频特性满足要求的同时，由图5-2可知单位脉冲响应为奇对称，即h(n)=-h(N-n-1)，也符合希尔伯特变换器的特性。若设计不满足要求，则可以直接在FDATool界面中改变参数。6、借助FDA工具箱分析字长对滤波器性能的影响系统对输入信号进行处理时需要若干参数或者称为系数，这些系数都要存储在有限位数的寄存器中，因此存在系数的量化效应。系数的量化效应误差直接影响系统函数的零、极点位置，如果发生了偏移，会使系统的频率响应不满足实际需要。下面，借助FDA工具箱分析设计滤波器的量化误差，方法是对量化前和量化后16位字长、8位字长和4位字长的零极点分布、幅频响应和、相频响应和相位延时进行对比，得到量化误差对滤波器性能的影响： 1、量化前零极点分布：量化后，16位字长时的零极点分布：量化后，8位字长时的零极点分布：量化后，4位字长时的零极点分布： 小结：由上面的零极点分布图可以看出，极点并未发生变化，零点变化比较明显，所以系统的破坏性不大，