第9讲方差太原理工大学工程硕士概率论与数理统计

1、1 前面介绍了随机变量的数学期望。期前面介绍了随机变量的数学期望。期望体现了随机变量取值的平均水平，是随望体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的重要的数字特征。机变量的重要的数字特征。 但在一些场合，仅仅知道平均值是不够但在一些场合，仅仅知道平均值是不够的，还需了解其他数字特征。的，还需了解其他数字特征。 方差方差2 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、，现用甲、乙两台仪器各测量乙两台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐用坐标上的点表示如图：标上的点表示如图： a甲仪器测量结果甲仪器测量结果a 乙仪器测量结果乙仪器测量结果较好较好因为乙仪器的测量结果集中

2、在均值附近。因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。3又如，甲、乙两门炮同时向一目标射击又如，甲、乙两门炮同时向一目标射击10发发炮弹，其落点距目标的位置如图：炮弹，其落点距目标的位置如图：甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙较好乙较好因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 。 中心中心中心中心4 为此需要引进另一个数字特征，用它来为此需要引进另一个数字特征，用它来度量随机变量取值偏离其中心度量随机变量取值偏离其中心(均值均值)的程度。的程度。这个数字特征就是我们要介绍的方差。这个数字特征就是我们要介绍的方差。5一一 方差的定义方差的定义 注注: 常将常将V

3、ar(X)记成记成 D(X)。 定义定义1: 设设 X 是一随机变量，若是一随机变量，若EX- -E(X)2 存在存在, 则称其为则称其为X 的方差，记成的方差，记成 Var(X)，即，即 Var(X)= EX- -E(X)2并称并称 为为X的标准差。的标准差。)(XVar 采用平方是为了保证一切采用平方是为了保证一切差值差值X- -E(X)都起正的作用都起正的作用6若若X 的取值比较分散，则方差较大。的取值比较分散，则方差较大。若方差若方差Var(X)=0，则，则 X 以概率以概率1取常数。取常数。 方差刻划了随机变量的取值对于其数学方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的偏离程度期望的偏离

4、程度 。若若X 的取值比较集中，则方差较小；的取值比较集中，则方差较小；均值均值E(X)7X为离散型，为离散型，PX=xk=pk 由定义知，方差是随机变量由定义知，方差是随机变量X的函数的函数g(X)=X-E(X)2的数学期望的数学期望 。,)()(,)()(212dxxfXExpXExXVarkkk X为连续型，为连续型，f (x)为密度。为密度。8计算方差的一个简化公式计算方差的一个简化公式Var(X)=E(X2)- -E(X)2 . 展开展开证：证：Var(X)=EX- -E(X)2=EX2- -2X E(X)+ +E(X)2=E(X2)- -2E(X)2+E(X)2=E(X2)- -E

5、(X)2.利用期利用期望性质望性质9例例1 1设设 X 服从几何分布，概率分布为服从几何分布，概率分布为P(X=k) = p(1- - p)k-1, k=1, 2, , 其中其中 0p1, 求求 Var(X)。解：解：记记 q=1- -p，则，则11)(kkkpqXE1)(kkqp1)(kkqp)1(qqp,1p交换求和与交换求和与求导次序求导次序无穷递缩等比无穷递缩等比级数求和公式级数求和公式101122)(kkpqkXE1111) 1(kkkkkpqpqkk)()(1XEqpqkk pqqpq1)1( ,22pp. 12)()(22222pqpppXEXEXVar11求求 Var( Var

6、(X) )。 例例 2：设连续型随机变量设连续型随机变量X 的密度函数为的密度函数为:.1 ,0 ,0,1 ,0 ,2)(xxxxf.1813221 22 )()( )()()(22101022222xdxxxdxxdxxxfdxxfxXEXEXVar解：解：12例例3：设设X为某加油站在一天开始时贮存的油量，为某加油站在一天开始时贮存的油量，Y 为一天中卖出的油量为一天中卖出的油量( (当然当然YX) )。设。设( (X, ,Y) )具有概率密度函数具有概率密度函数这里这里1表明表明1个容积单位，求每日卖出的油量个容积单位，求每日卖出的油量Y 的期望与方差。的期望与方差。. ,0, 10 ,

7、3),(其他xyxyxf13； 0 0 ),()(dxdxyxfyfY解：解：当当 y 1 1 时时, ,当0y1时,).1(23 3 ),()(21yxdxdxyxfyfyY14.1 ,0 ,0,1 ,0 ),1 (23)( 2yyyyfY所以，,51)1(23)( ,83)1(23)( 21022210dyyyYEdyyyYE. 0594.0 8351 )()()(222YEYEYVar15二二 方差的性质方差的性质 (1). 设设C是常数是常数, 则则Var(C)=0;(2). 若若C是常数，则是常数，则Var(CX)=C2 Var(X);(3). 若若X1与与X2 独立，则独立，则 V

8、ar(X1X2)= Var(X1)+Var(X2);可推广为：可推广为：若若X1, X2, , Xn相互独立，则相互独立，则； )(121niiiniiiXVarCXCVar(4). Var(X)=0 P(X= C)=1，这里，这里C=E(X)。 16例例4：设随机变量设随机变量X 的期望和方差分别为的期望和方差分别为E(E(X) )和和Var(Var(X) )，且，且Var(Var(X) ) 0 0，求，求的期望和方差。 )()(XVarXEXY解：解：； 0 )()()()(1 )()()(1)(XVarXEXEXVarXVarXEXXVarEYE17.1 )()(1 )(1 )()()(

9、1)(XVarXVarXXVarVarXVarXEXXVarVarYVar. )()( )()( 的标准化随机变量为称的标准化，为把称XXVarXEXYXXVarXEX18三三 几种常用随机变量的方差几种常用随机变量的方差 1. 1. 两点分布两点分布若若 X B(1, p)，则，则 Var(X) = p(1- -p)； 2. 2. 二项分布二项分布若若 X B(n, p)，则，则 Var(X) = n p(1- -p)； 3. 3. 泊松分布泊松分布若若 X P()，则，则 Var(X) = ；19,!) 1(!) 1( )1() 1()(02202ekkkekkkXXEXXXEXEkkkk

10、利用前面讲过的利用前面讲过的 E(X) =，得，得而而 ,!) 1(002eekkkkkkkk, )(22XE所以，. )()()(22XEXEXVar20 4. 4. 均匀分布均匀分布,3)( )()( 22222babadxabxdxxfxXEba若若 X U(a, b) ，则，则利用利用E(X)=(a+b)/2，得，得.12)()(22abXVar215.5.指数分布指数分布 ).0( 0 , 0 , 0 ,)(xxexfx.1)()()( 1)( ,2 )()( 22220222XEXEXVarXEdxexdxxfxXEx，得利用所以，226.6.正态分布正态分布. 21/)( 21)( )()(22222)(22222dtetuxtdxeuxXEXEXVartx若若 X N( , 2)，则，则23例例5：设随机变量设随机变量X N( , 2)，计算，计算(1). P - - X + + ;(2). P - -2 X +2 ；(3). P - -3 X + +3 。解：解：由由(X- - )/ N(0, 1)，得，得(1).； 6826