概率论预备知识吴建成

1、概率论预备知识吴建成Ch1 Ch1 预预 备备 知知 识识1 排列与组合基本计数原理基本计数原理设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法, 第第m种方式有种方式有nm种方法种方法,无论通过哪种方法都可以无论通过哪种方法都可以完成这件事，完成这件事，则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1 + n2 + + nm 种方法种方法 .加法原理加法原理基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法 .12mnnn设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤

2、有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,； 第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,必须通过每一步骤必须通过每一步骤,才算完成这件事，才算完成这件事， 乘法原理乘法原理例如，某人要从甲地到乙地去例如，某人要从甲地到乙地去,甲地甲地乙地乙地可以乘火车可以乘火车,也可以乘轮船也可以乘轮船.火车有两班火车有两班轮船有三班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3 + 2 种方法种方法回答是回答是例如，若一个男人有三顶帽子和两例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？件背心，问他可以有多少种打扮？可以有可以有 种

3、打扮种打扮3 2 加法原理加法原理和和乘法原理乘法原理是两个很重要是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面具体问题，同时也是推导下面常用排列常用排列组合公式组合公式的基础的基础 .其中：其中：k = n时称全排列时称全排列(1)(2)2 1!nnnPpn nnn !(1)(2)(1)()!knnpn nnnknk一、排列一、排列kn nnn 从从n个不同元素取个不同元素取 k个（个（1 k n)的不同排列的不同排列总数为：总数为：从从n个不同元素取个不同元素取 k个（个（允许重复允许重复）（）（1 k n) 的不同排列总数为：的

4、不同排列总数为：!()! !kknnPnCknkk从从n个不同元素取个不同元素取 k个（个（1 k n)的不同组合的不同组合总数为：总数为： knC常记作常记作nk ，称为组合系数。，称为组合系数。0 !1kknnPCk二、组合二、组合注：注：从从3个元素取出个元素取出2个个的排列总数有的排列总数有6种种从从3个元素取出个元素取出2个个的组合总数有的组合总数有3种种236P 233C 20 排列和组合的区别：排列和组合的区别：顺序不同是顺序不同是不同的排列不同的排列组合不管组合不管顺序顺序2 集 合一、集合的基本概念一、集合的基本概念1. 集合与元素集合与元素, , ,Aa b c如，如，2.

5、 集合的分类集合的分类有限集有限集无限集无限集不可数集不可数集可数集：可数集：如果一个无限集中的诸元素能如果一个无限集中的诸元素能与全体自然数构成一一对应关与全体自然数构成一一对应关系，则此无限集称为可数集或系，则此无限集称为可数集或可列集。可列集。二、集合间的关系与运算二、集合间的关系与运算1. 子集子集 ( )ABBA或显然有：显然有：01 ABBCAC且 02 A 03 ABBAAB且 SAB2. 并集并集 ABSAB A BAB 或3. 交集交集特殊地，特殊地，AB 若若，则称集合，则称集合 互不相交。互不相交。 ,A BSAB4. 差集差集AB5. 余集余集UA A即：SABASAB

6、6. 运算规律：运算规律：交换律：交换律：ABBAA B B A分配律：分配律：()()()ABCABAC()()()ABCABAC11nniiiiAA11nniiiiAA()()ABCABC()()ABCABC结合律：结合律：ABABABAB德德 摩根律：摩根律：1 随机事件的概念 E2：掷一骰子，观察点数。：掷一骰子，观察点数。首先，看几个试验：首先，看几个试验：E1：抛币观察正、反面。：抛币观察正、反面。正、反正、反1，2，3，1、2、3、4、5、6 E3：定点投篮，投中为止，记录投篮次数。：定点投篮，投中为止，记录投篮次数。E4：观察某地区每天最低与最高温度（其中：观察某地区每天最低与

7、最高温度（其中T1,T2是是该地区最低与最高温度）该地区最低与最高温度）12( , )x y TxyT）再试验前不能预知哪一种结果出现。）再试验前不能预知哪一种结果出现。以上试验具有以下特征：以上试验具有以下特征：）在相同条件下可重复进行。）在相同条件下可重复进行。）试验的可能出现的结果不唯一，但知道所）试验的可能出现的结果不唯一，但知道所 有可能出现的结果。有可能出现的结果。我们将具有这三个特征的试验称为我们将具有这三个特征的试验称为随机试验随机试验 。一、随机试验一、随机试验常用常用 E 表示。表示。1. 定义：定义：在随机试验中，可能出现、也可能不出现的事件在随机试验中，可能出现、也可能

8、不出现的事件称为称为随机事件随机事件 。 常用常用A，B，C，D，表示。表示。2. 两个特殊的随机事件两个特殊的随机事件必然事件必然事件：每次试验中必然发生的事件。每次试验中必然发生的事件。不可能事件不可能事件：每次试验中必然不发生的事件。每次试验中必然不发生的事件。用用 表示。表示。U用用 表示。表示。注：注：必然事件和不可能事件都是确定的，并不必然事件和不可能事件都是确定的，并不具备随机性，但为了讨论问题的方便，也将它们具备随机性，但为了讨论问题的方便，也将它们作为随机事件处理。作为随机事件处理。二、二、 随机事件随机事件则有：则有：如，掷一枚骰子，观察点数。如，掷一枚骰子，观察点数。 U

9、=1，2，3，4，5，6令事件令事件A：出现奇数点，即：出现奇数点，即 A=1，3，5； B=1； C=2； D=出现出现7点点。A，B，C为一随机事件；为一随机事件；D= 为不可能事件。为不可能事件。2 事件间的关系及运算 事件间的关系及运算事件间的关系及运算随机事件随机事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件A是是B的子事件的子事件即事件即事件B包含事件包含事件A，或或事件事件A发生必然导致发生必然导致事件事件B发生发生事件事件A，B相等相等AB 空集空集 全集全集 U 集合集合 A 集合论集合论 概率论概率论 记号记号 A=B A是是B的子的子 集集 集合集合A，B相等相等A,B互余互余

10、 A,B不相交不相交 AB= 差集差集 ABA与与B的交集的交集 A与与B的并集的并集 集合论集合论 概率论概率论 记号记号 A B ABABABU且AB= 即即A,B中至少中至少有一个发生有一个发生即即A,B同时发生同时发生 即即A发生而发生而B不不发生发生积事件积事件和事件和事件差事件差事件A,B互斥互斥 或互不相容或互不相容即即A与与B不能同时发生不能同时发生A,B互逆或为对立事件互逆或为对立事件即即A,B有且仅有一个发生有且仅有一个发生SBSA 互不相容互不相容 对立事件对立事件 BASBABAAB A推广：推广： 为为n个事件个事件 的和事件的和事件 为可列个事件为可列个事件 的和事

11、件的和事件 同理有同理有11nkkA12,nA AA1kkA12,A A11,nkkkkAA2若若 ，则称事件，则称事件 是是互不相容的。互不相容的。若若 ，则称它，则称它们是两两互不相容的们是两两互不相容的 。12nA AA 12,nA AA, ,1,2,ijA Aij i j 注：注： “A A 与与B B 互相对立互相对立”与与“A A 与与B B 互斥互斥”是不同的是不同的概念。概念。 抽取的是精装中文版数学书抽取的是精装中文版数学书ABCC B 精装书都是中文版精装书都是中文版A B 非数学书都是中文版的，且非数学书都是中文版的，且中文版的书都是非数学书中文版的书都是非数学书例例1.

12、 1. 在图书馆中随意抽取一本书，在图书馆中随意抽取一本书，A表示数学书，表示数学书，B表示中文版，表示中文版，C表示平装书表示平装书. .事件事件则：则：例例2.设设A,B,C表示三个随机事件，试将下列事件用表示三个随机事件，试将下列事件用A,B,C表示出来表示出来A发生发生,B,C不发生不发生 (2) A,B都发生都发生,而而C不发生不发生 (3) 所有三所有三个事件都发生个事件都发生 (4) 3个事件中至少个事件中至少1个发生个发生 (5) 3个事件中至少个事件中至少2个发生个发生 (6) 3个事件都不发生个事件都不发生 (7) 不多于不多于1个事件发生个事件发生 (8) 不多于不多于2

13、个事件发生个事件发生 (9)恰有恰有1个事件发生个事件发生 1 ABC 2 ABC 3 ABC 4 ABC 5 ABBCCA 6 ABC 7 ABCABCABCABC 8 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 9 ABCABCABC解解:ABBCCA或ABC或3 基本空间 U U的子集的子集, ,记为记为 A ,B ,A ,B ,它是满足某些条件的它是满足某些条件的基本事件基本事件所组所组成的集合成的集合. . 随机试验随机试验E E 所有可能的结果组成所有可能的结果组成的集合称为的集合称为基本空间基本空间，记为，记为U U基本基本空间的单个元素空间的单个元素, , 称为称为基本基本事件事件. .基本空间基本空间基本事件基本事件随机事件随机事件例例. 写出下列随机试验的基本空间写出下列随机试验的基本空间（1）同时掷两枚骰子，记录两枚骰子点数之和）同时掷两枚骰子，记录两枚骰子点数之和（2）10件产品中有件产品中有3件是次品，每次从中取件是次品，每次从中取1件，取出后不再件，取出后不再 放回，直到放回，直到3件次品全部取出为止，记录抽取的次数件次品全部取出为止，记录抽取的次数（3）生产某种产品直到）生产某种产品直