第5章大数定律及中心极限定理

1、第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理5.1 大数定律大数定律5.2 中心极限定理中心极限定理5.1 大数定律大数定律方差反映了随机变量离开数学期望的平均偏离程度。方差反映了随机变量离开数学期望的平均偏离程度。 对任意大于零的常数对任意大于零的常数 ，事件，事件 发生的发生的概率应该与概率应该与 有一定的关系有一定的关系| )(|XEX)(XD如果如果 越大，那么越大，那么 也会大一些。也会大一些。)(XD| )(|XEXP 把这个直觉严格化，就是下面著名的切比雪夫不等把这个直觉严格化，就是下面著名的切比雪夫不等式。式。上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理5.1（切比雪

2、夫不等式）（切比雪夫不等式） 设随机变量设随机变量 X 的均值的均值 E(X) 及方差及方差D(X)都存在，都存在，则对于任意给定的则对于任意给定的 ，有不等式有不等式02()|() |D XPXE X2()|() |1D XPXE X或或例例 5.1 设电站供电网有设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关时间彼此，而假定开、关时间彼此独立，使用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯独立，使用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在数在6800与与7200之间的概率之间的概率.练习：设随机变量练习：设随机变量 的数学期望的数学期

3、望 ，方，方差差 ，估计，估计 的大小的大小.X10)(XE04. 0)(XD112 . 9 XP说明说明 从定理中看出，如果从定理中看出，如果D(x) 越小，那么随机变量越小，那么随机变量 X 取值于开区取值于开区间间 中的概率就越中的概率就越大，这就说明方差是一个反映随机变量的概率分布大，这就说明方差是一个反映随机变量的概率分布对其分布中心对其分布中心 (E(X) 的离散程度的数量指标的离散程度的数量指标(),()E XE X定义定义5 5.1 1 如果对任意的如果对任意的n 1， 是相互独立的，称随机变量序列是相互独立的，称随机变量序列 （简记作（简记作 ）是相互对立的）是相互对立的.

4、. 此时，若所有此时，若所有 又有相同的分布函数，则称又有相同的分布函数，则称 是独立同分布的随机变量序列是独立同分布的随机变量序列,21nXXX,21nXXX,21nXXXnXiX定义定义5.25.2 设设 是一随机变量序列是一随机变量序列， a 为为一常数，对于任意给定的一常数，对于任意给定的 ，有，有 012,nY YYlim1nnP Ya则称随机变量序列则称随机变量序列 依概率收敛于依概率收敛于a .12,nY YY.PnYa记为记为 设相互独立的随机变量序列设相互独立的随机变量序列 分别具有均值分别具有均值 及方差及方差 且若存在常数且若存在常数C，使使 则对于任意给定的则对于任意给

5、定的 ，有有12,nXXX12(),(),(),nE XE XE X2(),(),nD XD X(),kD XC01111lim()1.nnkknkkPXE Xnn定理定理5.25.2（切比雪夫大数定律）（切比雪夫大数定律）切比雪夫大数定律说明切比雪夫大数定律说明：在定理的条件下，当：在定理的条件下，当n充分充分大时，大时，n个独立随机变量的平均数这个随机变量的离个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程度是很小的。这意味，经过算术平均以后得到的散程度是很小的。这意味，经过算术平均以后得到的随机变量随机变量 将比较密的聚集在它的数学期望的将比较密的聚集在它的数学期望的 附近，它与数学期望之差依

6、概率收敛到附近，它与数学期望之差依概率收敛到0.1/niiXn1()/niiE Xn. 0lim1lim , 0 , , pnnPpnnPApAnnAnAnA或或有有则对于任意正数则对于任意正数率率在每次试验中发生的概在每次试验中发生的概是事件是事件的次数的次数发生发生次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件是是设设定理定理5.3（伯努利大数定律）（伯努利大数定律） 故而当故而当 n 很大时很大时, 事件发生的频率与概率有较事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小大偏差的可能性很小. 根据实际推断原理根据实际推断原理, 当试验次当试验次数很大时数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的便

7、可以用事件发生的频率来代替事件的概率概率. , 表表达达了了频频率率的的稳稳定定性性它它以以严严格格的的数数学学形形式式率率收收敛敛于于事事件件的的概概率率依依概概生生的的频频率率伯伯努努利利定定理理表表明明事事件件发发pnnA关于伯努利大数定律的说明关于伯努利大数定律的说明:), 2 , 1( )( , , , , 21 kXEXXXkn 且且具具有有数数学学期期望望服服从从同同一一分分布布相相互互独独立立设设随随机机变变量量. 11lim,1 nkknXnP有有则则对对于于任任意意正正数数关于辛钦大数定律的说明关于辛钦大数定律的说明:(1) (1) 不要求方差存在不要求方差存在; ;(2)

8、 (2) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况. . 定理定理5.4（辛钦大数定律辛钦大数定律）5.2 中心极限定理中心极限定理定理定理5.5（林德贝格（林德贝格勒维中心极限定理，也称为独勒维中心极限定理，也称为独立同分布中心极限定理）立同分布中心极限定理）则随机变量之和的则随机变量之和的和方差：和方差：且具有数学期望且具有数学期望同一分布同一分布服从服从相互独立相互独立设随机变量设随机变量), 2 , 1(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn nkknkknkknXDXEXY111标标准准化化变变量量 nnXnkk 1 xnnXPxFxxFnk

9、knnnn 1lim)(lim)(满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数 xtxt).(de2122 定理表明定理表明:.,数数标标准准正正态态分分布布的的分分布布函函的的分分布布函函数数收收敛敛于于随随机机变变量量序序列列当当nYn 例例5.2 用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为望值为100g，标准差为，标准差为10g，一箱内装，一箱内装200袋味精，袋味精，求一箱味精净重大于求一箱味精净重大于20500g的概率的概率.例例5.3 世界原油每桶价格每天的变化世界原油每桶价格每天的变化 是均值为是均值为0，方差为，方差为2的随机变量（单位的

10、随机变量（单位:美元），即美元），即其中其中 表示第表示第n天每桶原油的价格，天每桶原油的价格， 是独立同分布随机变量序列是独立同分布随机变量序列. 如果今天原油每桶价格如果今天原油每桶价格为为27美元，求美元，求18天后每桶原油价格在天后每桶原油价格在2331美元之间美元之间的概率的概率.) , 2 , 1(nYn) , 2 , 1( 1nYXXnnnnX,21nYYY例例5 5.4 4 某单位内部有某单位内部有260 260 部电话分机，每部分机有部电话分机，每部分机有4%4%的时间使用外线与外界通话，可以认为每部电话分机的时间使用外线与外界通话，可以认为每部电话分机使用不同的外线是相互独

11、立的，问总机需备多少条外使用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能线才能 95% 95% 满足每部分机在使用外线时不用等候满足每部分机在使用外线时不用等候? ?解解1,0,kkXk,令. 第 部分机使用外线 第 部分机不使用外线(1,2,)k ,26012260,XXX是是260260个相互独立的随机变量，且个相互独立的随机变量，且 ()0.04kE Xp，12260mXXX95%P mx由定理由定理5.55.5有有260260260 (1)260 (1)mpxpP mxPpppp2212tbedt(1.65)0.95050.95查得，1.65b 故取上一页上一页下一页下一页返回返回

12、260 (1)260 xbppp1.652600.040.962600.0415.61 xtnnnxtxpnpnpPxppnn).(de21)1(lim,)10(,), 2 , 1(22 恒有恒有对于任意对于任意则则的二项分布的二项分布服从参数为服从参数为设随机变量设随机变量定理定理5.7 ( (德莫弗拉普拉斯定理德莫弗拉普拉斯定理) )定理定理5.75.7表明表明: 正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布. . 一般一般来说，当来说，当 n 较大时二项分布的概率计算起来非常复较大时二项分布的概率计算起来非常复杂，根据该定理就可以利用正态分布来近似地计算二杂，根据该定理就可以利用正态分布来近似地计算二项分布项分布 例例5 5.5 5 设某城市供电网中内有设某城市供电网中内有1000010000盏灯，夜间每一盏盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为灯开着的概率为0.70.7，假设各灯的开关彼此独立，假设各灯的开关彼此独立, , 用德用德莫弗莫弗拉普拉斯中心极限定理计