第三讲 环路定理

1、上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出p p1 1p p2 2qo 点电荷电场中点电荷电场中试验电荷试验电荷q0从从p1点经任点经任意路径到达意路径到达p2点。点。在路径上任一点附近在路径上任一点附近取元位移取元位移lddlErd drq qr1r2 2点电荷电场力的功点电荷电场力的功: :0cosdoq Elq Edr=l dEqdA0drdl cos上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出q0由由 p1到到 p2电场力做功电场力做功)11(4120rrqqo做功与路径无关做功与路径无关点电荷系的电场中点电荷系的电场中

2、根据电场的叠加性，试探电荷受多个电场作用根据电场的叠加性，试探电荷受多个电场作用nEEEE21EdrqdA0 则则 baEdrqA021)11(44210020rrorrqqdrrqq上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 试验电荷在任意给定的静电场中移动时，试验电荷在任意给定的静电场中移动时，电场力对电场力对q q0 0做的功仅与试探电荷的电量及路径的起做的功仅与试探电荷的电量及路径的起点和终点位置有关，而与具体路径无关。点和终点位置有关，而与具体路径无关。电场力对试验电荷电场力对试验电荷q q0 0做功为做功为lEqAbad0lEqlEqlEqbanb

3、abaddd02010n21AAA总功也与路径无关。总功也与路径无关。niiiirrqq12100114结论：结论： 静电场是保守场，静电场力是保守力静电场是保守场，静电场力是保守力。)11(42100rrqqA上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 试验电荷试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径在静电场中沿任意闭合路径L L运动一周时，电场力对运动一周时，电场力对q0做的功做的功A= =？安培安培上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 在闭合路径在闭合路径L上任取两点上任取两点P1 1、P2 2，将，将L分成分成L L

4、1 1、L L2 2两段，两段，P P2 2P P1 1L L2 2L L1 1lFALdlEqppd210( (L L2 2) )( (L L1 1) )lEqppd210( (L L1 1) )( (L L2 2) )0d0lEqAL即即 lEqLd0lEqppd120lEqppd210 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出即静电场力沿任一闭和路径移动电荷所作的功为零。即静电场力沿任一闭和路径移动电荷所作的功为零。00 q静电场中电场强度静电场中电场强度E的环流恒为零的环流恒为零 0ldE0d0lEqAL上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页

5、 下页下页 返回返回 退出退出 静电场的环路定理静电场的环路定理0dlEL 在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分（称为场强的环流）恒为零。分（称为场强的环流）恒为零。该定理还可表达为：该定理还可表达为：电场强度的环流等于零。电场强度的环流等于零。任何力场，只要其场强的环流为零，该力场就叫任何力场，只要其场强的环流为零，该力场就叫保保守力场守力场或或势场势场。综合静电场高斯定律和环路定理，可知综合静电场高斯定律和环路定理，可知静电场是有静电场是有源的保守力场源的保守力场，又由于电场线是不闭合的，既形不，又由于电场线是不闭合的，既形不成旋涡的，所以成旋涡的，所

6、以静电场是无旋场静电场是无旋场。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出比较：比较：高斯定理：高斯定理：0 内内iSqsdE静电场是有源场静电场是有源场环路定理：环路定理：0 Ll dE静电场是保守力场静电场是保守力场上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出电荷在静电场中的一定位置所具有的势能电荷在静电场中的一定位置所具有的势能重力（保守力）的功重力（保守力）的功=重力势能增量的负值重力势能增量的负值所以所以 静电力的功静电力的功=静电势能增量的负值静电势能增量的负值b点电势能点电势能bWab则则电场力的功电场力的功 ba

7、abldEqA0baWW 取取0 W aaaldEqAW0注意：注意：系统系统aW0qE属于属于及及试验电荷试验电荷处于处于0qa点电势能点电势能aWab 即：即：试验电荷在电场中某点的电势能，在数值上等于把此试验电荷在电场中某点的电势能，在数值上等于把此试验电荷从该点移到势能零点处电场力所作的功。试验电荷从该点移到势能零点处电场力所作的功。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出（1） 电势能零点的选取是任意的，常选无电势能零点的选取是任意的，常选无 限远处为势能零点。限远处为势能零点。（2）势能是一个相对的量值。）势能是一个相对的量值。 （3）用上述定义

8、求电势能必须先明确空间的场强分布。）用上述定义求电势能必须先明确空间的场强分布。（4） 积分路径可任取积分路径可任取 *0aal dEqW势能零点位置势能零点位置上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出1电势电势 VaaaldEqWV0单位正电荷在该点所具有的电势能单位正电荷在该点所具有的电势能单位正电荷从该点到无穷远点电场力所作的功单位正电荷从该点到无穷远点电场力所作的功2.电势差电势差电场中任意两点电场中任意两点 的电势之差（电压）的电势之差（电压）baVV abbaabl dEl dEVVUbabadlEl dEcos单位正电荷从单位正电荷从ab电场力

9、的功电场力的功 aal dEqW0 定义定义 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出电势差电势差电场中两点电势之差电场中两点电势之差( (电压电压) ) 沿着电场线方向，电势降低。沿着电场线方向，电势降低。BAABVVUABlEdBA上式表明，上式表明，静电场中两点静电场中两点A、B的电势差，等于单的电势差，等于单位正电荷在电场中从位正电荷在电场中从A经任意路径到达经任意路径到达B点时电场点时电场力所做的功力所做的功。)(0BAABVVqA电荷电荷q0从从A点经任意路径移动到点经任意路径移动到B点电场点电场力所作的功。是计算电场力作功和计算力所作的功。是计

10、算电场力作功和计算电势能变化常用公式。电势能变化常用公式。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出0qWVaa *al dEaaWVcq10 电势是一个标量，单位是电势是一个标量，单位是“伏特伏特(V)” 电势是一个相对的量，其值取决于零电势点的选取。电势是一个相对的量，其值取决于零电势点的选取。理论计算中：理论计算中：A. 若电荷空间有限，取：若电荷空间有限，取：B. 若电荷空间无限，视情况而定。若电荷空间无限，视情况而定。0rV上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出（3）功、电势差、电势能之间的关系）功、电势差、电势

11、能之间的关系bababaabWWVVql dEqA)(讨论讨论:.0 abAbaWW 0 qbaVV则则0 q则则baVV2.0 abAbaWW 0 qbaVV则则0 qbaVV则则上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出根据电场叠加原理场中任一点的根据电场叠加原理场中任一点的若场源为若场源为1q2qnq的点电荷系的点电荷系场强场强电势电势nE.EEE 21PPnPPPl dEl dEl dEl dEV.21niinVVVV121.各点电荷单独存在时在该点电势的代数和各点电荷单独存在时在该点电势的代数和上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页

12、 返回返回 退出退出点电荷的电势点电荷的电势点电荷的电场点电荷的电场Vr+ +02041rrqElEdrVrqV04rrqrd4120积分得积分得可见可见,点电荷周围空间任一点点电荷周围空间任一点的电势与该点距离点电荷的的电势与该点距离点电荷的距离距离r成反比成反比.正点电荷周围电势分布特点。正点电荷周围电势分布特点。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出点电荷系的电势点电荷系的电势连续分布带电体的电势连续分布带电体的电势q3q1r1r2iiirqV041q2q4r3r4P依据电荷分布特点将连续带电体分依据电荷分布特点将连续带电体分成许多电荷元，再根据电势

13、叠加原成许多电荷元，再根据电势叠加原理进行积分计算。理进行积分计算。rdqdVV04上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例例求电偶极子电场中任一点的电势求电偶极子电场中任一点的电势lOq q XYr1r2r ),(yxP 210122010214)(44rrrrqrqrqVVVPlr cos12lrr 221rrr 30204cos4rrPrlqV222yxr 22cosyxx 23220)(41yxpxV上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出VrqV2010108 .2844rO2q1q4q3q课堂练习：已知正方形

14、顶点有四个等量的电点荷课堂练习：已知正方形顶点有四个等量的电点荷r=5cmC9100 . 4 求求将将求该过程中电势能的改变求该过程中电势能的改变oVcq90100 . 1 0电场力所作的功电场力所作的功JqVVqA720000108 .28)108 .280()(0108 .28200 WWA电势能电势能 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出+例例2 2 一半径为一半径为R 的圆环，均匀带有电荷量的圆环，均匀带有电荷量q 。计。计算圆环轴线上任一点算圆环轴线上任一点P 处的电势。处的电势。+dl解：解：设环上电荷线密度为设环上电荷线密度为环上任取一长度

15、为环上任取一长度为dl的电荷元，其所带电荷的电荷元，其所带电荷该电荷元在该电荷元在p 点电势为：点电势为：rqV04dd01d4lroprxxRdqdl上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出整个圆环在整个圆环在p p 点的电势为点的电势为VVd01d4lr2204xRqrqV04dd01d4lr04dlr024Rr 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出2204xRq 23220)(4RxqxE 322204()xxqxdxVEdxxRE上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出l d

16、例例3.求均匀带电球面电场中电势的分布，已知求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q任一圆环任一圆环 RdRdssin2 dRdsdqsin22 ldRldqdVsin2414200ldq08sin drRldlsin22 rRqdldV08 cos2222RrrRl RrRrrqrRqdlV0048Rr Rr rRrRRqrRqdlV0048ORPr上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出解：解：（1 1）取无穷远处为电势零点；）取无穷远处为电势零点；（2 2）由高斯定律可知电场分布为；）由高斯定律可知电场分布为；（3 3）确定电势分布；）确定电势分布；

17、+ + + + + + + + + + + + + + + + +q qR Ro o)( 41 )( 0020RrrrqERrE上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出(1) (1) 当当r R R时时PrEVPdRrrqd4120Rqo4PrEVPdrrrqd4120rqo4Rq04rV VR+ + + + + + + + + + + + + + + + +q qR Ro o1 r上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出电势分布曲线电势分布曲线场强分布曲线场强分布曲线E EV VRRrrO OO O结论：结论：均匀带电球

18、面，球内的电势等于球表面的电势，均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。204RqRq042 r1 r上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出课堂练习课堂练习 ：1.求等量异号的同心带电球面的电势差求等量异号的同心带电球面的电势差已知已知q q ARBR ARBRq q ARr BRr 204rq BARrR E0由电势差定义由电势差定义 BAABVVU BARRBABARRqdrrql dE)11(44020 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下

19、页下页 返回返回 退出退出求单位正电荷沿求单位正电荷沿odc odc 移至移至c c ，电场力所作的功，电场力所作的功 将单位负电荷由将单位负电荷由 O O电场力所作的功电场力所作的功 q q Rq q RRR0dabc)434(000RqRqVVAcoocRq06 0VVAoO上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 解：解：令无限长直线如图放置，其上电荷线密度为令无限长直线如图放置，其上电荷线密度为 。计算在计算在x轴上距直线为轴上距直线为r的任一点的任一点P P处的电势。处的电势。yrOPP1xr1因为无限长带电直线的电荷分布延因为无限长带电直线的电荷

20、分布延伸到无限远的，所以在这种情况下伸到无限远的，所以在这种情况下不能不能用连续分布电荷的电势公式来用连续分布电荷的电势公式来计算电势计算电势V，否则必得出无限大的，否则必得出无限大的结果，显然是没有意义的。同样也结果，显然是没有意义的。同样也不能直接用电势公式来计算电势不能直接用电势公式来计算电势，不然也将得出电场任一点的电势值不然也将得出电场任一点的电势值为无限大的结果。为无限大的结果。例例4 4 计算无限长均匀带电直线电场的电势分布计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 为了能求得为了能求得P点的电势，可先应用电

21、势差和场强点的电势，可先应用电势差和场强的关系式，求出在轴上的关系式，求出在轴上P点和点和P1点的电势差。无限点的电势差。无限长均匀带电直线在长均匀带电直线在x轴上的场强为轴上的场强为rE02 于是，过于是，过P点沿点沿x轴积分可算得轴积分可算得P点与参考点点与参考点P1 1的电势差的电势差 rrrrrEVVrrrrPP100ln2d2d111 由于由于ln1=0=0，所以本题中若选离直线为，所以本题中若选离直线为r1 1=1 m=1 m处处作为电势零点，则很方便地可得作为电势零点，则很方便地可得P点的电势为点的电势为 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出点