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文档简介

1、 2.无界函数的反常积分 一 无界函数反常积分的概念，柯西判别法 定义 设函数 在 点的任一左领域无界，但对于任意充分小的正数 ， 在 上可积，即存在。假如 存在，那么称此极限值是无界函数 从 到 的反常积分，记为 ；如果上述极限不存在，就说积分 发散。 假如 是 的奇点，可以相仿地给出定义。另外，假如 在 内部有一个奇点我们就分别考察 和 ，如果两者都收敛，就称 收敛，并且 即 xfbx xfba, badxxf 0lim xfab babadxxfdxxf0lim dxxfbaax xf xfba,bcac, dxxfca dxxfbc dxxfba dxxfdxxfdxxfbccaba

2、dxxfdxxfdxxfbccaba00limlim其中 和 是互相独立的趋于 0 。 二 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 1. 阿贝尔判别法 设 在 有奇点， 收敛， 单调有界，那么积分 收敛。 狄利克雷判别法 设 在 有奇点， 是 的有界函数， 单调且当 时趋于零，那么积分 收敛。 xfax dxxfba xg dxxgxfba xfax dxxfba xgax dxxgxfba对 应用第二中值定理可以证明上面的两个结论。 三 反常积分的主值 设 在 内无界， 是唯一奇点 假如存在，我们就称此极限是反常积分 的柯西主值，记为 dxxgxfaa xfba,c dxxfdxxfbcca0lim dxxfba cabcbadxxfdxxfdxxfVP0lim.bca 同样的，对于无穷限的反常积分，柯西主值为 例1 讨论积分 的收敛性。 例2 讨论积分 的收敛性。 例3 讨论 的收敛性。 例4 讨论积分 的敛散性。 例5 讨论积分 的收敛情形。 例6 设 ，求 的主值。 dxxfdxxfVPAA0lim.bca bacxdx0paxdxbap1021

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