必修2--第三章08--直线系方程、对称问题

1、高一数学 必修二 直线与方程直线系方程、对称问题一、新知学习A直线系具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程称直线系方程1平行直线系（1）与已知直线平行的直线系方程为（为参数）注：时，所设直线与已知直线重合，时，所设直线与已知直线平行（2）与已知直线平行的直线系方程为（为参数）注：时，所设直线与已知直线重合，时，所设直线与已知直线平行推论1 经过点，且平行于已知直线的直线方程为推论2 经过点，且平行于已知直线的直线方程为事实上，由（1）知，经过点，且与直线平行的直线方程可设为：（为参数），将点代入上式，得，即，带入整理得2垂直直线系（1）与已知直线垂直的直线系方程为（2）与已知直

2、线（，不同时为零）垂直的直线系方程为（为参数）证明：直线的一个方向向量为，该向量就是所求直线的一个法向量，因此所求直线方程为推论1 经过点，且垂直于已知直线（，不同时为零）的直线方程为，特别地，当，时，方程为证明：垂直于直线直线方程为因为结果点，所以，得，代入中，整理得3过定点直线系过定点的所有直线称为过定点的直线系，其方程称为过定点的直线系方程斜率存在时 （为参数）一般情况下 （，为参数）4过两条直线交点的直线系（1）设是两直线与的交点，则过的直线系方程为：，这里不包括这条直线 分析：此结论涉及以下三个事实：（）该方程表示直线；（）该直线必经过两条已知直线的交点；（）该方程不表示直线现证明如

3、下：（）该方程变形为，其中，的系数、一定不能同时为0否则消去得，从而，这与、相交矛盾 因此该方程一定是关于，的二元一次方程，所以它表示一条直线（）设直线、交点为，则，从而，即直线也经过交点（）无论取何值，方程都不表示直线，否则将有由前两个方程可得消去仍得，于是，这显然与、相交矛盾所以无论取何值，方程不表示直线（2）为了使得方程既能表示直线，又能表示直线，将上述方程改写成如下形式：当，时，方程表示直线；当，时，方程表示直线B对称问题1关于点对称（1）点点（2）点点（3）直线直线（4）直线直线（5）曲线曲线（6）曲线曲线2关于直线对称的两点（1）点点（2）点点（3）点点（4）点点证明：设点关于直线

4、的对称点的坐标为，则由题意得解得所以点关于直线的对称点为（5）点点（6）点点（7）点点其中，的确定思路：3关于直线对称的两条直线（1）直线直线（2）直线直线（3）直线直线（4）直线直线（5）直线直线（6）直线直线（7）直线直线思路：分别给出直线上两个已知点，并求这两点关于直线的对称点，再由两点式确定直线二、知识迁移A利用直线系方程求直线方程例1 分别求满足下列条件的直线的一般式方程（1）过点且与直线平行； （2）过点且与直线垂直； （3）过直线和的交点，且平行于直线结果：（1）（2）（3）自主体验 分别求满足下列条件的直线的方程（1）过点且与直线垂直； （2）过点且与直线垂直； （3）过直线和

5、的交点，且平行于直线 （4）过直线和的交点，且垂直于直线 （5）过点且与直线垂直； （6）过直线和的交点，且垂直于直线 结果：（1）（2）（3）（4）（5）（6）例2 已知直线经过直线和的交点，且直线垂直（1）求直线的方程； （2）若点到直线的距离为，求实数的值 结果：（1）（2）或自主体验 1已知直线的方程为，分别求直线的方程，使满足：（1）过点，且与平行；（2）过点，且与垂直结果：（1）（2）2直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线的方程：（1）过定点；（2）与直线垂直解：（1）由条件可知直线的斜率一定存在，且不为0因为直线过点，所以直线的方程为，所以在两坐标轴上的

6、截距分别为，所以，所以或，所以或，所以直线的方程为或（2）因为与直线垂直，所以设的方程为，所以在两坐标轴上的截距分别为，所以，解得所以直线的方程为或B直线经过定点问题例3 已知直线（1）求证：不论为何值，直线总经过第一象限； （2）为使直线不经过第二象限，求的取值范围 （1）解一：令，得直线. 令，得直线故两直线、交点为，下面验证直线恒过点将，代入方程，左边右边，而点在第一象限内，直线必过第一象限解二：直线方程可变形为：对任意的，方程恒成立，而点在第一象限内，故直线必过第一象限解三：直线方程可变形为：故直线的斜率为，且经过已知点而点在第一象限内，故必过第一象限（2）结果：自主体验 求证：不论为

7、什么实数，直线都经过一定点解：因为，所以，则无论为什么实数，直线都经过直线与的交点由方程组解得即交点为所以不论为什么实数，直线都经过定点C角平分线、线段垂直平分线问题例 （1）已知三角形的三个顶点是、，求的角平分线方程（2）已知直线经过点，且与点的距离为3，求直线的方程结果：（1）（2）的方程为或自主体验 若的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为，则边所在的直线的方程为A B C D解：设，由题意知，线段的中点在直线上，则，解得，所以设点关于直线的对称点为，则有解得所以，则直线（即）的方程为，即D对称问题例1 （1）求点关于直线对称点的坐标； （2）求直线关于点对

8、称的直线方程； （3）求直线关于直线对称的直线的方程； （4）求直线关于直线对称的直线的方程 结果：（1）（2）（3）（4）自主体验 1已知直线，求：（1）点关于的对称点的坐标；（2）直线关于的对称直线的方程；（3）直线关于点的对称直线的方程结果：（1）（2）（3）2已知直线，点，求直线关于点的对称直线的方程 结果：例2 （1）光线从点射到轴上，经反射后经过点，求此过程中光线从到的距离（2）已知点，在直线和轴上各找一点和，使周长最小提示：（1）（2）分别设点关于直线和轴的对称点为、则可求出两对称点的坐标为、当周长最小时，点、应在直线上，由此求出两点坐标为，自主体验 1经过点的一条光线，经直线反射后，又经过点（1）求入射光线所在直线的方程；（2）求这条光线从到的路程（1）提示：点关于直线的对称点为，入射光线所在直线的方程为（2）略2已知直线和两点，（1）在直线上求一点，使最小；（2）在直线上求一点，使最大解：（1）设关于直线的对称点为，则解得故又为直线上的