金融数学-变额年金ppt课件

1、1孟生旺中国人民大学统计学院变额年金变额年金 （Varying Annuities）2主要内容主要内容l递增年金离散支付，离散递增）递增年金离散支付，离散递增）l递减年金离散支付，离散递减）递减年金离散支付，离散递减）l复递增年金：按几何级数递增的年金复递增年金：按几何级数递增的年金l每年支付每年支付 m 次的递增年金略去递减年金）次的递增年金略去递减年金）l连续支付的变额年金：连续支付，离散递增或递减）连续支付的变额年金：连续支付，离散递增或递减）l连续支付连续递增或递减的年金连续支付连续递增或递减的年金l一般的连续支付连续变额现金流一般的连续支付连续变额现金流3回想：等额年金公式回想：等额

2、年金公式年金基本年金永续年金的现值现值累积值期末付期初付1nnvai1nnvad(1)1nnisi(1)1nnisd1ai1ad4年金每年支付m次的年金永续年金的现值现值 累积值期末付期初付()()|1nmmnvai()()|1nmmnvad()()|(1)1nmmnisi()()|(1)1nmmnisd()()|1mmai()()|1mmad5连续支付的年金（连续年金）连续支付的永续年金的现值现值 累积值|1nnva|(1)1nnis|1a61、递增年金、递增年金increasing annuity）l期末付递增年金：期末付递增年金： 第一期末支付第一期末支付1元，第二期末支元，第二期末支2

3、元，元，第，第n期末支付期末支付n元。按算术级数递增。元。按算术级数递增。l如果用如果用 表示其现值，则有表示其现值，则有l上式两边同时乘以上式两边同时乘以(1 + i)则有则有|)(nIannnvvvvIa32|32)(21|(1)()123nni Iavvnv 7l 用第二式减去第一式则有l l所以递增年金的现值为231|()(1)nnniIavvvvnv invaIannn|)( |nnanv8递增年金分解表递增年金分解表时期时期 0123 n 1 n递增年金递增年金123 n 1n等等额额年年金金111 1111 111 11 111递增年金 = n 年定期年金 + 延期1年的 (n

4、1) 年定期年金 + 延期2年的 (n 2) 年定期年金 + + 延期 (n 1) 年的1年定期年金9l将上述各项年金的现值相加即得递增年金的现值为l | 11| 1|)(avavaIannnn 11111nnnvvvvviii 211nnnvvvviinvann| 11nnnnvviivvvi10l根据现值求得其累积值为()(1) ()(1)nnnnnnanvIsiIaii()(1)()nnnnanvIai Iad() = (1 + )( )nnnIsiIsnsndnsni期初付递增年金的现值期初付递增年金的现值期初付递增年金的累积值期初付递增年金的累积值建议：只记忆期末付年金的现值公式。建

5、议：只记忆期末付年金的现值公式。|()nnnanvIai11l当 时，还可以得到递增永续年金的现值为l在计算上述极限时， |()lim()nnIaIa|()lim()limnnnnnanvIaIadnlimlim0(1)nnnnnnvi|limnnnanvi1di21d1111idii 11(1)ii21(1)i12l例：某人希望购买一项年金，该项年金在第一年末的付款例：某人希望购买一项年金，该项年金在第一年末的付款为为1000元，以后每年增加元，以后每年增加100元，总的付款次数为元，总的付款次数为10次。次。如果年实际利率为如果年实际利率为5%，这项年金的现值应该是多少？，这项年金的现值应

6、该是多少？l解：年金分解如下：解：年金分解如下：1000110018001900900900900900100200 900100010|10|900100() = 6949.56 + 3937.38= 1088.69 ()aIa元13l例：写出下述年金的现值公式例：写出下述年金的现值公式l设A表示此年金的现值，那么1 ()nnAP aQ vIa 14l例：证明下列关系式成立：例：证明下列关系式成立：l l （1）l （2）1 |(1)()nnnanvIai|()nnnnanvIaai| ()nnnanvIai已知：15l（2由于 ，因此|()nnnanvIai|(1)nnai a|nnnna

7、vvnvi1 |(1)nnanvi|(1)nnvaiin|nnnanvai1|1nnavv 1|nnnaav（1）|()nnnanvIai|nnnviiaan16时期时期 0123 n 1 n递减年金递减年金nn 1n 2 21等等额额年年金金111 11111 1111 111111期末付递减年金：第一期末支付期末付递减年金：第一期末支付 n 元，第二期末支付元，第二期末支付 n 1元，元，第，第 n 期末支付期末支付1元。按算术级数递减。元。按算术级数递减。 2、递减年金、递减年金decreasing annuity）17l因此递减年金的现值也可以表示为上述等额年金的现 值之和，即：11(

8、)nnnDaaaa1111nnvvviii1() = nnnvvvi = nnai18l递减年金的其他公式：|() = (1 + )()nnDai Da| =nnad|() = (1) ()nnnDsiDs|(1)nnnisd|(1)()(1)()(1)nnnnnnnnanisDsiDaiii|()nnnaDai19l例：一项年金在第一年末付款例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加元，以后每年增加1元，直元，直至第至第 n 年。从第年。从第 n + 1年开始，每年递减年开始，每年递减1元，直至最后一元，直至最后一年付款年付款1元。试计算该项年金的现值是多少？元。试计算该项年金的现值是多少

9、？12nn-11|1|()()nnnIavDa20| 1|)()(nnnaDvaI|1|+(1)nnnnnaivnvai1|1|11()nnnnnnnvnivvv aa1|1|1(1)nnnnav avi 1|1(1)(1)nnvai|nnaa213、复递增年金、复递增年金 （compound increasing annuity） l含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。 l期末付复递增年金期末付复递增年金 ：在第：在第1年末支付年末支付1元，此后每年的支付元，此后每年的支付金额按的复利金额按的复利 r 增长，直到第增长，直到第 n 年末支付年末

10、支付(1+r)n-1。2231(1)(1)(1)nnPVvr vrvrv22l上述年金的现值：l变形可得：l若r i , 令 ， 则现值为： 2231(1)(1)(1)nnPVvr vrvrv22331(1)(1)(1)(1)1nnPVr vrvr vrvr211111.11111nn jPVarjjjr1(1)1r vj1(1)11irr vjjrl 假设 r = i, 则现值为 n/(1+i) 其中23l例：某例：某10年期的年金在第一年末付年期的年金在第一年末付1000元，此后的给付金元，此后的给付金额按额按5递增，假设年实际利率为递增，假设年实际利率为11.3%，请计算这项年，请计算这

11、项年金在时刻零的现值。金在时刻零的现值。 l解：本例年金的现金流如下图所示：解：本例年金的现金流如下图所示：24 现值：其中因此该项年金的现值为： 10111000100011.05n jjaae0.1130.050.06110.05irjr1010 6%111 1.06100010007009.611.051.050.06a25l期初付复递增年金：假设一项年金在第期初付复递增年金：假设一项年金在第1年初给付年初给付1元，此元，此后给付金额按复利增长，直到第后给付金额按复利增长，直到第 n 年初给付金额为年初给付金额为 元。元。1(1)nr26l此项年金的现值表达式：l若r i，则可令 ，上式

12、变形为：22111 (1)(1)(1)nnPVr vrvrv 1(1)1r vj211111.111nn jPVajjj 1irjr 其中 l 假设 r = i, 则现值为 n27问题：对于等额年金，期初付年金的现值是期末付问题：对于等额年金，期初付年金的现值是期末付年金的年金的 (1 + i) 倍，对于复递增年金而言，期初付与倍，对于复递增年金而言，期初付与期末付存在什么关系？期末付存在什么关系？l 假设 r = i, 期末付的现值为 n/(1+r) = n/(1+i)，期初付的现值为 n.l 假设 r i, 期末付的现值为： 11n jPVar期末付期初付的现值为：n jPVa 期初付结论

13、：期初付的现值是期末付的(1+i)倍参见下页图示）。28期末付：期初付：29l例：一份例：一份20年期的年金，在第年期的年金，在第1年初给付年初给付200元，以后给付元，以后给付金额按金额按10的递增，假设年实际利率为的递增，假设年实际利率为5%，请计算此项，请计算此项年金在时刻零的现值。年金在时刻零的现值。l解：本例年金的现金流如下图所示：解：本例年金的现金流如下图所示：30l此项年金的现值为：l其中l因此，此项年金的现值为：20200ja 0.050.14.5455%110.1irjr 20204.5455%1 (1 0.045455)20020064490.045455/(1 0.045

14、455)a3110年期期末付年金的现值 a 与利率 i 的关系324、每年支付、每年支付m次的递增年金次的递增年金l如果每年支付m次，付款又是递增的，将会出现下述两种情况：l同一年的每次付款相同l同一年的每次付款也是递增的33每年支付每年支付 m 次的递增年金：同一年的每次付款相同次的递增年金：同一年的每次付款相同()()211()(123)mmnnIaavvnv现值：注：见下页说明34第一年内所有付款的现值为第二年内所有付款的现值为第n年内所有付款的现值为因此该项年金的现值为： ()1ma()12mva1()1nmnva()()211()(123)mmnnIaavvnv()1nnmanvvi

15、d()nnmanvi35l每年支付每年支付 m 次的递增年金：同一年的每次付款递增次的递增年金：同一年的每次付款递增两种方法计算现值：（1看做nm次付款的递增年金，应用递增年金的公式。（2建立新公式了解）36()()21, (1)1mmmnm jnIaIajim （1应用递增年金公式计算现值：应用递增年金公式计算现值：37l令l在式两边同时乘以 ，则有12323nmmmvvvmn vR(12)()23231nmmmnmmvvvmnIamv1(1)mi1121(1)1 23nmmmmRivvmnv 1211111nnmmmmRivvvmn v()mnnmamn v（2建立新公式了解）建立新公式了

16、解）38l上式两边同时乘以m，则有l所以 2()2()2()2()mnmmnnmnm am n vR im am n vRi()()()2()mnmmnmnanvRIami1()11mnmnRimamn v39比较：比较：()()(|)|)()mnmmnmnnvIaai(|)|()mmnnnnvIaia 请写出累积值的公式。问题：如何应用上述公式？问题：如何应用上述公式？（每年付款m次，第一年的每次付款为1/m，第一年的付款总额为1）（每年付款m次，第一次付款为1/m2）40例：写出下述年金的现值计算公式年利率例：写出下述年金的现值计算公式年利率i=10%)：10010010010020020

17、0200200(|)|()mmnnnnvIaia 22(4)(4)|22100 4 ()400iavIai 012411002003004005006007008002|22(4)(4)(4()2|4)2(1) 100 4()16003148.8vIaia012例：写出下述年金的现值计算公式年利率例：写出下述年金的现值计算公式年利率i=10%)：88488(1)(2) 100 ()1003148.8 (1)1 10%jjjIajja 42每年支付每年支付m次的递减年金了解，课外练习）次的递减年金了解，课外练习） ()()()mnmnnaDai()()(1)()nmnmnnisDsi()()()

18、mnmnnaDad()()(1)()nmnmnnisDsd435、连续支付的变额年金、连续支付的变额年金 (continuously payable varying annuity)l含义：支付次数趋于无穷，即支付是连续进行的，但支付含义：支付次数趋于无穷，即支付是连续进行的，但支付金额随时间呈离散变化。金额随时间呈离散变化。l连续支付的递增年金连续支付的递增年金l连续支付的递减年金连续支付的递减年金 l假设在第一年连续支付假设在第一年连续支付1元，第二年连续支付元，第二年连续支付2元，元，第，第n 年连续支付年连续支付 n 元，如下图所示：元，如下图所示： 44l连续支付的递增年金的现值为：

19、211111()23nnIaaa va vna v211(1 23)navvnv1()naIannanv1nnanvvd45l例：一个现金流在第例：一个现金流在第1年连续支付年连续支付30元，第元，第2年连续支付年连续支付40元，第元，第3年连续支付年连续支付50元，直到第元，直到第10年连续支付年连续支付120元，元，假设年实际利率为假设年实际利率为5%，求这项年金的现值。，求这项年金的现值。l解：可以把这项年金分解为两项年金解：可以把这项年金分解为两项年金:10 5%10 5%2010()PVaIa46l本例年金的现值为：l可以计算出 10 5%10 5%2010()PVaIa1010 5

20、%1 1.058.1078220.05/1.05a 1010 5%1 1.057.913209ln(1.05)a 1010 5%8.107822 10(1.05)()40.350130ln(1.05)nnanvIa10 5%10 5%2010()561.77PVaIa47l连续支付的递增年金的终值：l连续支付的递增永续年金的现值 ：第1年连续支付1元，第2年连续支付2元，第3年连续支付3元，并以此方式无限地延续下去。其现值为()(1) ()(1) ()nnnnnnnanvsnIsiIai1/1()limnnnanvdIad48l连续支付的递减年金连续支付的递减年金 ：支付是连续进行的，但支付：

21、支付是连续进行的，但支付金额随时间离散递减。金额随时间离散递减。l第第1年连续支付年连续支付n元，第元，第2年连续支付年连续支付n -1元，直到第元，直到第n年连续支付年连续支付1元。该年金的现金流如下图所示。元。该年金的现金流如下图所示。 211111()(1)(2)nnDanana vna va v49l上述年金的现值：211111()(1)(2)nnDanana vna va v211(1)(2)nannvnvv1()1nnaDanavdnna(1)()(1) ()(1)nnnnnnnnanisDsiDai50l例：一项年金在第例：一项年金在第1年连续支付年连续支付100元，第元，第2年

22、连续支付年连续支付90元，第元，第3年连续支付年连续支付80元，直到第元，直到第10年连续支付年连续支付10元，假元，假设年实际利率为设年实际利率为6，求其现值。，求其现值。 l解：其现值的表达式为：解：其现值的表达式为：l因此本例年金的现值为：因此本例年金的现值为：10 6%10()Da1010 6%1 1.067.3600870.06a10 6%107.360087()45.305688ln(1.06)ninaDa10 45.305688453.0651变额年金公式小结变额年金公式小结 年金递增年金永续年金的现值现值累积值每年支付1次每年支付m次连续支付|()nnnanvIai-=&

23、; &()nnsnIsi()nnnanvI a()nnsnI s1()Iadi|()()|()nnmmnanvIai|()()|()nmmnsnIsi1()I ad()()1()mmIadi52年金递减年金现值 累积值每年支付1次每年支付m次连续支付()nnnaDai(1)()nnnnisDsi()nnnaDa(1)()nnnnisDs()()()mnmnnaDai()()(1)()nmnmnnisDsi536、连续支付连续递增的年金简称：连续递增年、连续支付连续递增的年金简称：连续递增年金）金） （continuously increasing annuity） l假设在时刻t的付款

24、率payment rate为t，常数利息力为d，则连续支付连续递增年金的现值为：l注: I 和 a 上都有横线。在时刻 t 的付款率为 t，表示按此付款，1年的付款总量将为 t .0()ntnI atedt54l上式右边可用分部积分法展开： 0000exp()exp()d exp(exp()nnnntttttdttdtt201exp(exp()nnnt22exp(exp()1nnne1 exp(xp()nnnnnanvve55l连续支付连续递增年金的终值为()(1) ()nnnnsnIsiIa56l例：一项例：一项10年期的连续支付连续递增年金，在时刻年期的连续支付连续递增年金，在时刻 t 的

25、付的付款率为款率为9t+6，利息力为，利息力为9，计算此项年金在时刻零的现，计算此项年金在时刻零的现值。值。 l解：分解成两部分：解：分解成两部分：l连续支付连续递增的年金连续支付连续递增的年金l连续支付的等额年金连续支付的等额年金l其中：其中： 10109()69 28.0885926 6.593670292.36Iaa 0.0919.4174%ie 10101 (1.094174)6.5936700.09a10106.593670 10(1.094174)()28.0885920.09Ia57l例：一项年金的付款期是从第例：一项年金的付款期是从第2年末至第年末至第7年末，并且在时刻年末，并

26、且在时刻t的付的付款率为款率为3t-4，假设固定利息力为，假设固定利息力为6，试求此项年金在第，试求此项年金在第7年末的终年末的终值。值。l解：解： 假设此年金的付款期是从时刻假设此年金的付款期是从时刻0到第到第7年末，则其终值可表示年末，则其终值可表示为：为：l从时刻从时刻0到第到第2年末的付款累积到第年末的付款累积到第7年末的价值为：年末的价值为：l因此，本例年金的终值为：因此，本例年金的终值为：773()4Iss0.022226 (7 2)0.33()43()4IssseIse0.377223()43()4IssIsse58l通过计算可得：l l故本例年金的终值为：22(1.061837

27、)12.1249480.06s78.6993607()28.3226670.06Is22.1249482()2.0824670.06Is0.377220.33()43()43 28.3226674 8.699360(3 2.08246742.124948)53.21IssIssee 0.0616.1837%ie 77(1.061837)18.6993600.06s59l连续支付连续递增的永续年金：在连续支付连续递增年金连续支付连续递增的永续年金：在连续支付连续递增年金的现值公式中，令的现值公式中，令n 趋于无穷大，则可以得到连续支付连趋于无穷大，则可以得到连续支付连续递增永续年金的现值公式：续

28、递增永续年金的现值公式： ()lim()nnIaIa21limnnnanv1limnnnvnv60l例：一项连续支付的永续年金在时刻例：一项连续支付的永续年金在时刻 t 的付款比率为的付款比率为 3t，付款从付款从 0 时刻起并一直延续下去，年实际利率为时刻起并一直延续下去，年实际利率为5，则，则其现值为：其现值为：213()31260.25ln(1.05)Ia 617、连续支付连续递减的年金简称：连续递减年金）、连续支付连续递减的年金简称：连续递减年金） (continuously decreasing annuity)l含义：年金的支付期为 n 年，在时刻 t 的付款率为 n- t，固定利

29、息力为d。其现值用符号 表示。l连续支付连续递减年金的现值公式： ()nDa0()()()ntnnnDant edtnaIannannnanvna(1)nnnvvnna62l例：一项例：一项10年期的年金，在时刻年期的年金，在时刻 t 的付款率为的付款率为 10-t，假，假设利息力为设利息力为5，试计算此项年金在时刻零的现值和在，试计算此项年金在时刻零的现值和在第第10年末的终值。年末的终值。l解：解：0.0515.127%ie 10101 (1.05127)7.869260.05a10107.86926()42.610.05nnaDa10 0.0510()42.6170.25Dse现值：终值

30、累积值）：638、一般的连续支付连续变额现金流、一般的连续支付连续变额现金流 l现值：假设付款时间是从时刻现值：假设付款时间是从时刻 a 到时刻到时刻 b，在时刻，在时刻 t 的付的付款率为款率为rt，利息力为，利息力为 dt。时辰。时辰 t支付的支付的1在时刻在时刻 a的现值为的现值为下页图示）下页图示） l从时刻从时刻 a 到时刻到时刻 b 内，所有付款在时刻内，所有付款在时刻 a 的现值是将所有的现值是将所有付款的现值加总，在连续情况下就是对它们进行积分：付款的现值加总，在连续情况下就是对它们进行积分： expdtsasexpddbttsaast64abc0t100expdexpdexp

31、dtatsssasss在0点的现值累积到a点在a点的现值65例：一个连续支付的现金流例：一个连续支付的现金流支付期从时刻支付期从时刻0开始到时刻开始到时刻0.5结束结束在时刻在时刻 t 的支付率为的支付率为 利息力为利息力为 试计算此现金流在时刻零的现值。试计算此现金流在时刻零的现值。 解：解：103tt0.20.06tt0.500expd(103)exp(0.20.06)ddbtttsaas dttsst0.520(103)exp(0.10.06 ) dtttt66l令l则其现值为：20.10.06utt ( 0.20.06)ddutt 0.5200.520(103)exp(0.10.06

32、) d50( 0.20.06)exp0.10.06dtttttttt 0.5050e duu 0.52050 exp0.10.06tt 2.68 67l非立即支付现金流的现值：一个现金流的起始时刻为非立即支付现金流的现值：一个现金流的起始时刻为a 0，结束时刻为结束时刻为b，计算在，计算在0点的现值：点的现值：l方法一：计算此现金流在时刻方法一：计算此现金流在时刻 a 的现值，再将此现值从时的现值，再将此现值从时刻刻a贴现到时刻零。贴现到时刻零。l方法二：改变前式对利息力积分的下积分限来得到在时刻方法二：改变前式对利息力积分的下积分限来得到在时刻零的现值：零的现值： 0expddbttsast

33、0expexpdddbttsaaassts68例：一个连续支付现金流的支付率为例：一个连续支付现金流的支付率为 rt = 3 元，支付期限从元，支付期限从时刻时刻2到时刻到时刻6，并且具有固定的利息力，并且具有固定的利息力dt = 0.05，试计算，试计算此现金流在时刻零的现值。此现金流在时刻零的现值。解：解： 改变对利息力积分的积分限，有：改变对利息力积分的积分限，有：660.052023exp0.05dd3edttstt60.0523e0.05t9.84 69l 另一种方法：先计算现金流在时刻2的现值：l从时刻2到时刻零的贴现因子为：l l因此上述现金流在时刻零的现值为：l 440.2411 e1 e333310.880.05va220.10expdee0.90484ss10.88 0.904849.8470l终值：在时刻终值：在时刻 t 支付支付1元，将其累积到时刻元，将其累积到时刻b的终值为下的终值为下页图示）页图示）l为了计算从时刻为了计算从时刻a到时刻到时刻b内所有付款的终值，需要将该期内所有付款的终值，需要将该期间内所有付款的终值加总，在连续情况下就是对它们进行间内所有付款的终值加总，在连续情况下就是对它们进行积分：积分： expbstdsexpddbbtsatst71abc0t100expdexpdexpdtbbssstsss在0点的现值累积到b点在