数学必修2---直线与方程典型例题.

1、第三章直线与方程【典型例题】题型一 求直线的倾斜角与斜率设直线l斜率为k且1< k <1则倾斜角的取值范围拓展一 三点共线问题例 已知三点A(a， 2)、 B(3， 7)、 C(-2， -9a) 在一条直线上，求实数a 的值例 已知三点 A(2,2), B(a,0), C (0, b)(ab110) )在一条直线上，则ba拓展二 与参数有关问题例 已知两点 A (-2,- 3) , B (3, 0) , 过点 P (-1, 2) 的直线 l 与线段 AB 始终有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 .变式训练：已知 A(2, 3), B( 3, 2) 两点，直线 l 过定点

2、P(1,1)且与线段 AB 相交，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 .拓展三 利用斜率求最值例 已知实数x、y满足 2xy 8,xy 的最大值与最小值。当 2 3时，求x3.1.2 两条直线平行与垂直的判定【典型例题】题型一 两条直线平行关系例 1已知直线 l1 经过点 M（-3， 0）、 N（ -15， -6）， l2 经过点 R（ -2， 3 ）、 S（0， 5 ），试22判断 l1 与 l2 是否平行？变式训练 ：经过点 P( 2, m) 和 Q(m,4)A4B1的直线平行于斜率等于 1 的直线，则 m 的值是（C1或 3 D1或4）.题型例 2二 两条直线垂直关系已知ABC 的顶点

3、B (2,1), C(6,3)，其垂心为H ( 3,2) ，求顶点A 的坐标变式训练 ：（ 1） l 1 的倾斜角为45°， l2 经过点 P（ -2，-1）、Q（ 3，-6），问 l1 与 l 2 是否垂直？（2）直线 l1 , l 2 的斜率是方程x23x10 的两根，则l1与 l2 的位置关系是.题型三 根据直线的位置关系求参数例 3 已知直线 l1 经过点 A(3,a) 、 B（a-2,-3） ,直线 l2 经过点 C（ 2， 3）、D （-1， a-2） ,（1）如果 l1 / l 2 ，则求 a 的值；（ 2）如果 l1 l2 ，则求 a 的值题型四 直线平行和垂直的判定

4、综合运用例 4 四边形 ABCD 的顶点为A(2,22 2) 、 B( 2, 2) 、 C(0,222) 、 D (4,2) ，试判断四边形 ABCD 的形状 .变式训练 ：已知 A（ 1，1），B（ 2，2），C（ 3，-3），求点 D，使直线CD AB，且 CB AD探点一 数形结合思想例 5已知过原点 O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于 A、B 两点，分别过点A、 B 作 y轴的平行线与函数y=log 2x 的图象交于C、 D 两点 .（ 1）证明：点C、D 和原点 O 在同一直线上. （ 2）当 BC 平行于 x 轴时，求点A 的坐标.探点二分类讨论思想例 6ABC 的顶

5、点 A(5, 1), B(1,1), C(2, m) ，若ABC 为直角三角形，求m 的值 .3.2 直线的方程3.2.1直线的点斜式方程【典型例题】题型一 求直线的方程例 1 写出下列点斜式直线方程： （ 1）经过点 A(2,5) ，斜率是 4；（ 2）经过点 B(3, 1) ，倾斜角是 30 .例 2倾斜角是 135 ，在 y 轴上的截距是3 的直线方程是.变式训练 ：1. 已知直线l 过点P(3,4)，它的倾斜角是直线yx1 的两倍，则直线l 的方程为2. 已知直线 l 在 y 轴上的截距为3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线 l 的方程 .3.将直线yx31绕它上面一点（1

6、，3 ）沿逆时针方向旋转15°，得到的直线方程是.题型二 利用直线的方程求平行与垂直有关问题例 3 已知直线 l1 的方程为y2x3,l2 的方程为 y4x2 ，直线 l 与 l1 平行且与 l 2在 y 轴上的截距相同，求直线l 的方程。探究一 直线恒过定点或者象限问题例 4. 已知直线 y kx 3k 1 .（ 1）求直线恒经过的定点；（ 2）当 3 x 3 时，直线上的点都在 x 轴上方，求实数 k 的取值范围 .探究二 直线平移例 5 已知直线l： y=2x-3 ，将直线l 向上平移2 个单位长度，再向右平移4 个单位后得到的直线方程为 _3.2.2 直线的两点式方程【知识点

7、归纳】1.直线的两点式方程：2.直线的截距式方程：【典型例题】题型一求直线方程例 1 已知 ABC 顶点为 A(2,8), B( 4,0), C (6,0) ，求过点B 且将 ABC 面积平分的直线方程.变式训练：1.已知点 A（ 1， 2）、 B（ 3， 1），则线段 AB 的垂直平分线的方程是（） .A 4 x 2 y 5B 4x 2 y 5C x 2 y 5D x 2 y 52.已知 2x13 y14,2 x23 y24，则过点 A( x1, y1), B(x2 , y2 ) 的直线 l 的方程是（） .A.2x3 y4B.2 x 3 y 0C. 3x 2 y 4D. 3x 2 y0例

8、2 求过点 P(3,2) ，并且在两轴上的截距相等的直线方程.变式训练 ：已知直线l 过点（ 3， -1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l 的方程为题型二 直线方程的应用例 3 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用 y（元）是行李重量 x（千克）的一次函数，其图象如图所示.（ 1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并说明自变量 x 的取值范围；（ 2）如果某旅客携带了 75 千克的行李，则应当购买多少元行李票？y 元106ox（千克）60 80探究例 4一直线与坐标轴围成的周长及面积已知直线 l 过点 ( 2,3) ，且与两坐标轴构成

9、面积为4 的三角形，求直线l 的方程探究二有关光的反射例 5 光线从点A（ 3， 4）发出，经过6），求射入y 轴后的反射线的方程.x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点B（ 2，变式训练 ：已知点A(3,8) 、 B(2,2) ，点 P 是 x 轴上的点，求当APPB 最小时的点P 的坐标3.2.3 直线的一般式方程【知识点归纳】1直线的一般式：2直线平行与垂直的条件：【典型例题】题型一 灵活选用不同形式求直线方程例 1 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（ 1）斜率是1，经过点A（ 8， 2）； （ 2）经过点B(4， 2)，平行于x 轴；2（ 3）在x 轴和y 轴上的截距分

10、别是3, 3； （ 4）经过两点P1（ 3， 2）、 P2（ 5， 4）.2题型二 直线不同形式之间的转化例 2 求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：过点A( 5,6), B( 4,8) .题型三 直线一般式方程的性质例 3 直线方程 Ax By C 0 的系数 A、 B、 C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质 ?（ 1）与两条坐标轴都相交； （ 2）只与 x 轴相交；（ 3）只与 y 轴相交；（ 4）是 x 轴所在直线；（ 5）是 y 轴所在直线 .变式训练 ：已知直线 l :5 ax5ya30 。（ 1）求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限； （ 2）为使

11、直线不经过第二象限，求 a 的取值范围。题型例 4四 运用直线平行垂直求参数已知直线 l1 ： xmy2m2（ 1） l1l 2 ；（ 2） l10 ， l 2 ：/ l 2 .mxy1m0 ，问m 为何值时：变式训练 ：（ 1）求经过点A(3,2) 且与直线（ 2）求经过点B(3,0) 且与直线 2 x4 xy5y020 平行的直线方程；垂直的直线方程.题型五 综合运用例 5已知直线 l1 : x my 60 ， l 2 : (m 2) x 3 y 2m 0 ，求 m 的值，使得：（ 1） l1 和 l 2 相交；（ 2） l 1 l 2；（ 3）l 1/l 2；（ 4） l 1 和 l2

12、重合 .3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离【知识点归纳】1.两条直线的焦点坐标：2.两点间的距离公式：【典型例题】题型一 求直线的交点坐标例 1 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.（1）直线 l1: 2x 3y+10=0 , l 2: 3x+4y2=0 ； （ 2）直线 l1:nxyn1 , l2:nyx2n .题型二三条直线交同一点例 2 若三条直线2x3y80, xy10， kxy20 相交于一点，则k 的值等于变式训练 ： 1.设三条直线：x2 y1,2 xky3,3kx4 y5 交于一点，求k 的值2.试求直线 l1

13、 : xy20 关于直线 l 2 : 3 xy30 对称的直线l 的方程 .题型三求过交点的直线问题例 3求经过两条直线 2x y 80 和 x 2 y 10 的交点，且平行于直线4 x 3y 7 0 的直线方程 .变式训练 ：已知直线l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过 l 1 和 l 2 的交点，且与直线 l 3:3x-2y+4=0 垂直的直线l 的方程 .题型四两点间距离公式应用例 4 已知点 A( 2, 1), B(a,3) 且 | AB |5 ，则 a 的值为变式训练 ：在直线 2 xy0 上求一点P ，使它到点M (5,8) 的距离为，并求直线PM

14、的方程 .题型五 三角形的判定例 5 已知点 A(1,2), B(3,4), C (5,0) ，判断ABC 的类型探究例 6一直线恒过定点问题已知直线 (a2) y(3a1)x1 .求证：无论a 为何值时直线总经过第一象限.变式训练 ：若直线l： y kx3 与直线2x 3y 6 0 的交点位于第一象限，求直线l 的倾斜角的取值范围.探究二利用对称性求最值问题（和最小，差最大）例 7 直线 2x y 4=0 上有一点P，求它与两定点A(4 ， 1)，B(3，4)的距离之差的最大值.变式训练 ：已知 M (1,0)、 N ( 1,0) ，点 P 为直线 2 xy10 上的动点求PM 2PN 2

15、的最小值，及取最小值时点P 的坐标3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离【知识点归纳】1.点到直线的距离：2.两条平行间直线的距离：拓展：点关于点、直线对称点的求法【典型例题】题型一 利用点到直线距离求参数例 1 已知点 (a,2) (a0) 到直线l : xy30 的距离为1，则 a=（） .A 2B 2C21D21题型二 利用点到直线距离求直线的方程例 2求过直线 l1 : y1x10 和 l 2 :3xy 0 的交点并且与原点相距为1 的直线 l 的方程 .33变式训练 ：直线 l 过点P(1 ，2)，且M(2， 3)， N(4 ， 5)到 l 的距离相等，则直线l

16、的方程是题型三 利用平行直线间的距离求参数例 3若两平行直线 3x 2 y 1 0 和 6x ay c0 之间的距离为2 13 ，求 c2的值.13a变式训练 ：两平行直线 5x 12y3 0与10x24y 5 0 间的距离是（） .2B.1C.1D.5A.13262613题型四 利用平行直线间的距离求直线的方程例 4 与直线 l :5 x12 y60 平行且与 l 的距离 2 的直线方程是题型五 点、直线间的距离的综合运用例 5 已知点 P 到两个定点 M（ 1， 0）、 N（ 1， 0）距离的比为 2 ，点 N 到直线 PM 的距离为 1求直线 PN 的方程探究例 6一与直线有关的对称问题 ABC 中， A(3,3), B(2,2), C( 7,1