函数与导数Word版

1、 函数与导数 常见题型一、 小题：1. 函数的图象2. 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性);3. 分段函数求函数值；4. 函数的定义域、值域（最值）；5. 函数的零点；6. 抽象函数；二、大题：1. 求曲线在某点处的切线的方程； 2. 求函数的解析式3. 讨论函数的单调性，求单调区间； 4. 求函数的极值点和极值；5. 求函数的最值或值域； 6. 求参数的取值范围7. 证明不等式； 8. 函数应用问题知识点总结1映射：注意 第一个集合中的元素必须有象；一对一，或多对一。2函数值域的求法：分析法 ；配方法 ；判别式法 ；利用函数单调性 ；换元法 ；利用均值不等式 ；利用数形结合或几何意

2、义（斜率、距离、绝对值的意义等）；利用函数有界性（、等）；导数法3复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法： 若f(x)的定义域为a，b,则复合函数fg(x)的定义域由不等式ag(x)b解出 若fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于xa,b时，求g(x)的值域。（2）复合函数单调性的判定：首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。注意：外函数的定义域是内函数的值域。4分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是

3、函数具有奇偶性的必要条件；是奇函数；是偶函数 ；奇函数在原点有定义，则；1 / 11在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；6函数的单调性单调性的定义：在区间上是增（减）函数当时；单调性的判定:定义法：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；导数法（见导数部分）；复合函数法（见3（2）；图像法。7函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有 （其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期 ； ； ；函数周期的判定：定义法（试

4、值） 图像法 公式法（利用（2）中结论）8基本初等函数的图像与性质幂函数： （ ；指数函数：；对数函数:；正弦函数:；余弦函数： ； （6）正切函数：；其它常用函数：正比例函数：；反比例函数：；9二次函数：解析式：一般式：；顶点式：，为顶点；零点式： 。二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。二次函数问题解决方法：数形结合；分类讨论。10函数图象图象作法 ：描点法（注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法图象变换： 平移变换：，左“+”右“-”； 上“+”下“-”； 伸缩变换：， （纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；， （横坐标不变，纵坐标伸长为

5、原来的倍； 对称变换：； ； 翻转变换：右不动，左向右翻（在左侧图象去掉）；上不动，下向上翻（|在下面无图象）；11函数图象（曲线）对称性的证明(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然；12函数零点的求法：直接法（求的根）；图象法；二分法.13导数 (1)常见函数的导数公式: ； 。导数的四则运算法则：(4)导数的应用：利用导数求切线：注意：所给点是切点吗？所求的是“在”还是“过”该点的切线？利用导数判断函数单调性： 是增函数； 为减函数； 为常数；

6、 利用导数求极值：求导数；求方程的根；列表得极值。利用导数最大值与最小值：求的极值；求区间端点值（如果有）；得最值。典型例题考点一. 函数的解析式、定义域、值域求法例1、函数的定义域为ABCD例2、用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值，设=min, x+2,10-x (x 0),则的最大值为 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7考点二. 函数的零点例1、函数的零点个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3例2、设a为常数，试讨论方程的实根的个数。例3、已知a是实数，函数，如果函数在区间-1，1上有零点，求实数a的取值范围。解：当a=0时，函数为=2x -3，其零点x=不在区间-

7、1，1上。当a0时，函数在区间-1，1分为两种情况：函数在区间1，1上只有一个零点，此时或解得1a5或a= 函数在区间1，1上有两个零点，此时 或 解得a5或a<故如果函数在区间1，1上有零点，那么实数a的取值范围为(-, 1, +)考点三.函数的单调性、奇偶性和周期性例1、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则解：因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么

8、方程=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知 所以 答案:-8例2、已知函数若则实数的取值范围是 A B C D 考点四.函数的图象例1、右图是函数的图象，给出下列命题： 3是函数的极值点；1是函数的最小值点； 在处切线的斜率小于零；在区间（3，1）上单调递增。 则正确命题的序号是（ ）ABCD例2、函数( )yxo424-42-2-2xyo4-424-42-2-2xyy4o-424-42-2-26666yx-4-2o4224 考点五. 利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围例1、已知函数f（x）x3ax2bxc在x与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单

9、调区间（2）若对xÎ1，2，不等式f（x）<C2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f（x）x3ax2bxc，f¢（x）3x22axb由f¢（），f¢（1）32ab0得a，b2f¢（x）3x2x2（3x2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（¥，）（，1）1（1，¥）f¢（x）00f（x）­极大值¯极小值­所以函数f（x）的递增区间是（¥，）与（1，¥），递减区间是（，1）（2）f（x）x3x22xc，xÎ1，2，当x时，f（x）c为极大值，而

10、f（2）2c，则f（2）2c为最大值。要使f（x）<c2（xÎ1，2）恒成立，只需c2>f（2）2c，解得c<1或c>2考点六 抽象函数 例1、定义在R上的单调函数满足=log3且对任意x，yR都有= +(1)求证为奇函数；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围解：(1)：= + (x，yR)，令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，所以

11、f(x)是奇函数(2)：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数f(k·3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3-3+9+2，3-(1+k)·3+20对任意xR成立令t=30，问题等价于t-(1+k)t+20对任意t0恒成立R恒成立考点七：利用导数研究导数的单调性例1、已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.解（1） 当所以 因此,即曲线又所以曲线（2）因为,所以 ,令当时，所以 当时，>0，此时，函数单调递减；当时，<0，此时

12、，函数单调递增.当时，由，即，解得. 当时， ， 恒成立，此时，函数在（0，+）上单调递减; 当时， ，时，,此时,函数单调递减时，<0,此时,函数单调递增时，此时，函数单调递减 当时，由于,时，,此时,函数单调递减：时，<0,此时,函数单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减;函数在上单调递增当时,函数在上单调递减当时，函数在上单调递减；函数 在上单调递增； 函数在上单调递减.考点八：导数与不等式的综合例1、设在上是单调函数.求实数的取值范围；解：（1） 若在上是单调递减函数，则须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.若在上是单调递增函数，则，由于.从而0<a3.例2、已知为实数，函数若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围解：，函数的图象有与轴平行的切线，有实数解