第三节空间的平面及直线

1、返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-101第三节第三节 空间的平面与直线空间的平面与直线 第六章第六章 四、平面束四、平面束一、平面的方程一、平面的方程二、空间直线的方程二、空间直线的方程三、点三、点、直线直线、平面之间的位置关系平面之间的位置关系五、小结与思考练习五、小结与思考练习返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-102zyxo0Mn一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程),(0000zyxM设一平面通过已知点设一平面通过已知点且垂直于非零向且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称称式式为平面为平面 的的点法式方程点法式方程, ,求该平面求该平面 的的

2、方程方程. .,),(zyxM任取点),(000zzyyxx法向量法向量. .量量, ),(CBAn nMM000nMMMM0则有则有 故故的为平面称n1.1.点法式方程点法式方程返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-103例例1: 求过点求过点(2, 3, 0)且以且以 n = (1, 2, 3)为法向量的为法向量的平面的方程平面的方程.解解:根据平面的点法式方程根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为可得平面方程为:1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0即即: x 2y + 3z 8 = 0 (自学课本自学课本 例例1）返回返回上页上页下页下页目录目录2

3、022-2-104kji,1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即即1M2M3M解解: 取该平面取该平面 的法向量为的法向量为),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面的平面 的方程的方程. (自学课本自学课本 例例2）利用点法式得平面利用点法式得平面 的方程的方程346231nn3121MMMM例例2 2 求过三点求过三点返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-105M1M3M1M2，共面共面M1M，, 0)(31211MMMMMM即即平面的三点式方程平面的三点式方程设平面设平面 过过不共线的三点不共线的三点M2 ( x

4、2 , y 2 , z 2),M3 (x 3 , y 3 , z 3),M1 (x 1 , y 1 , z 1),对于平面上任一点对于平面上任一点 M (x , y , z),1112121213131310.xxyyzzxxyyzzxxyyzz平面的三点式方程平面的三点式方程.(2)返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1062.2.平面的一般方程平面的一般方程平面的点法式方程为平面的点法式方程为此方程称为此方程称为平面的一般方程，平面的一般方程，其中其中0DzCyBxA0)()()(000zzCyyBxxA整理得整理得 )0(222CBA),(CBAn 为平面的法向量。为平面的法向

5、量。 000A0AxByCzxByCz返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-107(1) 过原点的平面方程过原点的平面方程由于由于O (0, 0, 0)满足方程满足方程, 所以所以D = 0. 于是于是, 过原点的平面方程为过原点的平面方程为:A x + B y + C z = 0Ax +By +Cz +D = 0平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-108(2) 平行于坐标轴的平面方程平行于坐标轴的平面方程考虑平行于考虑平行于x轴的平面轴的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量它的法向量n =(A,

6、B, C)与与x 轴上的单位向量轴上的单位向量 i =(1, 0, 0)垂直垂直, 所以所以n i = A 1 + B 0 + C 0 = A = 0于是于是:平行于平行于x 轴轴的平面方程是的平面方程是 By + Cz + D = 0;平行于平行于y 轴轴的平面方程是的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于平行于z 轴轴的平面方程是的平面方程是 Ax + By + D = 0.特别特别: D = 0时时, 平面过坐标轴平面过坐标轴.返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-109(3) 平行于坐标面的平面方程平行于坐标面的平面方程平行于平行于xOy 面面的平面方程是的平面方

7、程是 Cz + D = 0;平行于平行于xOz 面面的平面方程是的平面方程是 By + D = 0; 平行于平行于yOz 面面的平面方程是的平面方程是 Ax + D = 0.(即即z = k)(即即y = k)(即即x = k)返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1010解解: 因平面通过因平面通过 x 轴轴 ,0 DA故设所求平面方程为设所求平面方程为0ByCz代入已知点代入已知点) 1,3,4(得得BC3化简化简, ,得所求平面方程得所求平面方程03 zy例例3 求通过求通过 x 轴和点轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程的平面方程.(自学自学 课本课本 例例3）返回返回上页上

8、页下页下页目录目录2022-2-1011设平面为设平面为, 0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1012,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得1xyzabc平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴上截距轴上截距z轴轴上上截截距距返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1013设平面为设平面为, 0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知, 0 D由由平平面面过过点点)2, 3, 6( 知知0236 CBA(4, 1,

9、2),n 024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1014xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程因此其一般式方程直线可视为两平面交线，直线可视为两平面交线，( (不唯一不唯一) )二、空间直线的方程二、空间直线的方程1.1.空间直线的一般方程空间直线的一般方程返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1015(1)(1)对称式方程（点向式方程对称式方程（点向式方程) ),(0000zyxM故有故有说明说明: : 某些分母为零时某些分母为零时, , 其分子也理解为

10、零其分子也理解为零. .mxx0设直线上的动点为设直线上的动点为 则则),(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的此式称为直线的对称式方程对称式方程( (也称为也称为点向式方程点向式方程) )直线方程为直线方程为s已知直线上一点已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM例如例如, , 当当,0, 0时pnm和它的方向向量和它的方向向量 , ),(pnms sMM/02.2.空间直线方程的对称式方程和参数方程空间直线方程的对称式方程和参数方程00yyxx返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1016设设得参数式方程得参数式方程: :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0t

11、pzz0(2) (2) 参数式方程参数式方程返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1017解解: :先在直线上找一点先在直线上找一点. .102340 xyzxyz 632zyzy再求直线的方向向量再求直线的方向向量2,0zy令令 x x = 1, = 1, 解方程组解方程组, ,得得交已知直线的两平面的法向量为交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点是直线上一点 . .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns例例6. 6. 用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线( (自学课本自学课本 例例5)5)返回返回上页上页下页下

12、页目录目录2022-2-1018故所给直线的对称式方程为故所给直线的对称式方程为参数式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路: :先找直线上一点先找直线上一点; ;再找直线的方向向量再找直线的方向向量. .)3, 1,4(21nns312111kji返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1019例例 7 求与两平面求与两平面x4y = 3 和和2xy5z = 1 的交线的交线平行且过点平行且过点(3, 2, 5)的的直线直线的方程的方程.解：解：因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量线的方向向

13、量s 一定同时与两平面的一定同时与两平面的法线向量法线向量n1、n2 垂直，所以可以取垂直，所以可以取 12104(43)215ijksnnijk 因此所求直线的方程为因此所求直线的方程为 325431xyz返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1020例例8.8.求直线求直线 234112xyz与平面与平面2xyz6=0的交点的交点. . 解：解：所给直线的参数方程为所给直线的参数方程为x = 2 + t, y =3+t, z=4+2t, 代入平面方程中，得代入平面方程中，得 2(2+t) + (3+t) + (4+2t)6=0. 解上列方程，得解上列方程，得t =1. 把求得的把求

14、得的t值代入值代入直线的参数直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为方程中，即得所求交点的坐标为 x=1, y=2, z=2. （由课本例（由课本例7改编）改编）返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-10211.1.两平面的夹角两平面的夹角设平面设平面1的法向量为的法向量为 平面平面2的法向量为的法向量为则两平面夹角则两平面夹角 的余弦为的余弦为 cos即即212121CCBBAA222222CBA212121CBA定义定义：两平面法向量的夹角：两平面法向量的夹角( (常为锐角常为锐角) )称为称为两平面的夹角两平面的夹角. .122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn

15、2121cosnnnn 三、点三、点、直线直线、平面之间的位置关系平面之间的位置关系返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1022221) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n特别有下列结论：特别有下列结论：规定规定: 若比例式中某个分母为若比例式中某个分母为0, 则相应则相应的分子也为的分子也为0.返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-10232L1L则两直线夹角则两直线夹角 满足满足21, LL设直线设直线 的方向向的方向向

16、量分别为量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s3.3.两直线的夹角两直线的夹角定义定义 两直线的方向向量的夹角（通常指两直线的方向向量的夹角（通常指锐角锐角）称为两称为两直线的夹角直线的夹角.返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1024特别地有特别地有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1025解解: 直线直线直线直线二直线夹二直线夹角角 的余弦为的余弦为134

17、11:1zyxL220:20 xyLxz cos22从而从而4的方向向量为的方向向量为1L的方向向量为的方向向量为2L) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 例例8. 求以下求以下两直线的夹角两直线的夹角(自学课本自学课本 例例10）返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1026当当直线与平面垂直时直线与平面垂直时, ,规定其夹角规定其夹角线所夹锐线所夹锐角角 称为称为直线与平面间的夹角直线与平面间的夹角; ;L 当当直线与平面不垂直时直线与平面不垂直时, ,设设直线直线 L 的方向向量为的方向向量

18、为 平面平面 的法向量为的法向量为则则直线直线与平面夹与平面夹角角 满足满足.2222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直线和它在平面上的投影直直),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns sn3.3.直线与平面的夹角直线与平面的夹角返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1027特别有特别有: :L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns例例9 求过点求过点(1,2 , 4) 且与平面且与平面解解: : 取已知平面的法向量取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为则直线的对称式方程为0432zyx直的直的直线方程直线方程. .

19、为所求为所求直线的方向向量直线的方向向量. . 132垂垂 ) 1,3,2(nn返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1028解解1, 1,2 ,n 2, 1,2 ,s 222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1029例例11. 设一平面平行于已知设一平面平行于已知直线直线0502zyxzx且垂直于已知平面且垂直于已知平面,0347zyx求该平面求该平面法向量法向量的方向余弦的方向余弦.提示提示: : 已知平面的法向量已知平面的法向量求出已知直线的方向向量

20、求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量取所求平面的法向量3cos,50504cos,505cos1nsn)4, 1,7(1n)2,1,1 (s417211kji(6,10,8)所求为所求为返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1030外一点外一点, ,则则),(0000zyxP0DzCyBxA是平面是平面到平面的距离到平面的距离d 为为0P定理定理1 1 设设4.点到平面的距离点到平面的距离000222.AxB yC zDABC222101010)()()(CBAzzCyyBxxA000222AxB yC zDdABC0111DzCyBxA证明证明: :设平面法向量为设平面法向量为)

21、,(1111zyxP在平面上取一点在平面上取一点, ,则则P0 到平面的距离为到平面的距离为01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (点到平面的距离公式点到平面的距离公式)返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1031例例12:12:求点求点A(1, 2, 1)A(1, 2, 1)到平面到平面 :x+2y+2z:x+2y+2z 10=010=0的距离的距离13322110122211222d返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1032求内切于平面求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成与三个坐标面所构成四面体的球面方程四面体的球面方程

22、.例例13解解: 设球心为设球心为则它位于第一卦限则它位于第一卦限, ,且且, ),(0000zyxMxyzo0M2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程为因此所求球面方程为000zyx633331从而从而)(半径R2222)633()633(633)633(zyx(先考虑平面的情况先考虑平面的情况)返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1033设直线设直线L过点过点M0, 方向向量为方向向量为, s则点则点M到直线到直线L距离距离d是以是以为为邻邻边边的的与与 0sMM.上的高上的高平行四边形底边平行四边形底边s 因因此此有有M0ML

23、s5.5.点到直线的距离点到直线的距离定理定理2 20| .|M Msds 返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1034 例例1 14 4 求求点点 到到直直线线 的的距距离离. . 解解 直直线线过过点点00(1, 1,0), ( 2, 2,0).M MM Ms 332622| 0 ssMMd(1,0, 1M ）11112xyz0(0,1, 1) (1, 1,2Ms，）返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1035 0022221111DzCyBxADzCyBxA由由方方程程组组设设直直线线 L.,222111不不成成比比例例与与确确定定，其其中中系系数数CBACBA：我我

24、们们建建立立三三元元一一次次方方程程0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxA 的的任任意意常常数数，为为不不同同时时为为，其其中中0 通过定通过定直线直线的所有平面的全体称为的所有平面的全体称为平面束，平面束，上式为上式为通过通过直线直线L 的平面束的方程的平面束的方程.(plane pencil)四、平面束四、平面束返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1036定义：定义：对于直线对于直线 L , 通过通过 L 的平面的全体称为的平面的全体称为平面束。平面束。对于直线对于直线 L : 1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1) 2 : A2x+B2y+C2z

25、+D2 = 0 (2)方程方程 (A1x+B1y+C1z+D1 )+ (A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)称为称为 L 的的平面束方程平面束方程(表示缺少一个平面表示缺少一个平面 2的平面束的平面束)返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1037平行于已知平面的所有平面的全体平行于已知平面的所有平面的全体称为称为平行平面平行平面束束. .平行平面束平行平面束0AxByCzD例如例如平行于平面平行于平面的的平行平面平行平面束为束为+0AxByCz返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1038例例1515解解.02:01012:上的投影直线的方程上的投影直线的方程在平面在

26、平面求直线求直线 zyxzyxzyxL的的平平面面束束方方程程为为过过直直线线 L, 0)1()12( zyxzyx . 0)1()1()1()2( zyx即即 L返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1039, 014 即即41 故故,代代入入平平面面束束方方程程将将 . 013 zyx得得所求投影直线方程为所求投影直线方程为.02013 zyxzyx, 垂直于平面垂直于平面又又. 0)1()1(2)1(1)2( 返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1040练习练习: 求直线求直线0101zyxzyx在平面在平面上的投影上的投影直线方直线方程程.提示提示：过已知过已知直线的

27、直线的平面束方程平面束方程从中从中选择选择01)1(1)1 (1)1 (得得001zyxzy这是投影平面这是投影平面0)1()1()1 ()1 (zyx0) 1(1zyxzyx即即0zyx使其与已知平面垂直使其与已知平面垂直：从而得投影从而得投影直线方程直线方程, 1返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1041练习练习. 求过直线求过直线L:0405zxzyxzyx84 且与平面且与平面4夹成夹成角的平面方程角的平面方程.提示提示: 过直线过直线 L 的平面束方程的平面束方程04)1 (5)1 (zyx其法向量为其法向量为已知平面的法向量为已知平面的法向量为选择选择使使4320712

28、0,xyz从而得所求平面方程从而得所求平面方程n1n4012 114cosnnnn.1,5,11nL8,4, 1n40.xz或不要漏掉此解不要漏掉此解!返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1042内容小结内容小结1. 平面基本方程平面基本方程:一般式一般式点法式点法式截距式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-10430212121CCBBAA212121CCBBAA2. 平平面面与平面与平面之之间的关系间的关系平面平面平面平面垂直垂直:平行平行:夹角公式夹角公式: :21

29、21cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA),(1111CBAn 返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-10443. 空间空间直线方程直线方程一般式一般式对称式对称式参参数式数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1045,1111111pzznyymxxL：直线直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm直线直线夹夹角角公

30、式公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121cosssss 4. 4. 线与线的关系线与线的关系返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1046, 0DzCyBxACpBnAm平面平面 :L L / 夹角公式：夹角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx直线直线 L :),(CBAn ),(pnms 0ns0nsnsns L4. 4. 面与线间的关系面与线间的关系5. 平面束平面束返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1047作业作业习习 题题 6-3 P29-31 1(5)(6); 3(5); 4; 7; 8;

31、 11; 12; 13; 14返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1048思考与练习思考与练习答案：答案：,1)3(2)2(112)3(214cos222222 kk2132514kk.270 k返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1049答案：答案：返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1050因此有因此有垂直于平面垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程求其方程 .解解: 设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为,020CBA即即CA2的法向量的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC约去约去C , 得得0) 1(

32、) 1() 1(2zyx即即20 xyz0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和和则所求平面则所求平面故故, ),(CBAn方程为方程为 n21MMn且且 3. 一平面通过两点一平面通过两点返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1051解得解得解解1: 设平面为设平面为, 0 DCzByAx+D0A BC(1, 1,1),n 0ABC所求平面方程为所求平面方程为(3,2, 12),n 32120ABC. 0632 zyx=2 ;3 ;26AC BC DBC 4. 求过点求过点 且垂直于且垂直于二二平面平面 和和 的平面方程的平面方程. .)

33、 1 , 1 , 1 (7zyx051223zyx（课本习题（课本习题6-3 1(5)返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1052)5,15,10(0) 1(5) 1(15) 1(10zyx0632zyx解解2: 已知二平面的法向量为已知二平面的法向量为取所求平面的法向量取所求平面的法向量 则所求平面方程为则所求平面方程为化简得化简得),1, 1, 1 (1n)12,2,3(2n21nnn4. 求过点求过点 且垂直于且垂直于二二平面平面 和和 的平面方程的平面方程. .) 1 , 1 , 1 (7zyx051223zyx（课本习题（课本习题6-3 1(5)返回返回上页上页下页下页目录

34、目录2022-2-1053)1 ,2, 1(A,11231:1zyxLiL设直线解：解：,2上在因原点LO12:2zyxL相交相交, ,求此直线方程求此直线方程 . .的方向向量为的方向向量为过过 A 点及点及 的平2L面的法向量为面的法向量为则所则所求直线的求直线的方向向量方向向量方法方法1 利用叉积利用叉积. ),2, 1( isi, n,1nss所以所以OAsn2121112kjikji333且垂且垂直于直线直于直线 又和又和直线直线nOA2L2s5. 一直线过点一直线过点返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1054设所求设所求直线直线与与的交点为的交点为512231zyx12

35、000zyx0000,2yzyx待求直线的方向向量待求直线的方向向量方法方法2 2 利用所求直线与利用所求直线与L L2 2 的交点的交点 . .即即故所故所求直线方程为求直线方程为 2L),(000zyxB则有则有2L) 1 , 2 , 1 (Anss1333123kji)523(3kji),(000zyxB返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-10550) 1()2(2) 1(3000zyx78,716,78000zxy512231zyx0000,2yzyx将代入上式代入上式 , 得得由点法式得所由点法式得所求直线方程求直线方程而而) 1, 2, 1(000zyxAB)5,2,3(

36、731L)715,76,79(AB2L) 1 , 2 , 1 (A),(000zyxB返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-1056例例12 判定下列各组直线与平面的关系判定下列各组直线与平面的关系. 3224:37423:)1(zyxzyxL和解解: L的方向向量的方向向量 s =( 2, 7, 3) 的法向量的法向量 n =(4, 2, 2)s n = ( 2) 4 + ( 7) ( 2) + 3 ( 2) = 0又又M0( 3, 4, 0)在直线在直线 L上上, 但不满足平面方程但不满足平面方程,所以所以L与与 平行平行, 但不重合但不重合.返回返回上页上页下页下页目录目录2022-2-105781446:723: