《理学刚体复习》ppt课件

1、重要概念：重要概念：1、掌握角量与线量的关系。、掌握角量与线量的关系。2、力矩、理解其意义并会计算；、力矩、理解其意义并会计算；3、转动惯量，要求理解它的物理意义；、转动惯量，要求理解它的物理意义； 不要求死记硬背其计算及其公式，常用不要求死记硬背其计算及其公式，常用 了也就记住了。若考试时需要，可把公了也就记住了。若考试时需要，可把公 式提供给你。式提供给你。4、转动定律，要求象对待牛顿定律那样对、转动定律，要求象对待牛顿定律那样对 待之。待之。在刚体作在刚体作匀变速转动匀变速转动时，相应公式时，相应公式:20021tt t 0)(20202 20 （下一页）（下一页）非匀变速转动非匀变速转

2、动时：时： （例如（例如T1-18） 求导积分求导积分类似于类似于 匀变速直线运动，匀变速直线运动，但是但是 切记！切记！求：求： t =6 0 s时的转速时的转速 ；角加速随时间变化的规律；角加速随时间变化的规律；启动后启动后6 0 s 内转过的圈数。内转过的圈数。解：解：根据题意转速随时间的变化关系，根据题意转速随时间的变化关系， =将将t =6 0 s 代入，即得：代入，即得：)(68950)1 (100sradet角加速度随时间变化的规律为：角加速度随时间变化的规律为：)(5420sradeedtdtt（下一页）（下一页）例例1：某种电动机启动后转速随时间变化某种电动机启动后转速随时间

3、变化的关系为：的关系为：),1 (0tes021009srad式中式中 t =6 0 s 时转过的角度为时转过的角度为dtedttss)1 (60060rad936则则 t =6 0 s 时电动机转过的圈数时电动机转过的圈数圈8752N)20()05026(9600stet例例2： 有一大型水坝高有一大型水坝高110m、长、长1000m，水深，水深100m，水面与大坝表面垂直。水面与大坝表面垂直。求求水作用在大坝上的力以及这水作用在大坝上的力以及这个力对通过大坝基点个力对通过大坝基点Q且与且与x 轴平行的轴的力矩。轴平行的轴的力矩。分析：分析：这是由压强求压力，但是压强是随着水深变化这是由压强

4、求压力，但是压强是随着水深变化的量，不能用的量，不能用“压强压强表面积表面积”来计算；然而在水深来计算；然而在水深相同相同y 处，压强处，压强P相等，可在此处取一高为相等，可在此处取一高为dy，长为坝，长为坝长长L的表面积的表面积dA=Ldy ，其上压强为，其上压强为P=P0+ g（h-y），），可认为是个不变量，则此面积元上的水压力可认为是个不变量，则此面积元上的水压力dF =PdA。又由于水作用在坝面上的力方向均相同，所以垂直作又由于水作用在坝面上的力方向均相同，所以垂直作用在大坝表面上的合力，由水底到水面积分可求得。用在大坝表面上的合力，由水底到水面积分可求得。 同样，求力矩也要在水深为

5、同样，求力矩也要在水深为y 处，先求出处，先求出dF的力矩的力矩dM=ydF，再积分求得合力矩。，再积分求得合力矩。解：解：（下一页）（下一页）2210000)(gLhLhPLdyyhgLdyPFhh合力矩为合力矩为320006121)(gLhLhPydyyhgLydyPydFdMMh问题：问题：如遇特大洪水，为保证大坝安全，用什么措施如遇特大洪水，为保证大坝安全，用什么措施可减少水坝所受的力矩？可减少水坝所受的力矩？水深不可改变，即水压力的大小改变不了；但正水深不可改变，即水压力的大小改变不了；但正压力的方向是可以改变的。大坝迎水表面修建得坡度压力的方向是可以改变的。大坝迎水表面修建得坡度缓

6、一些，水压力对大坝基点缓一些，水压力对大坝基点Q的力矩即可减少。的力矩即可减少。（下一页）（下一页）yMJ 与与amF地位相当地位相当m:反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，J :反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性转动惯量转动惯量 J与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：刚体的质量刚体的质量转轴的位置转轴的位置刚体的形状刚体的形状（下一页）（下一页） 力矩力矩 M 是使刚体转动状态发生改变而产生角是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力加速度的原因。力F 是使物体平动状态发生改变而是使物体平动状态发生改变而产生加速度的原因。产生加速度的原因。 iiirmJ2 若质量连续分布

7、若质量连续分布 dmrJ2在（在（SI）中，）中，J 的单位：的单位：kgm2dldm质量为线分布质量为线分布dsdm质量为面分布质量为面分布dVdm质量为体分布质量为体分布其中其中 、 、 分别为质量的分别为质量的线密度、面密线密度、面密度和体密度。度和体密度。线分布线分布体分布体分布刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。面分布面分布（下一页（下一页）例：例：右图所示刚体对经过棒端右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？何计算

8、？(棒长为棒长为L、圆半径为、圆半径为R）2131LmJLL 252RmJoo 2002002)(RLmJdmJJL 222)(5231RLmRmLmJooL（下一页）（下一页）解：解：棒棒mL饶其端点的转动惯量饶其端点的转动惯量LmOmZ球饶球饶 Z Z 轴的轴的转动惯量转动惯量球绕其质心轴的转动惯量球绕其质心轴的转动惯量例例4 4、一个质量为、一个质量为、半径为、半径为的定滑轮的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求求物体物体

9、由静止下落高度由静止下落高度时的速度和此时的速度和此时滑轮的角速度。时滑轮的角速度。解：解： RamaTmgm :对对221 MRJJTRMM：对对 （下一页）（下一页）（滑轮的惯性不能忽略）（滑轮的惯性不能忽略）mgMRgMmma2 解方程得：MmmghRRv 241 , 242Mmmghahv例例2、一个飞轮的质量为一个飞轮的质量为69kg，半径为，半径为0.25m, 正在以每正在以每分分1000转的转速转动。现在制动飞轮，要求在转的转速转动。现在制动飞轮，要求在5.0秒内秒内使它均匀减速而最后停下来。使它均匀减速而最后停下来。 求求闸瓦对轮子的压力闸瓦对轮子的压力N 为多大？为多大？ （

10、假设飞轮的质量都集中在（假设飞轮的质量都集中在 轮缘上）轮缘上） =0.50 .F0（下一页）（下一页）解：解：飞轮匀减速制动时有角加速度飞轮匀减速制动时有角加速度t0200rad/s9 .200s5 0 rad/s7 .10460/2000min/r1000tt外力矩是摩擦阻力矩，外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。角加速度为负值。 2mRJNRRfMr 2mRNR N784 mRN 0Nfr（下一页）（下一页）例例3、一根长为一根长为L、质量为、质量为m的均匀细直棒，其一端的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒

11、静止在水平位置，动。最初棒静止在水平位置，求求它由此下摆它由此下摆 角时角时的角加速度和角速度。的角加速度和角速度。解：解：棒下摆为加速过程，棒下摆为加速过程，外力矩为重力对外力矩为重力对O的力矩。的力矩。 棒上取质元棒上取质元dm,当棒处在下当棒处在下摆摆 角时角时，重力矩为：重力矩为： xdmggxdmM （下一页）（下一页） XOdmgdmxLlcos2LmgLdllg0cos方向？方向？重力对整个棒的合力矩与全部重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的重力集中作用在质心所产生的力矩一样。必须是匀质细直棒力矩一样。必须是匀质细直棒。CmgxM Cmxxdm据质心定义 mgCd

12、mgXOdmxc（下一页）（下一页）cos21Lxccos21mgLM LgmLmgLJM2cos3cos23121 ddJdtdddJdtdJJM dJMd （下一页）（下一页）代入把cos21mgLM LgJmgLsin3sindJdmgLcos21则则00cos21dJdmgL积分积分221sin21JmgL得得m2m1aaMR如图，如图，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的两端分别悬有质量为绳的两端分别悬有质量为m1 和和m2的物的物体，且体，且m1 m2 。设定滑轮是一质量为。设定滑轮是一质量为M ，半径为，半径为R的圆盘的圆盘 。绳的质量略去不。绳的质量略去

13、不计计 ，且绳与滑轮无相对滑动，且绳与滑轮无相对滑动 。试求试求物物体的加速度和绳的张力体的加速度和绳的张力 。如果略去滑。如果略去滑轮的运动，将会得到什么结果？轮的运动，将会得到什么结果？解：解：分别作出滑轮分别作出滑轮M、物体、物体m1和和m2的受的受力图。力图。m1gT1m2gT2T1T2应用牛顿第二定律应用牛顿第二定律对对M ：（：（T1T2）R=J 应用转动定律应用转动定律（下一页）（下一页）221MRJ 式中对对m1 ： m1g T1=m1a对对m2 ： T2m2g = m2aNP（N、P是对平衡力）是对平衡力）故故m1和和m2两物体运动的加速度大小相等，但方向相反。两物体运动的加

14、速度大小相等，但方向相反。由于绳索质量不计，且长度不变，由于绳索质量不计，且长度不变，且由角量与线量的关系，有：且由角量与线量的关系，有：a =R 解联立方程组解联立方程组、和和 ，可得：，可得：gMmmmma212121gmMmmMmT1212121212gmMmmMmT2212121122如果略去滑轮的运动如果略去滑轮的运动 ，即，即T1=T2=T 、J=0 ，有：，有：gmmmma2121gmmmmTTT2121212（下一页）（下一页） 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律1、质点的角动量、质点的角动量 2mrmvrprL =JvmrprLLrpLmvrsindmvL也可叫动量矩

15、也可叫动量矩角动量定律角动量定律dtLdM0LddtM也可写成称为冲量矩称为冲量矩角动量定律角动量定律dtLdM0由由若若00M常矢量L 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律刚体刚体定轴转动定轴转动的角动量定理的角动量定理转动定律转动定律冲量矩（角冲量）冲量矩（角冲量）表示合外力矩在表示合外力矩在t0t 时间内的累积作用。时间内的累积作用。作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。角动量定理角动量定理单位：单位： 牛顿牛顿米米秒秒（下一页）（下一页）dtdJJMdtJddtLdM)(LddtM000LLLddtMLLtt00JJLdtMJtt不变时，2

16、 2、刚体、刚体定轴转动定轴转动的角动量定理的角动量定理转动定律转动定律冲量矩（角冲量）冲量矩（角冲量）表示合外力矩在表示合外力矩在t0t 时间内的累积作用。时间内的累积作用。作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。角动量定理角动量定理单位：单位： 牛顿牛顿米米秒秒（下一页）（下一页）dtdJJMdtJddtLdM)(LddtM000LLLddtMLLtt00JJLdtMJtt不变时，3 3、刚体定轴转动的刚体定轴转动的角动量守恒定律角动量守恒定律 M M = 0= 0的原因，可能的原因，可能 F0 0；r r = 0; = 0; Fr r ； =在定轴

17、转动中还有在定轴转动中还有 M 0 0，但它与轴平行，即但它与轴平行，即Mz= = 0 ,0 ,对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。量依然守恒。 当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量保持不变。保持不变。角动量守恒定律角动量守恒定律（下一页）（下一页）角动量守恒的条件角动量守恒的条件J 改变时改变时00JJL）（常矢量，即则中，若在CJLLMdtLdM00应用角动量守恒定律的两种情况：应用角动量守恒定律的两种情况：1、转动惯量保持不变的单个刚体。、转动惯量保持不变的单个刚体。000 则时，当,JJM2

18、、转动惯量可变的物体或物体系、转动惯量可变的物体或物体系。保持不变就增大，从而减小时，当就减小；增大时，当 JJJ（下一页）（下一页）实例很多：舞蹈、跳水、花样滑冰等等实例很多：舞蹈、跳水、花样滑冰等等 旋转时，团身、收拢四肢，减小旋转时，团身、收拢四肢，减小J ； 停止时，舒展身体、伸展四肢，增大停止时，舒展身体、伸展四肢，增大J 。刚体和质点的对应量和对应公式刚体和质点的对应量和对应公式rvaFMPLmJamdtPdFJdtLdFrMPdtFJLdtM例例1 1、如图所示、如图所示, ,一质量为一质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端射入一静止悬于顶端长棒的下

19、端, ,穿出后速度穿出后速度损失损失3/4,3/4,求求子弹穿出后棒的角速度子弹穿出后棒的角速度 。已知棒。已知棒长为长为l , ,质量为质量为M. .解解: : 以以 f 代表棒对子弹的阻力代表棒对子弹的阻力, ,对子弹有对子弹有: :子弹对棒的反作用力对棒的冲子弹对棒的反作用力对棒的冲量量矩为：矩为：v0vmM（下一页）（下一页）Jdtflldtf0043)(mvvvmfdt因因 ， 由两式得由两式得ffv0vmM请问请问: :子弹和棒的总动量守恒吗子弹和棒的总动量守恒吗? ? 为什么为什么? ?总角动量守恒吗总角动量守恒吗?-?-若守恒若守恒, , 其方程应如何写其方程应如何写? ?（下

20、一页）（下一页）Jlvmlmv400不守恒不守恒上端有水平阻力上端有水平阻力200314943MlJMlmvJlmv这里R1M1R2M2原来它们沿同一转向分别以原来它们沿同一转向分别以 10 10 ， 20 20 的角速度匀速转动的角速度匀速转动, ,然后平移二轴使它们的边缘相然后平移二轴使它们的边缘相接触接触, ,如图所示如图所示. .求求最后在接触处无相对滑动时最后在接触处无相对滑动时, ,每个圆每个圆柱的角速度柱的角速度 1 1， 2 2 。二圆柱系统角动量守恒故有二圆柱系统角动量守恒故有对上述问题有以下的解法对上述问题有以下的解法: :在接触处无相对滑动时在接触处无相对滑动时, ,二二

21、圆柱边缘的线速度一样圆柱边缘的线速度一样, ,故有故有（下一页）（下一页）2211RR2211202101JJJJ，211121RMJ 222221RMJ 其中其中由以上二式就可解出由以上二式就可解出 1 1， 2 2 。这种解法对吗这种解法对吗? ?例例2 2、质量分别为质量分别为M1、M2, ,半径分半径分别为别为R1 、R2的两均匀圆柱的两均匀圆柱, ,可分别可分别绕它们本身的轴转动绕它们本身的轴转动, ,二轴平行。二轴平行。正确的解法正确的解法应对两圆柱应对两圆柱分别使用角动量定理分别使用角动量定理，由于，由于两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反, ,力

22、矩和冲量力矩和冲量矩的大小正比于半径矩的大小正比于半径, ,方向相同方向相同: :（下一页）（下一页）答：答：原解认为系统的总角动量为二圆柱各自对自己的原解认为系统的总角动量为二圆柱各自对自己的轴的角动量之和是错误的，因为系统的总角动量只能轴的角动量之和是错误的，因为系统的总角动量只能对某对某一个轴一个轴进行计算。另当两柱体边缘没有相对滑动进行计算。另当两柱体边缘没有相对滑动时时 1 1， 2 2方向相反，所以应为方向相反，所以应为2211RR)()(202222101111JfdtRfdtRJfdtRfdtR，得消去 fdt)()(2022101121JJRR由此可解得由此可解得:（下一页）

23、（下一页）T4-18与本题有相似之处（一个系统两个转轴）与本题有相似之处（一个系统两个转轴）由前已知由前已知1221RR)()(21222211121222112221111MMRRMRMRJRJRJRJR)()(21111122221222121112222MMRRMRMRJRJRJRJR222221112121RMJRMJP152，T4-18 半径分别为半径分别为r1 、 r2 的两个薄伞形轮，的两个薄伞形轮，它们各自对通过盘心且垂直盘面转轴的转动惯量为它们各自对通过盘心且垂直盘面转轴的转动惯量为J1和和J2 。开始时轮。开始时轮以角速度以角速度0 转动转动 ，问问与轮与轮成正交啮成正交啮

24、合后（图合后（图4-184-18），两轮的角速度分别为多大？），两轮的角速度分别为多大？分析：分析：两伞形轮在啮合过程中存在着两伞形轮在啮合过程中存在着 相互作用力，这对力分别作用在两轮相互作用力，这对力分别作用在两轮 上，并各自产生不同方向的力矩，对上，并各自产生不同方向的力矩，对 转动的轮转动的轮而言是阻力矩，而对原静而言是阻力矩，而对原静 止的轮止的轮是启动力矩。由于相互作用是启动力矩。由于相互作用 的时间很短，虽然作用力的位置知道，但作用力大小的时间很短，虽然作用力的位置知道，但作用力大小无法得知，因此，力矩是未知的。但是，其作用的效无法得知，因此，力矩是未知的。但是，其作用的效果可从

25、轮的转动状况的变化来分析。对两轮分别应用果可从轮的转动状况的变化来分析。对两轮分别应用角动量定理，并考虑到啮合后它们有相同的线速度，角动量定理，并考虑到啮合后它们有相同的线速度，这样，啮合后它们各自的角速度就能求出。这样，啮合后它们各自的角速度就能求出。（下一页）（下一页）1r2r 0图4-18对轮对轮 F r1 t = J1（10） （1）两轮啮合后应有相同的线速度，两轮啮合后应有相同的线速度，r1 1 = r2 2 （3）由上述各式可解得啮合后两轮的角速度分别为：由上述各式可解得啮合后两轮的角速度分别为：2122212101221222122011,rJrJrrJrJrJrJ（下一页）（下

26、一页）对轮对轮 F r2 t = J22 （2 2）解：解：设相互作用力为设相互作用力为 F ，在啮合的短时间，在啮合的短时间 t 内，内，=根据角动量定理，对轮根据角动量定理，对轮、轮、轮分别有：分别有：T4-20 一转台绕其中心的竖直轴以角速度一转台绕其中心的竖直轴以角速度 0 0 = = s s-1-1转转动，转台对转轴的转动惯量为动，转台对转轴的转动惯量为J J0 0=40=401010-3 -3 kg mkg m2 2。今有沙粒以今有沙粒以Q=2t g sQ=2t g s-1-1的流量竖直落至转台，并粘附的流量竖直落至转台，并粘附于台面形成一圆环，若环的半径为于台面形成一圆环，若环的

27、半径为r=0 10mr=0 10m，求求沙粒沙粒下落下落t=10st=10s时，转台的角速度。时，转台的角速度。分析：分析：对转动系统而言，转动惯量发生变化，对竖直对转动系统而言，转动惯量发生变化，对竖直=轴无外力矩，轴无外力矩，角动量守恒。角动量守恒。解：解：在时间在时间0 10s内落至台面的沙粒的质量为内落至台面的沙粒的质量为kggtdtQdtmss1001002100100系统角动量守恒，有系统角动量守恒，有 J00=（J0+mr2）则则t = 10s时，转台的角速度时，转台的角速度1200080smrJJ（下一页）（下一页） 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做合外力矩对一个绕固定轴转

28、动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。的功等于刚体的转动动能的增量。kkkEEEMdW1221（下一页）（下一页）定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理T4-27、如图所示，一质量为如图所示，一质量为m的小球由一绳索系着，以角的小球由一绳索系着，以角速度速度 0 在无摩擦的水平面上，在无摩擦的水平面上，作半径为作半径为r0 的圆周运动。如果的圆周运动。如果在绳的另一端作用一竖直向下在绳的另一端作用一竖直向下F 0m的拉力，使小球作半径为的拉力，使小球作半径为r0/2的圆周运动。试求：的圆周运动。试求：小球新的角速度；小球新的角速度； 拉力所作的功。拉力所作的功。分析：分析：沿轴向的拉力对小球不产生力矩，因此，小球沿轴向的拉力对小球不产生力矩，因此，小球在水平面上转动的过程中不受外力矩作用，其角动量应在水平面上转动的过程中不受外力矩作用，其角动量应保持不变。但是，外力改变了小球圆周运动的半径，也保持不变。但是，外力改变了小球圆周运动的半径，也改变了小球的转动惯量，从而改变了小球的角速度；改变了小球的转动惯量，从而改变了小球的角