高二数学-扬州市2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试卷

1、江苏省扬州市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1已知集合A=x|x0，B=1，0，1，2，则AB=1，0考点：交集及其运算 专题：集合分析：由A与B，求出两集合的交集即可解答：解：A=x|x0，B=1，0，1，2，AB=1，0，故答案为：1，0点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2命题：“xR，3x0”的否定是x0R，使得0考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：根据全称命题的否定是特称命题，直接写出该命题的否定即可解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，得；命题：“xR

2、，3x0”的“”的否定是：“x0R，使得0”故答案为：x0R，使得0点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应熟记全称命题与特称命题的关系是什么，是基础题3已知复数z=（1i）i（i为虚数单位），则|z|=考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数模的计算公式即可求得复数z的模解答：解：z=（1i）i=1+i，|z|=，故答案为：点评：本题考查复数求模，属于基础题4计算÷=20考点：有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算 专题：计算题分析：利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值解答：解：=lg=20故答案为：20点评：本题考查对数的四则运

3、算法则、考查分数指数幂的运算法则5“=”是“tan=1”的充分不必要条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件、必要条件的概念，以及tan=1时的取值情况即可判断是tan=1的什么条件解答：解：时，tan=1；tan=1时，所以不一定得到；是tan=1的充分不必要条件故答案为：充分不必要点评：考查充分条件、必要条件以及充分不必要条件的概念，以及根据tan=1能求6正弦曲线y=sinx在处的切线的斜率为考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用分析：求出y=sinx的

4、导数，将代入，由特殊角的三角函数值，即可得到所求解答：解：y=sinx的导数为y=cosx，即有曲线在处的切线的斜率为k=cos=故答案为：点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键7若直线l1：2x+my+1=0与直线l2：y=3x1平行，则直线l1与l2之间的距离为考点：两条平行直线间的距离 专题：直线与圆分析：把2条直线平行，斜率相等，求得m的值；再把2条直线的方程中未知数的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式求得两条平行直线间的距离公式解答：解：直线l1：2x+my+1=0与直线l2：y=3x1 平行，=3，m=，故直线l1：6x2y

5、+3=0，直线l2：6x2y2=0根据它们相互平行，可得3m=2，m=，则直线l1与l2之间的距离为 =，故答案为：点评：本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题8若函数y=f（x）为定义在R上的奇函数，且在区间（，0上是减函数，则不等式f（lnx）f（1）的解集为（e，+）考点：奇偶性与单调性的综合 专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化求解即可解答：解：y=f（x）为定义在R上的奇函数，且在区间（，0上是减函数，y=f（x）在R上的为减函数，则不等式f（lnx）f（1）等价为lnx1，即xe，故不等式的解集为（

6、e，+），故答案为：（e，+）点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键9设数列an满足a1=3，an+1=an22nan+2，n=1，2，3，通过计算a2，a3，a4，试归纳出这个数列的通项公式an=2n+1考点：数列的概念及简单表示法 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：先由递推公式求a2，a3，a4，再猜想通项公式；解答：解：a1=3，an+1=an22nan+2，a2=a122a1+2=96+2=5，a3=a222×2a2+2=2520+2=7，a4=a322×3a3+2=4942+2=9，即a2=5，a3=7，a4=9，由归

7、纳推理猜想an=2n+1故答案为：2n+1点评：本题主要考查数列的通项公式的猜想，根据数列的递推关系求出a2，a3，a4是解决本题的关键10已知集合A=（x，y）|yx，集合B=（x，y）|（xa）2+y23，若AB=B，则实数a的取值范围为2， +）考点：交集及其运算 专题：集合分析：先根据集合A、B的关系，画出满足条件的平面区域，结合点到直线的距离从而求出a的范围解答：解：集合B=（x，y）|（xa）2+y23，集合B是以（a，0）为圆心，以为半径的圆，若AB=B，画出图象，如图示：，显然，直线和圆相切时是临界值，圆心（a，0）到直线的距离d=，解得：a=2，a2，故答案为：2，+）点评：

8、本题考查了集合之间的关系，考查点到直线的距离公式，数形结合思想，是一道中档题11把函数y=sin2x的图象沿 x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y=f（x）图象，对于函数y=f（x）有以下四个判断：该函数的解析式为y=2sin（2x+）； 该函数图象关于点（）对称；该函数在上是增函数；函数y=f（x）+a在上的最小值为，则其中，正确判断的序号是考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；命题的真假判断与应用 专题：三角函数的图像与性质分析：根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律求得f（x）=2sin（2x+），由此可得不正确求出函数的对称中心为（ ，0），可得

9、正确求出函数的单调增区间为k，k+，kz，可得不正确由于当x0，时，求得f（x）+a的最小值为+a=，可得a的值，可得正确解答：解：把函数y=sin2x的图象沿 x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后，得到函数y=f（x）=2sin2（x+）=2sin（2x+）的图象，由于f（x）=2sin（2x+），故不正确令2x+=k，kz，求得 x=，kz，故函数的图象关于点（ ，0）对称，故函数的图象关于点（，0）对称，故正确令2k2x+2k+，kz，可得 kxk+，kz，故函数的增区间为k，k+，kz，故函数在上不是增函数，故 不正确当x0，时，2x+，故当2x+=时，f（x）取

10、得最小值为，函数y=f（x）+a取得最小值为+a=，故a=2，故正确故答案为 点评：本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，复合三角函数的单调性、对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题12已知cosxsin（2x），若f（x）=，0x，则x的值为考点：三角函数中的恒等变换应用 专题：计算题；三角函数的求值分析：由已知及三角函数中的恒等变换应用化简可得：f（x）=cosx+sinx+sinxcosx=，设t=sinx+cosx，则t，两边平方整理可得：sinxcosx=，把化为：t+=，整理可解得t=，既有sin（x+）=，由x+可得x+=，从而可解得x的值解答：解：cosxsi

11、n（2x）=cosx+sinx+sinxcosx=，设t=sinx+cosx=sin（x+），则t，两边平方整理可得：sinxcosx=，故化为：t+=，整理可得：2t2+4t3=0，可解得：t=或（舍去），t=sinx+cosx=sin（x+）=，解得：sin（x+）=，0x，x+，x+=，解得：x=故答案为：点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题13已知函数f（x）=若存在x1，x2，当1x1x23时，f（x1）=f（x2），则的取值范围是（，考点：分段函数的应用 专题：计算题；作图题；函数的性质及应用分析：作函数f（x）的

12、图象，结合图象可得+x1；化简=1+；从而求取值范围解答：解：作函数f（x）=的图象如下，f（）=+1=1+；故令x+=1+得，x=+；故+x1；又=1+；=1；1+；故答案为：（，点评：本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，属于中档题14若实数x，y满足=0，其中e为自然对数的底数，则（cos6x）y的值为考点：对数的运算性质 专题：计算题分析：令y=3，求出：cos2（3x），从而求出cos（6x）的值，代入（cos6x）y求出即可解答：解：令y=3，得：ln3+11+ln3=0，2cos2（3x）+=1，解得：cos2（3x）=，cos（6x）=2cos2（3x）1=（cos6x

13、）y=，故答案为：点评：本题考查了对数的运算，令y=3，求出：cos2（3x）的值是解题的关键，本题是一道中档题二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15已知sin=，sin（）=，且0（）求tan2的值；（）求角的值考点：两角和与差的正弦函数 专题：计算题；三角函数的求值分析：（）由同角的平方关系求得cos，进而求得tan，再由二倍角的正切公式，即可得到结果；（）先求cos（），再由cos=cos（），运用两角差的余弦公式，注意到的范围，计算得到结果解答：解：（）sin=，0，cos=，即有tan=4，则tan2=；（）由0，得0，又sin（）=，

14、则cos（）=，则cos=cos（）=coscos（）+sinsin（）=+=，由于0，故有点评：本题考查三角函数的求值，考查同角公式、二倍角公式和两角和差公式及运用，考查运算能力，注意角的变换，属于中档题16设命题p：函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）=x22ax1在（，1上单调递减（1）若命题“pq”为真，“pq”为假，求实数a的取值范围；（2）若关于x的不等式（xm）（xm+5）0（mR）的解集为M；命题p为真命题时，a的取值集合为N当MN=M时，求实数m的取值范围考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：（1）先分别求出p真，q真时的x的范围，再通过

15、讨论p真q假或p假q真的情况，从而求出a的范围；（2）根据M、N的关系，得到不等式组，解出即可解答：解：（1）若p真：即函数f（x）的定义域为Rx2+ax+10对xR恒成立，=a240，解得：2a2，若q真，则a1，命题“pq”为真，“pq”为假p真q假或p假q真或，解得：2a1或a2（2）MN=MNM，M=（m5，m），N=（2，2），解得：2m3点评：本题考查了集合之间的关系，考查复合命题的性质，本题是一道中档题17已知函数f（x）=sin2x2sinxcosx+3cos2x（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）当x（，）时，设经过函数f（x）图象上任意

16、不同两点的直线的斜率为k，试判断k值的符号，并证明你的结论考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质；直线与圆分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x）+2，利用周期公式即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）由，可得，由正弦函数的图象和性质可求，从而可得函数f（x）的值域；（3）由，可得，由正弦函数的图象可知f（x）在上是减函数，可得经过任意两点（x1，f（x1）和（x2，f（x2）的直线的斜率k=0解答：（本题满分为15分）解：f（x）=sin2x2sinxcosx+3cos2x=cos2xsi

17、n2x+2=sin（2x）+2，（或）；（1）T=； （2）时，则f（x）的值域为（3）k值的符号为负号；，f（x）在上是减函数当，且x1x2时，都有f（x1）f（x2），从而经过任意两点（x1，f（x1）和（x2，f（x2）的直线的斜率k=0 点评：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，直线的斜率公式的应用，属于基本知识的考查18如图，折叠矩形纸片ABCD，使A点落在边BC上的E处，折痕的两端点M、N分别在线段AB和AD上（不与端点重合）已知AB=2，BC=，设AMN=（1）用表示线段AM的长度，并求出的取值范围；（2）试问折痕MN的长度是否存在

18、最小值，若存在，求出此时cos的值；若不存在，请说明理由考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）先设出AM，结合图象的对称性得到方程cos（x2）=，解出即可，再根据AM、AB、AN、AD的关系得到不等式组，解出即可；（2）先求出MN，通过换元得到，设，通过求导得到函数的单调性，从而求出MN的最小值解答：解：（1）设AM=x，由图形的对称性可知：AM=ME=x，BME=2，BM=2x，cos（x2）=，整理得：x=，又，即，解得：；（2）在RtAMN中，令，设，h（t）=13t2=3（t+）（t），令h（t）=0，则t=或t=（舍），列表得：t（

19、，）h（t）+0h（t）增极大值减h（t）max=h（）=，当cos=时，MN有最小值为点评：本题考查了三角函数问题，考查导数的应用，考查转化思想，换元思想，是一道中档题19（16分）已知圆O：x2+y2=r2（r0），与y轴交于M、N两点且M在N的上方若直线y=2x+与圆O相切（1）求实数r的值；（2）若动点P满足PM=PN，求PMN面积的最大值（3）设圆O上相异两点A、B满足直线MA、MB的斜率之积为试探究直线AB是否经过定点，若经过，请求出定点的坐标；若不经过，请说明理由考点：直线和圆的方程的应用；圆的切线方程 专题：直线与圆分析：（1）由直线和圆相切的条件：d=r，计算即可得到r=1；

20、（2）设点P（x，y），运用两点的距离公式，化简整理可得P的轨迹为圆，可得点P到y轴的距离最大值为，再由三角形的面积公式可得最大值；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，运用直线的斜率公式计算即可得到m的值，进而判断直线AB是否经过定点解答：解：（1）直线y=2x+与圆O相切，圆心O（0，0）到直线2xy+=0的距离为d=1r=1； （2）设点P（x，y），点M（0，1），N（0，1），MN=2；PM=PN，x2+（y1）2=3x2+（y+1）2，即x2+y2+4y+1=0，点P在圆心为（0，2），半径为的圆上，点P到y轴的距离最大值为，PM

21、N的面积的最大值为×2×= （3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x12+y12=1，x22+y22=1，若直线AB的斜率不存在，则x1=x2，y1=y2，则kMAkMB=1与直线MA、MB的斜率之积为矛盾；设直线AB：y=kx+m，则（1+k2）x2+2kmx+m21=0，x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=，y1y2=，kMAkMB=化简得：=，解得m=2+，直线AB过定点（0，2+）综上：直线AB过定点（0，2+）点评：本题考查直线和圆的位置关系：相切和相交，考查圆的方程的求法和直线方程联立圆的方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，属于中档题20（16分

22、）已知函数f（x）=x25x+1，g（x）=ex（1）求函数y=的极小值；（2）设函数y=f（x）+ag（x）（aR），讨论函数在（，4上的零点的个数；（3）若存在实数t0，2，使得对任意x1，m，不等式xf（x）+tg（x）x恒成立，求正整数m的最大值考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：导数的综合应用分析：（1）令h（x）=（xR），利用导数研究其单调性极值即可得出；（2）对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出（3）不等式xf（x）+tg（x）x，化为x（x25x+1）+texx由存在实数t0，2，使得对任意x1，m，不等式xf（x）+tg

23、（x）x恒成立，存在实数t0，2，使得对任意x1，m，t（x35x2+x）使得对任意x1，m，0（x35x2+x），化为ex（x25x+1）10利用导数研究其单调性极值即可得出解答：解：（1）令h（x）=（xR），则h（x）=，令h（x）=0，解得x=1，6列出表格： x （，1） 1 （1，6） 6 （6，+） 0+ 0 h（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减由表格可知：当x=1时，函数h（x）取得极小值，h（1）=（2）令u（x）=f（x）+ag（x）=（2x5）+aex，u（x）=2+aex，当a0时，u（x）0，函数u（x）在（，4上单调递增，又x时，u（x），u（4）=3+ae40，因此函数u（x）有且只有一个零点当a