可逆矩阵 P 称为把 A 变成

1、12. 3.相似矩阵具有下列的性质：设相似矩阵具有下列的性质：设A，B 是同阶矩阵是同阶矩阵. 4 5.89673121 A,P 211APP记为记为 .在矩阵的运算中在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算很简便对角矩阵的运算很简便, 如果一个矩阵相似于对角矩阵如果一个矩阵相似于对角矩阵, 则可简化某些运算则可简化某些运算. 例如例如, 11)( PPPPAnnn.)2(32)2(33)2(2)2(31 nnnn是否每个矩阵都能相似于对角矩阵是否每个矩阵都能相似于对角矩阵? 如果能如果能, 怎样求出这个对角矩阵及相应的可逆矩阵怎样求出这个对角矩阵及相应的可逆矩阵 P ? 6对于对于 n 阶矩阵阶矩阵

2、 A , 若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵 P , 使使P 1AP = (对角矩阵对角矩阵)，则称，则称 .当当 A 的特征方程没有重根时的特征方程没有重根时, A 一定能对角化一定能对角化;当当 A 的特征方程有重根时？的特征方程有重根时？A 不一定有不一定有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量, 所以所以 A 不一定能对角化不一定能对角化. . 7设设 An可对角化，可对角化， ：求出矩阵：求出矩阵 A 的所有不同的特征值，的所有不同的特征值， 1， 2， ， s ， 它们的重数分别为它们的重数分别为 n1，n2，ns , 对每个特征值对每个特征值 i , 求求(A i E) x =

3、 0的基础解系的基础解系, 设为设为 i = 1, 2, , s. iiniip,p,p21),(21222211121121ssnssnn,p,pp,p,p,pp,ppP ),diag(212211 snssnn 则则 P 1AP = .注意矩阵注意矩阵 P 的列与对角矩阵的列与对角矩阵 主对角线上的元素主对角线上的元素（特征值）之间的对应关系（特征值）之间的对应关系.8 设有矩阵设有矩阵.300120011 A 问矩阵问矩阵 A 是否可对角化？是否可对角化？若能若能, 试求可逆矩阵试求可逆矩阵 P 和对角矩阵和对角矩阵 , 使使 P 1AP = . 使使 P 1AP = 成立的成立的 P

4、、 是否唯一，是否唯一，举例说明举例说明. 300120011E|A),3)(2)(1( 9,0)( xEA当当11 时时, 解方程组解方程组, 0200110010321 xxx得基础解系为得基础解系为,0011 p,0)2( xEA当当22 时时, 解方程组解方程组, 0100100011321 xxx得基础解系为得基础解系为,0112 p,0)3( xEA当当33 时时, 解方程组解方程组, 0000110012321 xxx,2213 p得基础解系为得基础解系为10,200210111)(321 ,p,ppP 221011001321p,p,p线性无关线性无关三阶矩阵三阶矩阵 A 有三

5、个线性无关的特征向量，有三个线性无关的特征向量，所以矩阵所以矩阵 A 可对角化可对角化. 令令.2/1001102/1111 P,321 有有 P 1AP = .11 使使 P 1AP = 成立的成立的 P、 不唯一不唯一. 如如若取若取 020120111)(231,p,ppP.1102/1002/1111 P,231 亦有亦有 P 1AP = .12 设设,00111100 xA问问 x 为何值时，为何值时，矩阵矩阵 A 能对角化？能对角化？ 011110|xEA, )1()1(2 2 = 3 = 1 ，有，有 2 个线性无关个线性无关的特征向量，的特征向量， 10101101xEA,000100101 x当当 x = 1 时，时， R(A E) = 1 ，矩阵矩阵 A 能对角化能对角化.