2020高考数学文化题型专题复习

1、高考数学文化题型专题复习一、高考考试大纲数学大纲分析及意义：从2017年普通高考考试大纲数学的修订开始，加强了对数学文化的考查。针 对这一修订提出以下建议：建议教师对数学文化这一概念认真学习， 结合教材内容学习，特别是教材中 渗透数学文化的内容要充分重视，重点研究；结合近年新课标试题中出现的与数 学文化有关的试题进行学习，重点关注题源、考法命题形式。其主要意义为：(1)增加中华优秀传统文化的考核内容， 积极培育和践行社会主义核心价值观， 充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.(2)能力要求：经命题专家精细加工，再渗透现代数学思想和方法；在内涵方 面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要

2、求 .二、往年新课标高考实例分析：分析一：古代数学书籍九章算术、数书九章等为背景近年来在全国高考数学试题中，从九章算术中选取与当今高中数学教学 相映的题材背景.分析二：课后阅读或课后习题如阿波罗尼圆为背景数学文化题型背景预测：预测1 :古代数学书籍九章算术、数书九章等数为背景的数学文化 类题目.预测2:高等数学衔接知识类题目.如微积分、初等数学和高等数学的桥梁， 由高中向大学的知识过渡衔接.预测3:课本阅读和课后习题的数学文化类题目.如必修3中，辗转相除法、 更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术等。预测4:中外一些经典的数学问题类题目.如：回文数、匹克定理、角谷猜 想、哥尼斯堡七桥问题、四色

3、猜想等经典数学小问题值得注意。1 .格点问题所谓格点就是平面直角坐标系中横坐标和纵坐标都为整数的点又称整点.格点问题是一个非常有趣的数学问题，同时也是背景深厚的数学问题.经典试题分析：在平面直角坐标系中，若点P(x, y)的坐标x,y均为整数，则称点P为格点.若一 个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为 S,其内部的格点数记为N ,边界上的格点数记为L.例如图中AABC是格点三 角形，对应的S =1,N =0, L = 4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S, N,L分别是;(2)已知格点多边形的面积可表示为 S = aN+bL + c,其中a,b,c为常数.

4、若某格 点多边形对应的N=71, L=18,则$=(用数值作答).【答案】(1)3,1,6(2)79【解析】：由图形可得四边形DEFG对应的S,N,L分别是3,1,6.再取两相邻正方形可计算S,N, L的值为2,0,6.加上已知S= 1时N=0, L=4,代入1S=aN+bL+c,可计算求出 a=1,b=；1,c=1 ,故当 N =71, L=18时，S = 71文化领悟皮克定理：若格点多边形内部含有N个格点，边界上含有L个格点，则这个多边形的面积S = N 1L -12格点问题起源于以下两个问题的研究：(1)狄利克雷除数问题,即求xaHd2(x)=区域1 Wu x,1vx,uv1 , A2(

5、x)=圆内u+v E x上的格点数。高斯证1明了 A2(x) =nx + R(x),这里R(x) =O (x，),求使余项估计R(x) = O(x)成立的九 的下确界1a的问题，称之为圆内格点问题或高斯圆问题.格点问题所涉及到的知识点通常与抽屉原理和图论知识结合在一起，一般来说与整数的奇偶性、整除性等联系十分紧密。高考试题预测在平面直角坐标系中，如果x,y都是整数，就称点P(x, y)为整点，下列命题中正确的是(写出所有正确命题的编号).存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点.如果k,b都是无理数，则直线y =kx + b不经过任何整点.直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同

6、的整点.直线y =kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k,b都是有理数.存在恰经过一个整点的直线.【答案】，【解析】 正确.比如直线y = x + 72不与坐标轴平行，当x取整数时，y始终 为无理数；错误.例如直线y =V2x-T2中k,b都是无理数，但直线过整点(1,0); 正确.必要性显然.证明充分性：设直线经过两个不同整点 A(x1, yj B(x2, y2), 则直线上到点A的距离为|AB|的整数倍的点都是整点，而这样的点有无数个，1故直线经过无穷多个整点；错误.例如直线y =中k,b都是有理数，但直线上 2无整点；正确.例直线y=V2x-V2只过一个整点(1,0)综上可知故答案

7、为：， ，.2 .阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius )在平面轨迹一 书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于 已知数的动点轨迹为直线或圆.P如图，点A,B为两定点，动点P满足PA=?PB,/ 则九=1时，动点P的轨迹为直线；当九1时，动点P的轨迹为网/AB 后世称之为阿波罗尼斯圆.证：设AB=2m (m0), PA =，PB .以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A (-m,0) , B (m,0).又设 C (x, y),则由 PA =九PB得 J(x + m)2 + y2 =，7(x m)2 + y2 ,

8、两边平方并化简整理得(九2 -1)x2 -2m (九2 +1)x + (九2 -1)y2 =m2(1-九2),当九=1时，x=0,轨迹为线段AB的垂直平分线;当九1时,212 2(x - m) y =:7224 m(2-1)2轨迹为以点-2 1一、( m,0)为圆心,- -1|含|长为半径的圆.上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理.经典试题分析：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3),直线l:y = 2x-4.设圆C的半径为1 ,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y =x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M ,使MA = 2MO ,求圆心C的横坐标a的

9、取值范围.y = x _ 1解：(1)联立：jy ,得圆心为：0(3, 2).y =2x 4设切线为：y = kx 3 ,13k 3 - 21/曰3d= r =1 , 得： k = 0 or k = 一一,1 k243故所求切线为：y=0 or y = -x+3.4(2)设点 M(x, y),由 MA=2MO ,知：/x2 +(y3)2 = 2jx2 + y2 , 化简得：x2+(y+1)2=4,即：点M的轨迹为以(0, 1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D. 又因为点M在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切.故：1W|CDW3,其中 CD =Ja2 +(2a3)2 .解之得:0a .5领悟高考数学试卷中，我们可以见到阿波罗圆的一般形式，阿波罗圆是一个重要 的题根，在历次高考中累累出现.我们说“评10年高考，看一个题根。注：1.波罗尼斯(Apolloning,约公元前260170),古希腊数学家，与欧几 里得，阿基米德等齐名。著有圆锥曲线论和平面轨迹等书。高考试题预测高考预测1:与圆有关的面积问题例1 满足条件AB =2,AC =&BC的三角形ABC的面积的最大值是.解：以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A (-1,0), B (1,0)，设 C (