2020高考数学100个必考知识点详解22恒成立问题——参变分离法

1、第22成立问题一一参变分离法一、基础知识：1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时(一个视为变量，另一个视为参数)，可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母(一般为所求)视为参数。3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：(1)已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个

2、字母的关系过于“紧密”，会出现无法分21 X离的情形，此时要考虑其他方法。例如：(x-1) <logax,eJXAl等1 - x(2)要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值(或临界值)，若解析式过于复杂而无法求出最值(或临界值)，则也无法用参变分离法解决问题。(可参见”恒成立问题一一最值分析法“中的相关题目)4、参变分离后会出现的情况及处理方法：(假设X为自变量，其范围设为D, f(x)为函数;a为参数，g(a )为其表达式)(1)若f (x )的值域为Im, M 寸xw D,g(a尸f (x ),则只需要g(a卢f (x )min = mVxWD,g(x)<f (x

3、),则只需要 g(a)<f(x)min=m X/xWD,g(a)之 f (x),则只需要 g(a )之 f (x )max=MVx=D,g(a)>f (x),则只需要 g(a )> f (x )max=M改乏D,g(a产f (x ),则只需要g(a产f (x需=M5x-D,g(a)<f (x),则只需要 g(a)< f(xmax =Mmw D,g(a庐f (x5则只需要g(a )至f (x in =m女 w D,g(a )> f (x ),则只需要 g(a )> f (x min =m(2)若f (x)的值域为(m,M ) Vxw D,g(a 产 f

4、(x),则只需要 g(a)<mVxw D,g(a)< f (x),则只需要g(a)<m (注意与(1)中对应情况进行对比) Vxw D,g(a户f (x ),则只需要g(a户MVxe D,g(a )> f (x ),则只需要g(a心M (注意与(1)中对应情况进行对比)3x = D,g(a)< f (x),则只需要g(a)<M (注意与(1)中对应情况进行对比)女 w D,g(a f (x则只需要 g(a)<M3x = D,g(a)>f(x),则只需要g (a )>m (注意与(1)中对应情况进行对比)3x d D,g(a)> f (

5、x),则只需要 g(a)m5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母(通常为3个)的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知(作为变量)，那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理(1)选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值(同时消去一元)，进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。(2)将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。二、典型例题：例1：已知函数f (x )=ex -ae ,若f'(x)至2 <3"恒成立，则实数a的取值范围是 思路：首先转化不等

6、式，f'(x) =ex+ae：即ex十1至2J3恒成立，观察不等式a与exe一一 2 一便于分离，考虑利用参变分离法，使a, x分居不等式两侧，a -(e ) +2)3e ,若不等式恒成立，只需 a (-(ex ) +273ex )，令 g (x )=- e x )+ 2G x=- e 电勺 3 (解 max析式可看做关于ex的二次函数，故配方求最值)g(xL=3,所以a±3答案：a -3a2 .例2：已知函数f (x )=ln x-,若f (x )<x在(1,-hc止恒成立，则a的取值范围是 x思路：恒成立的不等式为ln x - a < x2,便于参数分离，所以

7、考虑尝试参变分离法 xa 233斛：ln x x xln x -a 二 x ：= a xln x -x ,其中 x 二 11,二 x33二只需要 a A(xlnxx ax,令 g(x )=xlnxx,21g (x) =1 +ln x -3x (导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将ln x变为一，所以一阶x一 一、，一、一，一 、，一 一一一.、. '导函数的单调性可分析，为了便于确定g (x)的符号，不妨先验边界值) . 八 ”1-1 -6x2 一g (1 )= 2 , g (x )= 6x =<0,(判断单调性时一定要先看定义域，有可能会xx简化判断的过程), . .

8、 . . ' ， _ ， 、 . ， . ，g (x )在(1,代)单倜递减，:g (x)< g(1产0= g(x)在(1,收)单倜递减- g x 二 g 1)= 1 a - -1答案：a - -1小有话说：求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点(边界点，零点)等确定符号。23例3：右对任息x= R,不等式3x -2ax之x -一恒成立，则实数a的范围是.4思路：在本题中关于 a,x的项仅有2ax一项，便于进行参变分离，但由于 H R,则分离参 数时要对x的符号进行讨

9、论， 并且利用x的符号的讨论也可把绝对值去掉， 进而彳#到a的范10.3.9围，3x 2ax 之 x 一之 2ax M 3x - x3一+一 ,当 x > 0时，2a M 3x _ 1 +43 由，而4x min3333x -1 =3x -1 -2, 3x 14x 4x 4x=2，2a M 2n a <1 ;当x = 0时，不等式恒4H33，而 3x 1 = 1 - -3x - 4x . 4x£ -2,，,3成立；当x<0时，2a之3x+l+±-4 x max2a之2= a之T综上所述：T Ma w 1答案：-1 < a 1小有话说：(1)不等式含有

10、绝对值时，可对绝对值内部的符号进行分类讨论，进而去掉绝对值，在本题中对x进行符号讨论一举两得：一是去掉了绝对值，二是参变分离时确定不等号 的是否变号。(2)在求x解析式最值时根据式子特点巧妙使用均值不等式，替代了原有的构造函数求导 出最值的方法，简化了运算。(3)注意最后确定a的范围时是三部分取交集，因为是对 x的取值范围进行的讨论，而无 论x取何值，a的值都要保证不等式恒成立，即 a要保证三段范围下不等式同时成立，所以 取交集。,f i x - 4m2 f (x) < f (x -1) 4 f (m) m2.3例4:设函数f(x)=x -1 ,对任意的xu |一，- ,2恒成立，则实数

11、m的取值范围是思路：先将不等式进行化简可得:2 x )一Im J_1-4m2(x2-1)W(x-l"l+4(m2-1),即口 -4m2 x2 m2<x -2x -3,便于进行分离，考虑不等式两边同时除以2.4m2 mx2 -2x -3x2 -2x -3 二-3 -min最小值.4m2 m5- 12m4 -5m2 320即(3m2+1 %4m2 -3)>0 3解得:-二一U 二二2 一2答案:1-斗母,一2小有话说：本题不等式看似复杂， 化简后参变分离还是比较容易的，从另一个角度看本题所因为用不等式为二次不等式，那么能否用二次函数图像来解决呢？并不是一个很好的办法, 二次项

12、系数为关于 m的表达式且过于复杂，而对称轴的形式也不利于下一步的计算。所以在解题时要注意观察式子的结构，能够预想到某种方法所带来的运算量，进而做出选择例5：若不等式x2 +2+x3 -2x至ax对xw (0,4 )恒成立，则实数a的取值范围是 思路:2-3x +2 + x -2x >ax=n a <i'x2 +2+|x3 -2xxmin,令 f x 二x2 +2+|x3 -2xx22对值内部进行符号讨论，即一22cf（x）=x+-+x -2 xx x - 2, , 2 ： x ： 4x_x 2 -x2,0 ： x - 2xy = x +2 + x2 -2在（J2,4 ）单调

13、递增，y = x+2 + 2 x2在（0,J2单调递减，;可求 xx出 f x min = f 2 =2 5.a <2,2答案：a < 2,2e2x2 1e2x-例6：设正数f (x尸,g(x) = ,对任意 为名(0,f ),不等式xegwflJ恒成立，则正数k的取值范围是()k k 1kf xckf xc_思路：先将k放置不等号一侧，可得 g(x1了了才，所以 个；彳之|_g(x1 )max ,先求出g(x )的最大值，g'(x ) = e2 (1 -x )e 可得g(x加(0,1)单调递增，在(1,依)单调递减。故g(x.ax =g(1 )=e,所以若原不等式恒成立，

14、只需kf "2 %e,不等式中只含k 1kf x2) k 1k,x1，可以考虑再进行一次参变分离， 2之e= e < f x2 ,则只需k 1k2 2e -< j(x2)min，f(x) = -=x->2Je2x-=2e, -f(x2)min=2e kxx xk 1 _所以e，W2e解得：k >1 k答案：k -1例 7：已知函数 f x = ax2 一 2a 1 x In x,a R,g x = ex- x -1,若对于任意的Xi W(0," X2 W R ,不等式f (x1产g(X2 )恒成立，求实数a的取值范围思路：f (x )含有参数a ,而

15、g(x)为常系数函数，且能求出最值，所以以g(x)为入手点:若f(x1 )<g(x2)恒成立，则只需f (x1g(x n。可求出g(x)min =0,进而问题转 化为中x w (0,)，ax2 -(2a +1 )x1 +ln x1 W0恒成立，此不等式不便于利用参变分离求 解，考虑利用最值法分类讨论解决解：”%产9(乂2 )恒成立 ，只需 f(%)wg(x)min x'x'由 g(x) = e x-1得：g(x)=e -1,令 g (x)>0 解得：x>0二g(x通(,0)单调递减，在(0,此)单调递增g x min = g 0 = 0一（2a +1 凶 +

16、1nxi < 0 恒成立2 二”二(0,y), ax121 2ax - 2a 1 x 1 2ax -1 x -1即只需f x 三0 max(f x =2ax - 2a7 -=xxx2a 1当a>0时，令x=2aantt 2a 1 2a 11则 f . =ln . =ln .2 + >0,与 f (x 产0矛盾,a. a. a . - ，一 _ ' _ .当 a<0时，2ax1<0 :£以)>0解得乂<1二f (x庶(0,1 )单调递增，在(1,依)单调递减f x max = f 1 =a- 2a 1 =-a-1-a -1 - 0= a

17、 - -1综上所述：a 1-1,0 1小有话说：(1)在例6,例7中对于多变量恒成立不等式，都是以其中一个函数作为突破口求得最值，进而消元变成而二元不等式，再用处理恒成立的解决方法解决。2a 1(2)在本题处理f (x)M0恒成立的过程中， 对令”这个反例，是通过以下两点确定的：a>0时估计f (x)函数值的变化，可发现当XT + g时，ax2(2a+1)x > 0(平方比一次函数增长的快)在选取特殊值时，因为发现 x>1时，lnx已然为正数，所以只2a 11需刖面两项相消即可，所以解万程ax2 (2a+1 )x = 0= x = 2 + ->0,刚好符a a合反例的要

18、求。例8：若不等式x +2 J2xy W a(x + y )对任意正数x, y恒成立，则正数a的最小值是()A. 1 B.2 C.2 1 D,2.2 12思路：本题无论分离x还是分离y都相对困难，所以考虑将x,y归至不等号的一侧， 致力于 . i x + 22xv. 一去求x, y表达式的取值：x + 2J2xy Wa(x + yA a > | ,从2 J2xy入手I X + y 人ax考虑使用均值不等式：2j2xy=2jx_2； Wx+2y= x + 272 W x + (x + 2y) = 2x y x y所以a _2答案：B 小有话说：(1)在多变量不等式恒成立问题上处理方式要根据

19、不等式特点灵活选择合适的方 法，本题分离a与x,y很方便，只是在求二元表达式最值上需要一定的技巧。(2)本题在求x+2J2xy的最大值时,还可以从表达式分子分母齐次的特点入手，同时除x yx 2 2xy 以x （或y ）：x y1+2表y_ 厂,在通过换元t = 2转化为一元表达式，再求最x值即可。1 ln xk例9：已知函数f(x)=，如果当x至1时，不等式f(x)至恒成立，求头数kxx 1的取值范围.一一1 ln x k 一一 - 一一一r 思路：恒成立不等式为 1>k-,只需不等号两侧同时乘以 x +1即可进行参变分离,x x 1 一一x 1 1 ln x且由于x>1, x+

20、1>0,也不存在不等号变号问题。则可得：k <lnx ,只需x 1 1 Inxx 1 1 In x即可，设g(x) = -士,尝试利用导数求得最小值,min解：x -13_上=kM x 1 1 1nxx x 1x即只需要k <x 1 1 1nxmin、几x 1 1 Inx设g x 二x 1 1 lnx x- x 1 11nx x-lnxg x -2-2xx令h(x )= x 1n x(分子的符号无法直接判断，所以考虑再构造函数进行分析)1 x -1h x = 1 -一= f x _ 1 . h x : 0x x:.h(x 肝(1,+s 冲调递增a h(x)>h(1 )=1 >0, 一 ， 、， 一j. g (x )>0, g(x)在(1,+笛肉倜递增二 g(x min = g(1 ) = 2.k <2答案：k <2f x例10：已知函数f(x) = x+x1nx,右卜亡2,且卜<对任息x >1恒成立，则k的取x -1大值为.f x x x 1n x , x x 1n x 人 x x1n x思路：恒成立不等式k<，二k< ，令g x)=x -1 x -1. x -1 minx-1x -1n x - 2'1 x-1,则 g (x ) =2，考虑