信号与系统第三章

1、XIAN JIAOTONG UNIVERSITY第三章第三章 信号与系统的时域分析信号与系统的时域分析知识准备。知识准备。离散时间信号的时域分解及离散离散时间信号的时域分解及离散LTILTI系统时域分析、卷积系统时域分析、卷积和和连续时间信号的时域分解及连续时间连续时间信号的时域分解及连续时间LTILTI系统时域分析、系统时域分析、卷积积分卷积积分LTILTI系统的性质系统的性质LTI系统的微分方程及差分方程表示。系统的微分方程及差分方程表示。LTI系统的框图结构表示。系统的框图结构表示。XIAN JIAOTONG UNIVERSITY引言引言 在已知系统并给定输入信号的前提条件下如何求解系统

2、在已知系统并给定输入信号的前提条件下如何求解系统的输出是信号与系统分析的主要任务之一。信号与系统的的输出是信号与系统分析的主要任务之一。信号与系统的时域分析是指在分析过程中，信号的表示、系统的描述和时域分析是指在分析过程中，信号的表示、系统的描述和信号过系统输出的求解等全部分析过程都在时域中进行的信号过系统输出的求解等全部分析过程都在时域中进行的一种分析方法。一种分析方法。信号与系统的时域分析往往比较直观，物信号与系统的时域分析往往比较直观，物理意义清楚，是学习其他各种变换分析方法的基础理意义清楚，是学习其他各种变换分析方法的基础。本章。本章将主要讨论将主要讨论LTILTI系统的时域分析方法。

3、系统的时域分析方法。XIAN JIAOTONG UNIVERSITY知识准备知识准备知识准备知识准备单位脉冲函数的采样性质：单位脉冲函数的采样性质：信号的时移变换：信号的时移变换：系统的线性：系统的线性：系统的时不变性：系统的时不变性：即若即若ynyn是系统在是系统在xnxn输入下的输出，当输入变为输入下的输出，当输入变为xn-xn-n n0 0 时，输出为时，输出为yn-nyn-n0 0 。000nnnxnnnx0 1 2 f(t-2)tf(t)011t)()()()(2121tbytaytbxtax出发点：出发点：如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合，那么只要得到了如果能把任意输入

4、信号分解成基本信号的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号的响应，就可以利用系统的线性和时不变特性，将系统对任意输入系统对基本信号的响应，就可以利用系统的线性和时不变特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。问题：如何在给定输入的情况下得到系统的输出？问题：如何在给定输入的情况下得到系统的输出？XIAN JIAOTONG UNIVERSITY研究信号的分解：研究信号的分解：以什么样的信号作为构成任意信号的基本信号单元；以什么样的信号作为构成任意信号的基本信号单元；如何用基本信号单元的如何用基本信号单元的线

5、性组合线性组合来构成任意信号？来构成任意信号？如何得到如何得到 LTI LTI 系统对基本单元信号的响应系统对基本单元信号的响应; ;任意信号过任意信号过LTILTI系统的响应如何求解系统的响应如何求解? ? 作为基本单元的信号应满足以下要求：作为基本单元的信号应满足以下要求：尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示（构成）尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示（构成） 尽可能广泛的其它信号；尽可能广泛的其它信号；LTILTI系统对这种信号的响应易于求得。系统对这种信号的响应易于求得。本章研究的主要问题本章研究的主要问题XIAN JIAOTONG UNIVERSITY离散时间信号的时域分解离散时

6、间信号的时域分解离散时间信号的时域分解及离散离散时间信号的时域分解及离散LTILTI系统时域分析、卷积和系统时域分析、卷积和首先看一个示例：首先看一个示例：xnxn可以分解为：可以分解为：-k 3322 1 1 0 1 12233knkxnxnxnxnxnxnxnxnx单位脉冲序列的筛选性质单位脉冲序列的筛选性质-4-3-2 0 1 2 3 4n21 nx-2 -1 0 1 2 3 4n1nh LTILTI系统系统-4 -2 -1 0 1 2 3 4n21 0 xn-4-3-2 -1 0 1 2 3 4n21 1 1 nxn21 1 1nx-4-3-2 0 1 2 3 4-4 -2 0 1 2

7、 3 4n21 ny-4 -3-2 2 3 4n21 1 1nhx -4 -2 -1 1 2 3 4n21 0 xh n-4-3-2-1 1 2 3 4n21 1 1 nhx离散离散LTILTI系统的单位脉冲响应及卷积和表示示例系统的单位脉冲响应及卷积和表示示例例例 XIAN JIAOTONG UNIVERSITY离散离散LTILTI系统的单位脉冲响应及卷积和表示系统的单位脉冲响应及卷积和表示离散时间信号的时域分解及离散离散时间信号的时域分解及离散LTILTI系统时域分析、卷积和系统时域分析、卷积和LTILTI系统系统hnhn定义：定义： 时移不变性时移不变性: :齐次性齐次性: :叠加性叠加

8、性: :信号分解信号分解: :nnhkn knhknkxknhkxkknkxkknhkxnxny单位脉冲响应单位脉冲响应nhnxknhkxnyk一个一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征。这种求得系统响应的运算系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为关系称为卷积和：卷积和：XIAN JIAOTONG UNIVERSITY卷积和的计算卷积和的计算( (一一) )离散时间信号的时域分解及离散离散时间信号的时域分解及离散LTILTI系统时域分析、卷积和系统时域分析、卷积和-4 -2 0 1 2 3 4n21 ny-4-3-2 0 1 2 3 4n21 nx-4-3

9、-2-1 0 1 2 3 4 k1kh-4-3-2-1 0 1 2 3 4 k kh -4-3-2-1 0 1 2 3 4 k1 kh-4-3-2-1 0 1 2 3 4k2kh11 1-kkhkxy10-kkhkxy21 1 -kkhkxy322-kkhkxy例：例： 信号和系统同信号和系统同前例前例, ,换一种思路来求换一种思路来求解解yn.yn.将信号将信号xkxk和和hn-khn-k看作看作k k的函数。的函数。对每一个对每一个n n，将将 xk与与hn-k对应点相乘，再对应点相乘，再把乘积的各点值累加把乘积的各点值累加，即得到即得到n时刻的时刻的yn。kknhkxnyXIAN JIA

10、OTONG UNIVERSITY卷积和的计算卷积和的计算( (二二) )离散时间信号的时域分解及离散离散时间信号的时域分解及离散LTILTI系统时域分析、卷积和系统时域分析、卷积和例：例：输入信号和系统单位脉冲响应分别为下式，求系统输出输入信号和系统单位脉冲响应分别为下式，求系统输出yn.yn.01k.01nk.kuakxkknuknh10 anuanxnnunh将信号将信号xkxk和和hn-khn-k看作看作k k的函数。的函数。 k 00 其余nkaknhkxk1110nuaaanynnkk卷积和运算可以等效为序列卷积和运算可以等效为序列hn-khn-k与与xkxk的滑动相关的滑动相关。X

11、IAN JIAOTONG UNIVERSITY卷积和的计算卷积和的计算( (三三) )离散时间信号的时域分解及离散离散时间信号的时域分解及离散LTILTI系统时域分析、卷积和系统时域分析、卷积和例：例：输入信号和系统单位脉冲响应分别为下式，求系统输出输入信号和系统单位脉冲响应分别为下式，求系统输出yn.yn.用图解法进行卷积和运算可以帮用图解法进行卷积和运算可以帮助深刻理解系统响应的生成过程助深刻理解系统响应的生成过程和原理，同时帮助获得求和上下和原理，同时帮助获得求和上下限。限。n 040 1其余nnx1 n 060 ananhn其余将信号将信号xkxk和和hn-khn-k看作看作k k的函

12、数。的函数。0n6n 014kkknaknhkx分分5 5个区间考虑问题：个区间考虑问题：0 04 46610 10nnnnnXIAN JIAOTONG UNIVERSITY10211021204200003063102112031()h n()x n(0 )x(1)x(2 )x(3)x(1)h (0 )h(1)h(2 )h(3)h(1)y (0 )y(1)y(2 )y(3)y(4 )y(5)y(6 )y优点：优点：计算非常简单。计算非常简单。缺点：缺点： 只适用于两个有限长序列的卷积和；只适用于两个有限长序列的卷积和； 一般情况下，无法写出一般情况下，无法写出 的封闭表达式。的封闭表达式。(

13、 )y n卷积和的计算卷积和的计算( (三三) )离散时间信号的时域分解及离散离散时间信号的时域分解及离散LTILTI系统时域分析、卷积和系统时域分析、卷积和XIAN JIAOTONG UNIVERSITY连续时间信号的时域分解（一）连续时间信号的时域分解（一）连续时间信号的时域分解及连续时间连续时间信号的时域分解及连续时间LTILTI系统时域分析、卷积积分系统时域分析、卷积积分定义：定义：单位脉冲波形单位脉冲波形( )x t0k(1)k t()x k( )x t1/0( )0ttotherwise 则有则有：10( )0ttotherwise 对波形对波形 我们可以使用我们可以使用 来近似，

14、来近似， 可以表示为若干单位可以表示为若干单位脉冲波形的线性组合。脉冲波形的线性组合。)(tx( )x t 第第 个矩形可表示为：个矩形可表示为： k()()x ktk ( )()()kx tx ktk ( )x tXIAN JIAOTONG UNIVERSITY连续时间信号的时域分解（二）连续时间信号的时域分解（二）连续时间信号的时域分解及连续时间连续时间信号的时域分解及连续时间LTILTI系统时域分析、卷积积分系统时域分析、卷积积分( )( ) ()x txtd 于是：于是：任何连续时间信号都可以被分解成移位加权的单位冲激信号的任何连续时间信号都可以被分解成移位加权的单位冲激信号的“和和”

15、。 0( )lim()()kx tx ktk 这就是连续时间冲激函数的筛选性质。这就是连续时间冲激函数的筛选性质。由于由于可以很容易证明：可以很容易证明：000( ) ()( ) ()x tttx ttt)()()()()(txdttxdtx尽管这样很直接，但是上述推导是一个数学问题，不利于物理概念的理尽管这样很直接，但是上述推导是一个数学问题，不利于物理概念的理解。解。连续时间线性系统的单位脉冲响应图示连续时间线性系统的单位脉冲响应图示0 t )()0(0thx0 t )()(thx0 t )()(thkxk0 t )( ty0 t0 t )(ty0 t )(tx0 k x(k)h k(t0

16、) 面积面积 0 x( )h (t0) 面积面积 000 t )()0(tx0 t )()(tx0 t )()(ktkxk0 t )( tx0XIAN JIAOTONG UNIVERSITY连续连续LTILTI系统的单位脉冲响应及卷积积分表示系统的单位脉冲响应及卷积积分表示连续时间信号的时域分解：连续时间信号的时域分解： 连续时间信号的时域分解及连续时间连续时间信号的时域分解及连续时间LTILTI系统时域分析、卷积积分系统时域分析、卷积积分( )()()kx tx ktk 令令 为系统对输入为系统对输入 的响应的响应 ( )kht()tk 由系统的线性有：由系统的线性有： ( )()( )kk

17、y tx kht当当 时，时， ，同时，同时0 ( )( )x tx t( )( )y ty t0( )lim()( )( )( )kky tx khtxh t d 其中其中 为系统在时间为系统在时间 对发生于时间对发生于时间 的单位冲激的单位冲激 的响应。的响应。( )h tt()t时不变条件下：时不变条件下： 0( )()h th t定义定义 为为单位冲激响应单位冲激响应 0( )( )h th t一个一个LTI系统可以完全由它的单位冲激响应来表征。系统可以完全由它的单位冲激响应来表征。( )( ) ()y txh td( )( )( )y tx th t系统响应可以通过输入信号和系统单位

18、冲激响应的卷积积分来表征。系统响应可以通过输入信号和系统单位冲激响应的卷积积分来表征。XIAN JIAOTONG UNIVERSITY卷积积分的计算卷积积分的计算( (一一) )连续时间信号的时域分解及连续时间连续时间信号的时域分解及连续时间LTILTI系统时域分析、卷积积分系统时域分析、卷积积分和卷积和类似，卷积积分运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中，一个和卷积和类似，卷积积分运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中，一个不动，另一个反转后随参变量不动，另一个反转后随参变量 移动。对每一个移动。对每一个 的值，将的值，将 和和 对应对应相乘，再计算相乘后曲线所包围的面积。相乘，再计算相

19、乘后曲线所包围的面积。tt( )x()h t例例: :求下面两个信号的卷积：求下面两个信号的卷积： ( )( )0atx teu ta，( )( )h tu t01( )xt01()u t0( )( )( )( ) ()1( ) ()(1) ( )taaaty tx th txh tdeuu tdedeu taXIAN JIAOTONG UNIVERSITY卷积积分的计算卷积积分的计算( (二二) )连续时间信号的时域分解及连续时间连续时间信号的时域分解及连续时间LTILTI系统时域分析、卷积积分系统时域分析、卷积积分例例: :求下面两个信号的卷积：求下面两个信号的卷积： 10( )0tTx

20、totherwise02( )0ttTh totherwise02T2T( )h()x t01tTt( )( )( )( ) ()() ( )y tx th txh tdx thd0t ( )0y t 0tT 201( )2ty tdt 2TtT 21( )2tt Ty tdTtT 23TtT 2221( )2()2Tt Ty tdTtT 3tT ， ， ； ， ； ， ；XIAN JIAOTONG UNIVERSITY卷积积分与卷积和的性质（一）卷积积分与卷积和的性质（一）LTILTI系统的性质系统的性质例例: :考察下面两个系统的单位脉冲冲激响应考察下面两个系统的单位脉冲冲激响应： 2 1

21、y nx nx n max ,1y nx nx n1 0,1 0 nh notherwise 1y nx nx n一个系统的特性完全由它的单位冲激响应来决定。一个系统的特性完全由它的单位冲激响应来决定。但是，单位冲激响应不能完全表征其它系统的特性。但是，单位冲激响应不能完全表征其它系统的特性。1. 交换律：交换律：( )( )( )( )x th th tx t 一个单位冲激响应是一个单位冲激响应是 的的LTI系统对输入信号系统对输入信号 所产生的所产生的响应，与一个单位冲激响应是响应，与一个单位冲激响应是 的的LTI系统对输入信号系统对输入信号 所产生所产生的响应相同。的响应相同。( )h

22、t( )x t( )h t( )x t( )x t( )h t( )y t( )h t( )x t( )y tXIAN JIAOTONG UNIVERSITY证明：证明：1212121212 ( )( )( )( )()()( )()()( )( )()( ) ()( )( )( )( )( )x th th txhdh tdxhh tddxhh tddxh tdx th tx th th t交换积分次序：交换积分次序：卷积积分与卷积和的性质（二卷积积分与卷积和的性质（二）LTILTI系统的性质系统的性质1212 ( )( )( )( ) ( )( )x th th tx th th t2.

23、结合结合律：律： 两个两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激系统级联时，系统总的单位冲激( (脉冲脉冲) )响应等于各子系统单位冲激响应等于各子系统单位冲激( (脉冲脉冲) )响应的卷积。响应的卷积。 由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后次序可以调换。由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后次序可以调换。( )x t12( )( )( )h ththt( )y t1( )ht( )x t( )y t2( )ht1( )ht( )x t( )y t2( )ht条件？条件？XIAN JIAOTONG UNIVERSITY卷积积分与卷积和的性质（三）卷积积分与卷积和的性质（三）LTILT

24、I系统的性质系统的性质产生以上结论的前提条件：产生以上结论的前提条件：系统必须是系统必须是LTI系统；所有涉及到的卷积运算必须收敛。系统；所有涉及到的卷积运算必须收敛。如如：( )x t平方平方乘乘22( )2( )y txt( )x t乘乘2平方平方2( )4( )y txt若交换级联次序，即成为：若交换级联次序，即成为： 1x n 1 h n2 hn0 0y n 1x n 1 h n2 hn y n ？ 又如：若又如：若 ，虽然系统，虽然系统都是都是LTI系统。当系统。当 时：时：12 1, h nnnhnu n 1x n XIAN JIAOTONG UNIVERSITY卷积积分与卷积和的

25、性质（四）卷积积分与卷积和的性质（四）LTILTI系统的性质系统的性质例例: :求下面两个函数的卷积求下面两个函数的卷积： 2 2nnx nu nun h nu n 2 2 nny nu nunu n2 2 nnu nu nunu n3. 分配律：分配律：两个两个LTI系统并联，其总的单位脉冲系统并联，其总的单位脉冲( (冲激冲激) )响应等于各子系统单位脉冲响应等于各子系统单位脉冲( (冲激冲激) )响应之和。响应之和。1212( ) ( )( )( )( )( )( )x th th tx th tx th t( )x t12( )( )( )h th tht( )y t1( )h t(

26、)x t( )y t2( )htXIAN JIAOTONG UNIVERSITY卷积运算还有如下性质：卷积运算还有如下性质：若若 ，则，则( )( )( )x th ty t000()( )( )()()x tth tx th tty ttl 卷积积分满足微分、积分及时移特性：卷积积分满足微分、积分及时移特性：( )( )( )x th ty t( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )tttx th tx th ty txdh tx thdyd若若 ，则，则LTILTI系统的性质系统的性质XIAN JIAOTONG UNIVERSITY 若若 ，则，则( )( )( )x

27、 nh ny n000()( )( )()()x nnh nx nh nny nn卷积和满足差分、求和及时移特性：卷积和满足差分、求和及时移特性：恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：( )( )( )x nh ny n( )( )( ) ( )( )nnnkkkx kh nx nh ky k 若若 ，则，则 ( )(1)( )( )( )(1)( )(1)x nx nh nx nh nh ny ny nLTILTI系统的性质系统的性质XIAN JIAOTONG UNIVERSITY将将 微分一次有微分一次有: :( )x t( )()()x ttTt

28、T( )( )( )( ) ( )()( )()y tx th th tttTh th tT例如：例例如：例3 3.2根据微分特性有根据微分特性有: :)(thTTt0tTT0(1)(-1)( )x tLTILTI系统的性质系统的性质XIAN JIAOTONG UNIVERSITY( )( )ty tyd利用积分特性即可得利用积分特性即可得: :TT0T2TtT( )y tTT2Tt0( )y t22TLTILTI系统的性质系统的性质XIAN JIAOTONG UNIVERSITY记忆性（一）记忆性（一）LTILTI系统的性质系统的性质 LTI 系统可以由它的单位冲激系统可以由它的单位冲激/

29、/脉冲响应来表征，因而其特性（记脉冲响应来表征，因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）都应在其单位冲激忆性、可逆性、因果性、稳定性）都应在其单位冲激/ /脉冲响应中有脉冲响应中有所体现。所体现。 根据根据 ，如果系统是无记忆的，如果系统是无记忆的， ky nx k h nk则在任何时刻则在任何时刻 ， 都只能和都只能和 时刻的输入有关，和式中时刻的输入有关，和式中只能有只能有 时的一项为非零，因此必须有：时的一项为非零，因此必须有：n y nnkn()0,h nkkn即：即：( )0,0h nn所以，无记忆系统的单位脉冲所以，无记忆系统的单位脉冲/冲激响应为：冲激响应为：( )( )h

30、nknh tkt( )( )( )x nh nkx nx th tkx t当当 时系统是时系统是恒等系统恒等系统。1k 此时，此时，XIAN JIAOTONG UNIVERSITY记忆性（二）记忆性（二）LTILTI系统的性质系统的性质 平衰落信道是无记忆系统，频率选择性衰落信道是记忆系统。平衰落信道是无记忆系统，频率选择性衰落信道是记忆系统。( )( ) ()( )( )y txh tdx th t ky nx k h nkx nh n( )( ) ()y txtd ky nx knk对于恒等系统：对于恒等系统： 退化为单位脉冲和冲激函数的筛选性质。退化为单位脉冲和冲激函数的筛选性质。 如果

31、如果LTI系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且逆系统也是系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且逆系统也是LTI系统，它们系统，它们级联起来构成一个恒等系统。级联起来构成一个恒等系统。( )x t( )x t( )h t1( )ht( )x t( )t( )x tXIAN JIAOTONG UNIVERSITY可逆性（一）可逆性（一）LTILTI系统的性质系统的性质逆系统单位脉冲逆系统单位脉冲/ /冲激响应满足：冲激响应满足：11( )( )( ) h th tth nh nn延时器延时器 的单位冲激响应，的单位冲激响应， 因此：因此：即一个信号与移位冲激的卷积就是该信号的移位。即一个信号与移位冲

32、激的卷积就是该信号的移位。其逆系统是将移位后的信号再移回来其逆系统是将移位后的信号再移回来, ,因此其逆系统的单位冲激响应：因此其逆系统的单位冲激响应：例例: :考察延时器的可逆性：考察延时器的可逆性： 0( )()h ttt10( )()h ttt100( )( )()()( )h th tttttt0( )()y tx tt00()( )()x ttx ttt显然：显然：离散时间情况下上述结论同样成立。离散时间情况下上述结论同样成立。XIAN JIAOTONG UNIVERSITY可逆性（二）可逆性（二）LTILTI系统的性质系统的性质问题：差分器和微分器是否为可逆系统？问题：差分器和微分

33、器是否为可逆系统？例例: : 考察累加器考察累加器 的可逆性：的可逆性： nkky nx kx k u nk 1y nx nx n第一章已经讨论过，其逆系统为差分器：第一章已经讨论过，其逆系统为差分器：本例对上述结论进行验证：本例对上述结论进行验证：由于：由于： nky nx k累加器的单位脉冲响应为：累加器的单位脉冲响应为： h nu n其逆系统的单位脉冲响应为：其逆系统的单位脉冲响应为：1 1h nnn1 1 1 h nh nu nnnu nu nnXIAN JIAOTONG UNIVERSITY因果性因果性LTILTI系统的性质系统的性质 由由 ，当，当LTI系统是因果系统时，系统是因果

34、系统时，在任何时刻在任何时刻 ， 都只能取决于都只能取决于 时刻及其以前的输入，即和式中所有时刻及其以前的输入，即和式中所有 的项都必须为的项都必须为零，零，即：即： ky nx k h nkn y n0,h nkkn 0,0h nn或或:同理，对连续时间系统有同理，对连续时间系统有: :这是这是LTI系统具有因果性的充分必要条件。系统具有因果性的充分必要条件。( )0,0h ttnkn累加器及其逆系统为因果系统，延时器是因果的，其逆系统是非因果的。累加器及其逆系统为因果系统，延时器是因果的，其逆系统是非因果的。n0n0和和t0t0时信号为零的信号称为时信号为零的信号称为因果信号因果信号，一个

35、，一个LTILTI系统的因果性就等系统的因果性就等效为其冲激响应是因果信号。效为其冲激响应是因果信号。XIAN JIAOTONG UNIVERSITY稳定性（一）稳定性（一）LTILTI系统的性质系统的性质 根据稳定性的定义，若根据稳定性的定义，若 有界，则有界，则 ; ;若系统稳定，则要若系统稳定，则要求求 必有界，由必有界，由 ky nh k x nk x n()x n kB y n kkky nh k x nkh kx nkBh k当单位脉冲响应是当单位脉冲响应是绝对可和绝对可和时，即时，即: nh n 有有:系统是稳定的。以上条件为系统是稳定的。以上条件为LTI系统稳定的系统稳定的充分

36、条件充分条件。用反证法证明：绝对可和条件为用反证法证明：绝对可和条件为LTI系统稳定的系统稳定的必要条件必要条件。 nh n 假设单位脉冲响应不是绝对可和的，即：假设单位脉冲响应不是绝对可和的，即：XIAN JIAOTONG UNIVERSITY稳定性（二）稳定性（二）LTILTI系统的性质系统的性质输出无界，所以绝对可和条件为输出无界，所以绝对可和条件为LTI系统稳定的系统稳定的必要条件必要条件。*00 0 kknh kyh k xkhkh kh nh k *0 0 0hnx nhnhnhn假设系统输入为：假设系统输入为：显然：显然： 输入信号输入信号xn有界。有界。 1x n考察考察n=0

37、时的输出：时的输出：对连续时间系统，相应有对连续时间系统，相应有: ( )h td t 即绝对可积条件是即绝对可积条件是连续时间连续时间LTI系统稳定的充分必要条件系统稳定的充分必要条件。XIAN JIAOTONG UNIVERSITYLTILTI系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应LTILTI系统的性质系统的性质 在工程实际中，也常用单位阶跃响应在工程实际中，也常用单位阶跃响应 来描述来描述LTI系统。单位系统。单位阶跃响应就是系统对阶跃响应就是系统对 或或 所产生的响应。因此有所产生的响应。因此有: :( )u t u n( )( )( ) s tu th ts nu nh n( )( )

38、( )( )tds thdh ts tdt所以，所以，LTILTI系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述。系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述。 1nks nh kh ns ns n( )s t s n 另外单位阶跃响应另外单位阶跃响应 或或 还可以看作输入为还可以看作输入为 或或 系系统的单位脉冲统的单位脉冲/ /冲激响应为冲激响应为 或或 的响应。故单位脉冲的响应。故单位脉冲/ /冲激和单冲激和单位阶跃响应的关系为位阶跃响应的关系为: :( )s t s n( )u t u n( )h t h nXIAN JIAOTONG UNIVERSITY线性常系数微分方程线性常系数微分方程LT

39、ILTI系统的微分方程及差分方程表示系统的微分方程及差分方程表示 在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型可以用线性常系数微分方程在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来描述。分析这类或线性常系数差分方程来描述。分析这类LTI系统，就是要求解线性常系数微分系统，就是要求解线性常系数微分方程方程或差分方程。或差分方程。 00( )( ),kkNMkkkkkkd y td x tabdtdt,kkab均为常数均为常数求解该微分方程，通常是求出求解该微分方程，通常是求出通解通解 和和一个一个特解特解 ，于是，于是有有 。特解。特解 是与输入是与输

40、入 同类型的函数，同类型的函数，通解通解 是齐次方程的解，即是齐次方程的解，即 的解。的解。欲求得齐次解，可根据齐次方程建立一个特征方程：欲求得齐次解，可根据齐次方程建立一个特征方程： 求出求出其特征根。在特征根均为单阶根时，可得出齐次解的形式为：其特征根。在特征根均为单阶根时，可得出齐次解的形式为：( )pyt( )hyt( )( )( )phy tytyt( )pyt( )x t( )hyt0( )0kNkkkd y tadt00Nkkka1( ),kNthkkytC e其中其中 是待定的常数。是待定的常数。kCXIAN JIAOTONG UNIVERSITY线性常系数微分方程线性常系数微

41、分方程LTILTI系统的微分方程及差分方程表示系统的微分方程及差分方程表示欲求得齐次解，可根据齐次方程建立一个特征方程：欲求得齐次解，可根据齐次方程建立一个特征方程： 求出其特征根。在特征根均为单阶根时，可得出齐次解的形式为：求出其特征根。在特征根均为单阶根时，可得出齐次解的形式为：00Nkkka1( ),kNthkkytC e其中其中 是待定的常数。是待定的常数。kC 要确定系数要确定系数 ，需要有一组条件，暂且称为，需要有一组条件，暂且称为附加条件附加条件。仅仅从确。仅仅从确定待定系数定待定系数 的角度来看，这一组附加条件可以是任意的，包括附的角度来看，这一组附加条件可以是任意的，包括附加

42、条件的值以及给出附加条件的时刻都可以是任意的。加条件的值以及给出附加条件的时刻都可以是任意的。 kCkCXIAN JIAOTONG UNIVERSITY线性常系数微分方程线性常系数微分方程LTILTI系统的微分方程及差分方程表示系统的微分方程及差分方程表示当微分方程描述的系统是线性系统时，必须满足系统零输入当微分方程描述的系统是线性系统时，必须满足系统零输入零输出的零输出的特性。也就是系统在没有输入，即特性。也就是系统在没有输入，即 时，时， 。此时，。此时，微分方程就蜕变成齐次方程，因而描述线性系统的微分方程其齐次解必微分方程就蜕变成齐次方程，因而描述线性系统的微分方程其齐次解必须为零，这就

43、要求所有的须为零，这就要求所有的 都为零。都为零。( )0 x t kC( )0y t 确定待定系数所需的一组确定待定系数所需的一组附加条件的值必须全部为零附加条件的值必须全部为零，因此，因此， LCCDELCCDE具具有一组零附加条件时，才能描述线性系统。有一组零附加条件时，才能描述线性系统。可以证明：当这组可以证明：当这组零附加条件在信号加入的时刻给出时，零附加条件在信号加入的时刻给出时，LCCDELCCDE描述的描述的系统不仅是线性的，也是因果的和时不变的。系统不仅是线性的，也是因果的和时不变的。在信号加入的时刻给出的零附加条件称为在信号加入的时刻给出的零附加条件称为零初始条件。零初始条

44、件。 XIAN JIAOTONG UNIVERSITY线性常系数差分方程线性常系数差分方程LTILTI系统的微分方程及差分方程表示系统的微分方程及差分方程表示结论：结论：LCCDELCCDE具有一组全部为零的初始条件可以描述一个因果的具有一组全部为零的初始条件可以描述一个因果的LTILTI系统。系统。这组条件是：这组条件是：(1)(0)0,(0)0,(0)0NyyyL L如果一个因果的如果一个因果的LTI系统由系统由LCCDE描述，且方程具有零初始条件，就称该系描述，且方程具有零初始条件，就称该系统统初始是静止的初始是静止的或或最初是松弛的。最初是松弛的。如果如果LCCDE具有一组具有一组不全

45、为零的初始条件不全为零的初始条件，则可以证明它所描述的系统是则可以证明它所描述的系统是增量线性的。增量线性的。 一般的线性常系数差分方程可表示为：一般的线性常系数差分方程可表示为： 与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个特特解解 和通解，和通解，即齐次解即齐次解 来进行，其过程与解微分方程类似。来进行，其过程与解微分方程类似。00NMkkkka y nkb x nk pyn hyn要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组附加条件附加条件。同样地，。同样地，当当LCCDE具有一组全部为零的初始条件时，所描述的系统是

46、线性、因果、时不变的。具有一组全部为零的初始条件时，所描述的系统是线性、因果、时不变的。XIAN JIAOTONG UNIVERSITY线性常系数差分方程线性常系数差分方程LTILTI系统的微分方程及差分方程表示系统的微分方程及差分方程表示对于差分方程，还可以将其改写为：对于差分方程，还可以将其改写为：0101 MNkkkky nb x nka y nka可以看出：要求出可以看出：要求出 ，不仅要知道所有的，不仅要知道所有的 ，还要知，还要知道道 ，这就是一组，这就是一组初始条件初始条件，由此可以得出，由此可以得出 。进。进一步，又可以通过一步，又可以通过 求得求得 , ,依次类推可求出所依次

47、类推可求出所有有 时的解。时的解。由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为递归方程递归方程。 x n 1, 2, yyyNL L0y0, 1, 1yyyNL L1y0n 0y当当 时，差分方程变为：时，差分方程变为：0,0kak00( )()Mkkby nx nka 此时此时, ,解方程不再需要迭代运算，因而称为解方程不再需要迭代运算，因而称为非递归方程非递归方程。显然，此时方程就显然，此时方程就是一个卷积和的形式，其中是一个卷积和的形式，其中 0 ,0nbh nnMaXIAN JIAOTONG UNIVERSITY此时，系统单位脉冲响应此时，系统单

48、位脉冲响应 是有限长的是有限长的, ,因而把这种方程描述的因而把这种方程描述的LTI系统称为系统称为FIR系统系统。将递归方程描述的系统称为。将递归方程描述的系统称为IIR系统系统, ,此时系统此时系统的单位脉冲响应是一个无限长的序列。的单位脉冲响应是一个无限长的序列。线性常系数差分方程线性常系数差分方程LTILTI系统的微分方程及差分方程表示系统的微分方程及差分方程表示 h n FIR系统与系统与IIR系统是离散时间系统是离散时间LTI系统中两类很系统中两类很重要的系统，它重要的系统，它们的特性、结构以及设计方法都存在很大的差异。们的特性、结构以及设计方法都存在很大的差异。 由于无论微分方程

49、还是差分方程的特解都具有与由于无论微分方程还是差分方程的特解都具有与输入信号相同的函输入信号相同的函数形式，即特解完全数形式，即特解完全是由输入信号决定的，因而特解所对应的这一部是由输入信号决定的，因而特解所对应的这一部分响应称为分响应称为受迫响应受迫响应或或强迫响应强迫响应。齐次解所对应的部分由于与输入信。齐次解所对应的部分由于与输入信号无关，也称为系统的号无关，也称为系统的自然响应自然响应。增量线性系统的响应分为零状态和零输入响应，增量线性系统的响应分为零状态和零输入响应，零输入属于自然响应，零输入属于自然响应，零状态既包含了受迫响应，也包含有一部分自然响应。零状态既包含了受迫响应，也包含

50、有一部分自然响应。XIAN JIAOTONG UNIVERSITY由差分方程描述的由差分方程描述的LTILTI系统的框图结构表示系统的框图结构表示LTILTI系统的框图结构表示系统的框图结构表示 由由LCCDE 描述的系统，其数学模型是由一些基本运算来实现的，如果能用描述的系统，其数学模型是由一些基本运算来实现的，如果能用一种图形表示方程的运算关系，就会更加形象直观；另一方面一种图形表示方程的运算关系，就会更加形象直观；另一方面, , 分析系统很重分析系统很重要要的的目的是为了设计或实现一个系统目的是为了设计或实现一个系统, , 用图形表示系统的数学模型用图形表示系统的数学模型, , 将对系统

51、将对系统的特性仿真、硬件或软件实现具有重要意义。的特性仿真、硬件或软件实现具有重要意义。 不同的结构也会在设计和实现一个系不同的结构也会在设计和实现一个系统时带来不同的影响：如系统的成本、统时带来不同的影响：如系统的成本、灵敏度、误差及调试难度等方面都会有差异。灵敏度、误差及调试难度等方面都会有差异。 由由 可看出：方程中包括三种基本运可看出：方程中包括三种基本运算：乘系数、相加、移位（延迟）。这些运算可用以下符号表示：算：乘系数、相加、移位（延迟）。这些运算可用以下符号表示：0101 MNkkkky nb x nka y nkaaababD x n1x n XIAN JIAOTONG UNI

52、VERSITY由差分方程描述的由差分方程描述的LTILTI系统的框图结构表示系统的框图结构表示LTILTI系统的框图结构表示系统的框图结构表示若令若令 , ,则则0 Mkkw nb x nk101 Nkky nw na y nka据此可得方框图：据此可得方框图：DDD x n w n0b1b2b1MbMbDDD w n y n01/ a1a2a1NaNa直接直接型型XIAN JIAOTONG UNIVERSITY由差分方程描述的由差分方程描述的LTILTI系统的框图结构表示系统的框图结构表示LTILTI系统的框图结构表示系统的框图结构表示 将其级联起来将其级联起来, ,就成为就成为LCCDE描

53、述的系统，它具有与差分方程完全相同的描述的系统，它具有与差分方程完全相同的运算功能。显然运算功能。显然, , 它可以看成是两个级联的系统，可以调换其级联的次序它可以看成是两个级联的系统，可以调换其级联的次序, , 并将移位单元合并，于是得到：并将移位单元合并，于是得到：直接直接型型DDD x n y n0b1b2b1NbNb01/ a1a2a1NaNaXIAN JIAOTONG UNIVERSITY由微分方程描述的由微分方程描述的LTILTI系统的框图结构表示系统的框图结构表示LTILTI系统的框图结构表示系统的框图结构表示由由 看出它也包括三种基本运算：微分、相加、看出它也包括三种基本运算：微分、相加、乘系数。乘系数。 但由于微分器不仅在工程实现上有困难，而且对误差及噪声极为灵敏，因此，但由于微分器不仅在工程实现上有困难，而且对误差及噪声极为