线性代数：2-1矩阵

1、第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算1 矩阵矩阵一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义二、矩阵的定义三、特殊的矩阵三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换四、矩阵与线性变换其中其中 表示有表示有航班航班始发地始发地ABCD目的地目的地 A B C D例例 某航空公司在某航空公司在 A、B、C、D 四座四座城市之间开辟了若干航线，四座城市城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示城市间的航班图情况常用表格来表示:一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入为了便于计算，把表中的为

2、了便于计算，把表中的改成改成1，空白地方填上，空白地方填上0，就得到一个数表：就得到一个数表：ABCD A B C D这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况. .1111111000000000其中其中aij 表示工厂向第表示工厂向第 i 家商店家商店发送第发送第 j 种货物的数量种货物的数量 例例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 111213142122232431323334a

3、aaaaaaaaaaa其中其中bi 1 表示第表示第 i 种货物的单价，种货物的单价，bi 2 表示第表示第 i 种货物的单件重量种货物的单件重量 1112212231324142bbbbbbbb 由由 mn 个数个数 排成的排成的 m 行行 n 列的数表列的数表(1,2,;1,2, )ijaim jn 111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为称为 m 行行 n 列矩阵列矩阵，简称，简称 mn 矩阵矩阵 记作记作 二、矩阵的定义二、矩阵的定义111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 简记为简记为()()

4、m nijm nijAAaa元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵，元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵. .这这 mn 个数称为矩阵个数称为矩阵A的的元素元素，简称为元，简称为元. .n行数不等于列数行数不等于列数n共有共有mn个元素个元素n本质上就是一个数表本质上就是一个数表n行数等于列数行数等于列数n共有共有n2个元素个元素矩阵矩阵行列式行列式111212122211nnmmmnaaaaaaaaa121212111212122212()12( 1)nnnnnnnnnt p ppppnpp ppaaaaaaaaaaaa det()ija()ijm na 1.

5、行数与列数都等于行数与列数都等于 n 的矩阵，称为的矩阵，称为 n 阶方阵阶方阵可记作可记作 . .2. 只有一行的矩阵只有一行的矩阵 称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量) . .只有一列的矩阵只有一列的矩阵 称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量) . .3. 元素全是零的矩阵称为元素全是零的矩阵称为零距阵零距阵可记作可记作 O . .12(,)nAa aa nA12naaBa 例如：例如： 2 20000O 1 40000O 三、特殊的矩阵三、特殊的矩阵4. 形如形如 的方阵称为的方阵称为对角阵对角阵特别的，方阵特别的，方阵 称为称为单位阵单位阵12000000n 12(,)nAdia

6、g 记作记作100010001 记作记作 nE同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念1. 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵同型矩阵. .例如例如1214356843739与与为同型矩阵为同型矩阵. .2. 两个矩阵两个矩阵 与与 为同型矩阵，并且对应元为同型矩阵，并且对应元素相等，即素相等，即则称则称矩阵矩阵 A 与与 B 相等相等，记作，记作 A = B . .()ijAa (1,2,;1,2, )ijijabim jn()ijBb 注意：注意：不同型的零矩阵是不相等的不同型的零矩阵是不相等的. . 00000000 0000 .00

7、000000例如例如 表示一个从变量表示一个从变量 到变量到变量 线性变换，线性变换，其中其中 为常数为常数. .四、矩阵与线性变换四、矩阵与线性变换 n 个变量个变量 与与 m 个变量个变量 之间的之间的关系式关系式12,myyy11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax ija12,nxxx12,myyy12,nxxx11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 系数矩阵系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. .1122121200,0110001,nnnnyxxxyxxxyxxx 例例 线性变换线性变换 1122,nnyxyxyx 称为称为恒等变换恒等变换. .1122,nnyxyxyx 对应对应 100010001 单位阵单位阵 En1000对应对应 11,0.xxy yx0( , )P x y111(,)P xy投影变换投影变换 例例