第27课几何作图

1、1(2013湖北咸宁)如图 271，在平面直角坐标系中，以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 x 轴于点 M， 交 y 轴于点 N， 再分别以点 M， N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点 P.若点 P 的坐标为(2a，b1)，则 a 与 b 的数量关系为()AabB2ab1C2ab1D2ab1【解析】根据作图方法可得点 P 在第二象限角平分线上，则点 P的横纵坐标的和为 0，故 2ab10，整理，得 2ab1，故选 B.【答案】B2 (2012陕西)如图 272， 点 C在AOB的边 OB 上， 用尺规作出了CNOA，作图痕迹中，FG是()A以点 C 为圆心，OD

2、为半径的弧B以点 C 为圆心，DM 为半径的弧C以点 E 为圆心，OD 为半径的弧D以点 E 为圆心，DM 为半径的弧【解析】由作图可知FG是以点 E 为圆心，DM 为半径的弧【答案】D3(2011台湾)如图 273，锐角三角形 ABC 中，BCABAC，小靖依下列方法作图：(1)作A 的平分线交 BC 于点 D；(2)作 AD 的中垂线交 AC 于点 E；(3)连结 DE.根据他画的图形，可知下列关系正确的是()ADEACBDEABCCDDEDCDBD【解析】根据题意画出解图 1.可得知12，AEDE，23，13，DEAB.故选 B.【答案】B4(2013河北)已知：线段 AB，BC，ABC

3、90.求作：矩形 ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：甲：(1)以点 C 为圆心，AB 长为半径画弧；(2)以点 A 为圆心，BC 长为半径画弧；(3)两弧在 BC 上方交于点 D，连结 AD，CD，四边形 ABCD 即为所求(如图 274)乙：(1)连结 AC，作线段 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 M；(2)连结 BM 并延长， 在延长线上取一点 D， 使 MDMB， 连结 AD，CD，四边形 ABCD 即为所求(如图 274)对于两人的作业，下列说法正确的是()A两人都对B两人都不对C甲对，乙不对D甲不对，乙对【解析】由甲同学的作业可知，CDAB，ADBC，四边形 ABCD 是平行四

4、边形又ABC90，ABCD 是矩形甲的作业正确由乙同学的作业可知，CMAM，MDMB，四边形 ABCD 是平行四边形又ABC90，ABCD 是矩形乙的作业正确故选 A.【答案】A5(2013福建三明)如图 275，在ABC 中，C90，CAB60，按以下步骤作图：(1)分别以 A，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径做弧，两弧交于点 P 和 Q；(2)作直线 PQ 交 AB 于点 D， 交 BC 于点 E，连结 AE.若 CE4，则 AE【解析】 由题意可得出 PQ 是 AB 的垂直平分线， AEBE.在ABC 中，C90，CAB60，CBA30，EABCAE30，CE12AE4，AE8.【

5、答案】8考点一尺规作图考点一尺规作图1尺规作图定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图2五种基本作图(1)作一条线段等于已知线段作法：作射线 AB；在射线 AB 上截取 ACa， 则线段 AC 就是所求作的线段， 如图 276 所示作一条线段等于已知线段是作有关线段的基础，利用它可以作出已知线段的和、差、倍等线段图 276(2)作一个角等于已知角作法：作射线 OA；以点 O 为圆心，以任意长为半径画弧，交 OA 于点 C，交 OB于点 D；以 O为圆心，以 OC 的长为半径画弧，交 OA于点 C；以 C为圆心，以 CD 的长为半径画弧，交前弧于点 D；过点 D作射线 OB

6、，则AOB就是所求作的角，如图 277 所示图 277(3)作一个角的平分线作法：以点 O 为圆心，一定长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 D，E；分别以 D，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在AOB 内交于点 C；作射线 OC，则 OC 就是AOB 的平分线，如图 278 所示图 278(4)作线段的垂直平分线作法：分别以点 A 和 B 为圆心， 大于12AB 的长为半径作弧， 两弧交于点 C 和点 D；作直线 CD，则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线，如图 279 所示图 279(5)过定点作已知直线的垂线过定点作已知直线的垂线，不论点在已知直线上，还是在已知直

7、线外，都可以利用线段垂直平分线的作法作出考点点拨尺规作图的关键：(1)先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；(2)读清题意后，再运用几种基本作图方法解决问题解析：如解图 2 所示；发现：DQAQ 或者QADQDA 等点评：(1)本题主要考查基本尺规作图，难度较小(2)掌握角平分线和垂直平分线的作图方法， 熟练应用其性质得出等量关系是解决本题的关键【精选考题 1】 (2013浙江杭州)如图 2710，四边形 ABCD 是矩形，用直尺和圆规作出A 的平分线与 BC 边的垂直平分线的交点 Q(不写作法， 保留作图痕迹)连结 QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条【预测演练 1】如图 2711

8、，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，8)和点 B(6，8)(1)只用直尺(没有刻度)和圆规，求作一个点 P，使点 P 同时满足下列两个条件(要求保留作图痕迹，不必写出作法)：点 P 到 A，B 两点的距离相等；点 P 到xOy 的两边的距离相等；(2)根据(1)的要求作出点 P 后，写出点 P 的坐标解析： (1)到 A， B 两点距离相等的点在线段 AB 的垂直平分线上， 到xOy 的两边距离相等的点在xOy 的平分线上，因此点 P 是该垂直平分线与角平分线的交点（如解图 3）(2)由于 ABx 轴，因此 xP0623.由POx45， 可得 yPxP3，P(3，3)考点二作三角形

9、考点二作三角形考点点拨作三角形包括：(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)根据已知条件作等腰三角形或直角三角形求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角【精选考题 2】(2013辽宁鞍山)如图2712，已知线段 a 及O，只用直尺和圆规，求作ABC，使 BCa，BO，C2B(保留作图痕迹，不写作法)点评：(1)本题主要考查作三角形，难度中等(2)解题的关键是掌握作一个角等于已知角的基本作图方法解析：如解图 4 所示(解图 4)【预测演练 2】已知：，线段 a，如图 27

10、13.求作：ABC，使 ABAC，BCA，ADBC 于点 D，且 ADa.图 2713解析：如解图 5.(1)作EAF；(2)作 AG 平分EAF，并在 AG 上截取 ADa；(3)过点 D 作 MNAG，MN 与 AE，AF 分别交于 B， C两点则ABC 即为所求作的等腰三角形考点三过点作圆考点三过点作圆考点点拨1过一个点可以作无数个圆；经过两点可以作无数个圆，这些圆的圆心在连结这两点的垂直平分线上2过不在同一直线上的三个点可以作一个圆【精选考题 3】(2012广西贵港)如图 2714，已知ABC，且ACB90.(1)请用直尺和圆规按要求作图(保留作图痕迹， 不写作法和证明)：以点 A 为

11、圆心，BC 边的长为半径作A；以点 B 为顶点，在 AB 边的下方作ABDBAC；(2)请判断直线 BD 与A 的位置关系，并证明点评：(1)本题主要考查作圆及直线与圆的位置关系的判断，难度中等(2)熟练应用基本作图是解决本题的关键解析：(1)如解图 6 所示(2)直线 BD 与A 相切ABDBAC，ACBD.ACB90，A 的半径等于 BC，点 A 到直线 BD 的距离等于 BC，直线 BD 与A 相切【预测演练 3】某公园有一个边长为 4 m 的正三角形花坛，三角形的顶点 A，B，C 上各有一棵古树现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上

12、或平行四边形的顶点上以下设计过程中要求用直尺和圆规画图，不要求写出画法(1)按圆形设计，利用图 2715画出你所设计的圆形花坛示意图；图 2715(2)按平行四边形设计， 利用图 2715画出你所设计的平行四边形花坛示意图；(3)若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由解析：(1)作图工具不限，只要点 A，B，C 在同一圆上即可，如解图 7.(解图 7)(解图 8)(2)作图工具不限，只要点 A，B，C 在同一平行四边形顶点上即可，如解图 8(不唯一)(3)rOBBDcos 30433，SOr216316.75(m2)S2SABC21242sin 608313.86(m2)，

13、SOS，选择建圆形花坛面积较大1尺规作图的基本步骤包括：(1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明；(6)讨论步骤不作要求，但作图时一定要保留作图痕迹，作图后不要忘记写结论2尺规作图的工具是没有刻度的直尺和圆规，注意要求是没有刻度，不能用刻度尺去作线段或量角器去作角1 (2013江西南昌)如图 2716，AB 是半圆的直径，在图中，点 C 在半圆外；在图中，点 C 在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图(1)在图中，画出ABC 的三条高的交点；(2)在图中，画出ABC 中 AB 边上的高点评：(1)本题主要考查复杂作图(非常规的基本作图)，难度中等(2)解决本题的关键是掌握三角

14、形的三条高交于一点，利用直径所对的圆周角是 90作高解析：(1)如解图 9所示，点 P 就是三条高的交点(2)如解图 9所示，CT 就是 AB 边上的高2(2013浙江嘉兴)小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图 2717，直线 a，b 所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图 2717，画 PCa，量出直线 b 与 PC 的夹角度数，即直线 a，b 所成角的度数(1)请写出这种做法的理由；(2)小明在此基础上又进行了如下操作和探究(如图 2717)：以 P 为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线 b，PC 于点 A，D；连结 AD 并延长交直

15、线 a 于点 B.请写出图 2717中所有与PAB 相等的角，并说明理由；(3)请在图 2717画板内作出“直线 a，b 所成的跑到画板外面去的角”的平分线(画板内的部分)， 只要求作出图形， 并保留作图痕迹图 2717点评：(1)本题主要考查基本作图、平行线、等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，难度中等(2)解决本题的关键是仔细阅读，理解题意解析：(1)PCa(两直线平行，同位角相等)(2)如解图 10，PABPDABDC1.PAPD，PABPDA.PCa，PDA1.BDCPDA，PABPDABDC1.(解图 10)(3)如解图 10，作线段 AB 的垂直平分线 EF，则 EF 就是所求作的

16、图形3(2012广东汕头)如图 2718，在ABC 中，ABAC，ABC72.(1)用直尺和圆规作ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D(保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)中作出ABC 的平分线 BD 后，求BDC 的度数点评：(1)本题考查基本作图及等腰三角形的性质，难度中等(2)求解本题的关键在于熟知角平分线的作法解析：(1)以点 B 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交 AB，BC 于点E，F；分别以点 E，F 为圆心，以大于12EF 为半径画圆，两圆相交于点 G，连结 BG 交 AC 于点 D 即可，见解图 11.(2)在ABC 中，ABAC，ABC72，A1802ABC1

17、8014436.AD是ABC的平分线， ABD12ABC127236.BDC 是ABD 的外角，BDCAABD363672.4(2012天津)“三等分任意角”是数学史上的一个著名问题已知一个角MAN，设13MAN.(1)当MAN69时，的大小为；(2)如图 2719，将MAN 放置在每个小正方形的边长均为 1 cm的网格中， 角的一边 AM 与水平方向的网格线平行，另一边 AN经过格点 B，且 AB2.5 cm.现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出，并简要说明作法(不要求证明)点评：(1)本题考查三等分角的作图问题，考查了直角三角形斜边中线的性质、三角形的外角性质及平行线的性质，难度较大(2)尺规作图无法将一个角三等分，但通过网格可以实现，这体现了解决数学问题的途径是多样的解析：(1)23(2)让直尺有刻度的边过点 A， 设该边与过点 B 的竖直方向的