2011年GCT数学真题及经典解析

1、2011年GCT入学资格考试数学基础能力测试试题 （25题，每题4分，共100分） 难度增加：初等数学的几何与微积分线性代数与09年考试持平，主要考察计算1. 若则的值为（ ）1、 B. C. D.A、 设，则被4除的余数是（ ） A. B. C. D.B、 如图所示，是的内切圆中的一个内接正三角形，已知阴影部分的面积为1500平方厘米，则正三角形的面积等于（ ）平方厘米.A.1900 B.2000 C.2100 D.2200C、 已知数列的通项是，则该数列前101项的和等于（ ）A.2501 B.2551 C.2601 D.2651D、 三个边长为1的正方形拼成如图所示的图形，图中有两条线段

2、相交的锐角为，（ ） A. B. C. D.E、 若则代数式的值为（ ） A. B. C. D.F、 设A，B两车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向匀速行驶.两车第一次相遇于距甲地20公里处仍继续前行，当分别到达乙、甲两地后立即按原速原路返回，途中第二次相遇于距乙地10公里处，则甲、乙两地相距（ ）公里。 A. B. C. D.8. 设O为坐标原点，的大小关系如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D.A、 若函数是周期为6的奇函数，则的值等于（ ） A. B. C. D.B、 若复数，则（ ） A. B. C. D.11.如图，面积为9平方厘米的正方形在面积为25平方厘米的正方形所

3、在平面上移动，始终保持.记线段的中点为，的中点为，则线段的长度是（ ）厘米. A. B. C. D.12.有长为的六根细木条，任取其中3根为边能够成一个三角形的概率为（ ） A. B. C. D.13.某股民用30000元买进甲乙两种股票，在甲股票跌下10%，乙股票升值8%时全部卖出，赚得1500元，则该股民原来购买的甲乙两种股票所用钱数的比例为（ ）A2:3 B3:2C1:5 D5:114. 参数方程 x=sin t +cos (t)+2 在xOy平面上表示 y=cos t + sin(t)3的曲线是（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 15.一个盛满水的圆柱形容器，其底面半径为1，母线

4、长3.将该容器在水平的桌面上平稳地倾斜使水缓缓流出。当容器中剩下的水为原来的 时，圆柱的母线与水平面所成的角等于（ ）A30。 B45。 C60。 D75。 16.当x 3时，下列选项中为无穷小量的是（ ）A Bln(3-x)Csin D17.若f(x)在x0处可导，且f(x0)=a, f(x0)=b,而|f(x)|在x0处不可导，则（ ）Aa=0, b=0 Ba=0, b0 Ca0, b=0 Da0, b0 18.若方程xelnxk=0在（0,1上有解，则k的最小取值为（ ）A-1 B C1 De 19.若函数y（x）=，,则 =A0 B1 C D4e A、 若是xf(x)的一个原函数，则=

5、（ ）A-1 B C D1 B、 设f(x)在0,2上单调连续，f(0)=1,f(2)=2,且对任意x1,x20,2,总有f()>,g(x)s是f(x)的反函数，P=，则（ ） A0 < P < 1 B1 < P < 2 C2 < P < 3 D3 < P < 4C、 在（x1,x2,x3）的展开式中，x2x3 项的系数是（ ）A4 B2 C2 D13 D、 对任意的n阶矩阵A，B，C，若ABC=E（E是单位矩阵），则下列5式中：（）ACB=E (ii)BCA=E (iii)BAC=E (iv)CBA=E (v)CAB=E恒成立的有（ ）个

6、。A1 B2 C3 D4 24.若方程组 有解，则其中a=（ ）A-2 B-1 C1 D2 25.若A=与B=相似，则a=( )A2 B.1 C1 D2 2011年GCT数学真题参考答案1.解析：解法一：（替换法）由，可知；由，可知； 综上，可知，代入，可得，选择D选项。解法二：（特殊值法）令，由，得到；由，得到，于是，选择D选项。解法三：（比例法）在的上下同时除以，得到，选择D选项。解法四：（估计法）由，可知是的20倍，而是的10倍；所以的分子是分母的10倍以上，而选项中只有D在10倍以上，因此选择D选项。2.解析：解法一：（等比数列法）实际上是一个首项为公比为的等比数列的前7项和，所以，而

7、，因此余数是1，选择B选项。解法二：（同余法），因此，因此可以得到因此余数是1，选择B选项。3.解析：解法一：根据正三角形的性质，设的边长为，则其内切圆的半径为；设的边长为，则其外接圆的半径为，因此，得到。所以的面积是面积的4倍，因此阴影部分是面积的3倍，因此的面积是2000平方厘米。解法二：根据对称性，内切圆与的三条边切于三条边的中点，将旋转一下，其三个顶点正好是这三个切点。根据三角形中位线的原理，的边长是的一半，因此面积是的四分之一。4.解析：解：因此选择C选项。5.解析：解：显然，因此因此，选择D选项。6、解析： 解：由，得到 选择A选项。7、解析： 解：根据题意，画图如下。由于在同一段

8、时间内，行进的路程之比等于速度之比，因此可设全路程为公里。则从开始到二人在C地相遇时，A走过了20公里，而B走过了公里，因此B和A的速度之比就是；同理，当他们第二次相遇时，A走过了公里，而B走过了公里，因此B和A的速度之比就是。由于二人在行进过程中的速度是不变的，因此有，解此方程的过程如下：选择D选项。【解析二】设甲、乙两地相距S公里，A从甲到乙，B从乙到甲， 第一次相遇时A行走的路程为20公里，B行走的路程为(S-20)公里， 第二次相遇时A行走的路程为(S+10)公里，乙行走的路程为(2S-10）公里， 他们两次相遇共走了3个全程，因为走3个全程的时间相同，故3个全程的距离差是1个全程距离

9、差的3倍，因此(2S-10)-(S+10)=3(S-20)-20，所以S=50公里。 8、解析： 解法一：（去绝对值法）根据题意，所以，因此，因此，选择D选项。 解法二：（特殊值法）令，得到只有D选项正确。9、解析： 解法一：（函数性质）根据题意，（奇函数在零点处如果有定义则函数值为零），因此因此选择A选项。解法二：（特殊函数法）令，既是奇函数又是偶函数，而且任意一个实数都是它的周期，因此符合题意。因此选择A选项。10、解析： 解：（直接计算法），因此，因此选择C选项。 11、解：（解析几何法）本题用平面几何的方法解比较困难，即使是使用特殊位置法计算也会比较麻烦，因此我们采用解析几何的方法来计

10、算。先建立一个平面直角坐标系，将A点设为坐标原点，AD边和AB边分别落在轴和轴上，要使，只需要EF边所在的直线垂直于轴即可，如下图所示：显然正方形ABCD的边长是5，而正方形EFGH的边长是3，于是可以把几个点的坐标标出来：设E点的坐标是，由于EF垂直于轴，则EH平行于轴，于是得到另外几点的坐标分别是：根据线段中点的坐标公式，可知M点和N点的坐标分别为：，根据平面内两点间距离公式，可以算得：。因此正确答案选择C选项。12、解析：（列举法）从6根细木条中任取3根的总数为，能组成三角形的情况是共7种情况，因此概率是，选择D选项。13.【答案】C 【解析】设该股民原来购买的甲乙两种股票所用钱数的比例

11、为， 所以有，解得 。 14.【答案】A 【解析】由已知， ， 故参数方程可化为，是一个以为圆心, 为半径的圆。 15.【答案】B 【解析】我们画出此容器的横截面图， 是一个长为3宽为2的长方形，因为 容器中剩下的水为原来的，连接AB， 则 AB以下部分水是总水量的， AB以上部分的水是总水量的， 我们将此问题转化为平面图像的面积， 由上面的分析，长方形容器的面积为6， 因此， 所以a=1，又AC平行于桌面，故因为a=1， 故ACE是等腰直角三角形，所以。 16.【答案】D 【解析】当x 3时， ，因此选D。 17.【答案】B 【解析】令，可排除A；令f()； 令，可排除D，故选B。 18.【答案】C 【解析】将原方程化为在(0,1上有解 ,令 ,则交点的横坐标即为的根， 因为 ，驻点，当 又在区间单调递减，在区间单调递增， 因此是 的最小值点，最小值为 ，所以在(0,1上， 因此在(0,1上与总有交点，因为在单调递减，因此k最小值为1。 19.【答案】D 【解析】因为 ，所以 ， 因此 ，选D 20.【答案】C 【解析】.因为，因此 ，所以 ， 21.【答案】A 【解析】由已知 是0,2上的凸函数， 与g(x)互为反函数，因此它们的图像关于y=x对称，g(x)过(1,0)、(2,2)，因此 为、x轴 及x=2所围成的图形的面积，由于此图像在BC所在 直线(y=2x