矩阵的特征值与特征向量专题讲解

1、矩阵的特征值与特征向量专题讲解一、内容提要一、矩阵的特征值和特征向量1、基本概念设为阶方阵，若存在数和为非零向量使，则称是的特征值，是属于的特征向量；矩阵称为的特征矩阵；是的次多项式，称为的特征多项式；=0称为的特征方程；2、特征值、特征向量的求法（1）计算的特征值，即解特征方程=0；（2）对每一个特征值，求出相应的齐次线性方程组一个基础解系则属于的全部特征向量为，其中为不全为零的任意常数；3、特征值、特征向量的性质（1）与的特征值相同（但特征向量一般不同）；（2）属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量；（3）属于不同特征值的特征向量线性无关；（4）设，则的特征值分别为，

2、其中为任一多项式，而仍为相应的特征向量；（5）若可逆，则是的特征值；是的特征值， 仍为相应的特征向量；（6）设是阶方阵的特征值，则有（迹）；;推论：可逆当且仅当的特征值全不为零；（7）若为实对称阵，则的所有特征值均为实数，且属于不同特征值的特征向量彼此正交。二、相似矩阵1、定义设为阶方阵，若存在阶可逆阵，使,称与相似，记为；、的性质其中为任一多项式；特征值相同，；若可逆，则也可逆，且。三、矩阵对角化的条件及方法、若矩阵与对角阵相似，则称可对角化，（）阶方阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量；（）若的特征值两两不同，则必可对角化。、实对称阵必可对角化，且存在正交阵，使实对称矩阵正交对

3、角化具体计算步骤如下：（） 求出实对称矩阵的全部特征值；（） 若特征值是单根，则求出一个线性无关的特征向量，并加以单位化；若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特征向量，然后用施密特正交化方法化为正交组，再单位化；（） 将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来，就得到了正交矩阵二、典型例题题型：求数字矩阵的特征值与特征向量例（，分）求矩阵的实特征值及对应的特征向量。解，所以实特征值为，基础解系，故属于特征值的所有特征向量为，为任意非零常数。例设向量都是非零向量，且满足条件，记矩阵，求：（）（）矩阵的特征值和特征向量。（，分）解（）因为所以（）设则，而，故而，故，解齐次线性方程组不妨设，可得基础解

4、系于是的属于特征值的全部特征向量为，其中是不全为零的任意常数。例（，）设若矩阵相似于，则解由题意，即。例设（）求的特征值；（）求的特征值。解，所以的特征值为，；由特征值性质可知，的特征值为，设则的特征值为，其中为任一多项式，而仍为相应的特征向量。于是的特征值为，。题型特征值、特征向量的逆问题例（，分，数一）已知是矩阵的一个特征向量，（） 试确定参数及特征向量所对应的特征值；（） 问能否相似于对角阵？说明理由。解（）（）是三重特征根，秩为，所以只有一个线性无关的特征向量，故不可对角化。例设矩阵，其行列式，又的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为求和的值。解由题设，即有（） （）得，代入（）

5、得，代入（）得，再代入，所以。类题（，分）设矩阵，其行列式，又的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为，求和的值。答案.题型：相似矩阵的判定及其逆问题例（，分）设矩阵，其中（） 求与的值；（）求可逆矩阵，使得。解因为，所以，即令=0，得，令=1，得所以。（2），对应于和的共同特征值-1，2，-2的特征向量分别为，得可逆矩阵，满足。例2 （+05，7分）已知矩阵相似于对角阵，试求常数，并求可逆阵,使。解 得得特征值因为相似于对角阵，所以，即=0，基础解系基础解系，取，使。题型4：可对角化的判定及其逆问题例1（94，8分）设有三个线性无关的特征向量，求和应满足的条件。解 ，得的特征值为，只要对

6、应有两个线性无关的特征向量即可，即矩阵的秩等于1，只要满足即可。5、正定二次型与正定矩阵若对,有，称为正定二次型，正定的充分必要条件；（1）的正惯性指数等于；（2）与合同，即存在可逆阵，使；（3）的特征值全正；（4）的顺序主子式全正；正定的必要条件：；若是正定矩阵，则均为正定阵，其中为系数全正的多项式；若均为正定阵，则也是正定阵；但正定；其他类似还有负定、半正定、半负定等。典型例题题型1：二次型的矩阵、秩和正负惯性指数例1（04，4分）二次型的秩为解 ，于是二次型的矩阵为 ，即原二次型的秩为2.题型2：化二次型为标准型例1 求一正交变换化二次型为标准形。解 二次型的矩阵为，对，求得线性无关的特

7、征向量再正交化得，对，求得线性无关的特征向量再单位化得作正交变换 标准形类题（95，10分）已知二次型（） 写出二次型的矩阵表达式（） 用正交变换把二次型化为标准形，并写出相应的正交矩阵。答案题型3：化二次型为标准形的逆问题例1（93，9分）设二次型经正交变换化成，试求常数。【分析】经正交变换（注意不是非退化线性变换）化二次型为标准形，前后二次型所对应的矩阵必相似，从而有相同的特征多项式，由此可确定参数。解 变换前后二次型的矩阵分别为,因为为正交矩阵，故有，因此，即解法一：比较系数得解法二：令，得；令，得，解的例2（09，11分）设二次型（） 求二次型的矩阵的所有特征值；（） 若二次型的规范形

8、为，求的值。解 二次型的矩阵得得特征值（） 由得规范形为，知友2个特征值为正，1个为零，所以即。题型4：合同变换与合同矩阵例1（07，4分）设矩阵则与（A）合同，且相似 （B）合同，但不相似（C）不合同，但相似 （D）既不合同，又不相似解 由得得特征值为0，3，3，而得特征值为0，1，1，从而与不相似；又，且有相同的正惯性指数，因此与合同。 【答案】应选（B）注：（1）若与相似，则与有相同的特征值；（） 若、为实对称矩阵，则与合同的充分必要条件是，且、有相同的正惯性指数。例2 设，是同阶实对称阵，已知AB,证明与合同。举例说明反之不成立。证 因为，均为实对称阵，故均可对角化，且存在正交阵P,Q

9、，使,因为AB，所以，得特征值相同，适当排列P的列，可使，于是，其中，因为P,Q均为正交阵，故W也有正交阵，所以,即与合同，反之，与合同，不能推出AB。例如：，存在可逆阵,使得故与合同，但与不相似，因为它们的特征值不同注：相似的实对称阵必合同，注意条件实对称阵是重要的，对一般矩阵并不成立。例3（08，4分）设则在实数域上与A合同的矩阵为（A） （B） （C） （D）解 ，得矩阵A的特征值为，同理计算四个选项的特征值，发现选项（D）的特征值与A一致，即它们有相同的秩和正惯性指数，且它们都是对称矩阵，所以他们合同，【答案】应选（D）。注：（1）若A、B为实对称矩阵，则A与B相似A与B有相同的特征值；（） 若A、B为实对称矩阵，则A与B相似A与B合同，但反之不一定成立。题型5：正定二次型与正交矩阵例1（99，7分）设A为实矩阵，已知,求证：当时，矩阵B为正定矩阵（+08，7分）证 用定义证 故B为实对称阵；对任意实向量，有当时，因此，当时，对任意实向量，有，即矩阵B为正定矩阵。例2（91，6分）考虑二次型，问取何值时，为正定二次型？解 用顺序主子式讨论。 解不等式组例3 设矩阵,求对角阵，使与相似，并求为何值时，为正定矩阵。解 先求的特征值，于是的特征值为，即，显然为对称阵，当且时，的特征值全为正，此时正定。例4 设是阶正定阵，是阶单位阵，证明：的