高等数学：第十章级数(2)

1、第三节第三节 幂级数幂级数 一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念1.1.定义定义: :设设),(,),(),(21xuxuxun是是定定义义在在RI 上上的的函函数数, ,则则 )()()()(211xuxuxuxunnn称称为为定定义义在在区区间间I上上的的( (函函数数项项) )无无穷穷级级数数. .,120 xxxnn例如级数例如级数2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域: :如果如果Ix 0, ,数项级数数项级数 10)(nnxu收敛收敛, ,则则称称0 x为为级级数数)(1xunn 的的收收敛敛点点, ,否否则则称称为为发发散散点点. .所有发散点的全体称为所有发散点的全体

2、称为发散域发散域. .函函数数项项级级数数)(1xunn 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域, ,)()(limxsxsnn 函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项)()()(xsxsxrnn (x在收敛域上在收敛域上)0)(lim xrnn注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数: : )()()()(21xuxuxuxsn在在收收敛敛域域上上, ,函函数数项项级级数数的的和和是是x的的函函数数)(xs, ,称称)(xs为为函函数数项项级级数数的的和和函函数数. .)

3、,(xsn例例 1 1 求求级级数数nnnxn)11()1(1 的的收收敛敛域域.解解)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111)1( x当当,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛., 11 x, 111)2( x当当, 11 x,02时时即即 x原级数发散原级数发散.,0时时当当 x 1)1(nnn级数级数收敛收敛;,2时时当当 x 11nn级数级数发散发散;)., 0)2,( 故级数的收敛域为故级数的收敛域为, 1|1|)3( x当当, 20 xx或或二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义: :形形如如nnnxxa)(00 的的级级数数称

4、称为为幂幂级级数数. .,000nnnxax 时时当当其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.2.2.收敛性收敛性: :,120 xxxnn例如级数例如级数;,1收收敛敛时时当当 x;,1发发散散时时当当 x);1 ,1( 收收敛敛域域);, 11,( 发发散散域域如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: :当当Rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当Rx 时时,幂级数发散幂级数发散;当当RxRx

5、与与时时, ,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散. .推论推论定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间., 0 R),RR ,(RR .,RR 规定规定, R收敛区间收敛区间0 x;收收敛敛区区间间),( .问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?),(RR (1) 幂幂级级数数只只在在0 x处处收收敛敛,( (2 2) ) 幂幂级级数数对对一一切切x都都收收敛敛, ,定定理理 2 2 如如果果幂幂级级数数 0nnnxa的的所所有有系系数数0 na,(1) 则则当当0 时

6、时, 1R;(3) 当当 时时,0 R.(2) 当当0 时时, R;证明证明nnnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x 1(1)lim(0),nnnaa 如如果果存存在在由比值审敛法由比值审敛法,1|时时当当 x,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa,1|时时当当 x,|0发发散散级级数数 nnnxa开始开始并且从某个并且从某个 n|,|11nnnnxaxa 0|nnxa.0 nnnxa发发散散从从而而级级数数1;R 收收敛敛半半径径此此时时(2)0, 如如果果, 0 x),(011 nxaxannnn有有,|0收收敛敛级级数数 nnn

7、xa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa;R 收收敛敛半半径径(3), 如如果果, 0 x.0 nnnxa必必发发散散级级数数)|01(0收收敛敛使使知知将将有有点点否否则则由由定定理理 nnnxax0.R 收收敛敛半半径径定理证毕定理证毕.例例2 2 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间:解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1时时当当 x,1时时当当 x,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散;)1()1(1nxnnn 1(2);!nnxn 121(3)( 1)() .2nnnnxn 故收敛区间是

8、故收敛区间是1 , 1( ., Rnnnaa1lim 11lim nn, 0 收收敛敛区区间间),( .1(2);!nnxn nnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收敛收敛即即 x,)1 , 0(收敛收敛 x121(3)( 1)() .2nnnnxn ,0时时当当 x,11 nn级数为级数为,1时时当当 x,)1(1 nnn级数为级数为发散发散收敛收敛故收敛区间为故收敛区间为(0,1.例例 3 3 求求幂幂级级数数 1122nnnx的的收收敛敛区区间间.解解 3523222xxx级数为级数为)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x

9、级数收敛级数收敛, 1212 x当当,2时时即即 x, 1212 x当当,2时时即即 x级数发散级数发散,2时时当当 x,211 n级数为级数为,2时时当当 x,211 n级数为级数为级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛区间为原级数的收敛区间为).2, 2( 三、幂级数的运算三、幂级数的运算1.1.代数运算性质代数运算性质: :(1) 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnn

10、xc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba乘乘积积321xxx2.2.幂级数的分析运算性质（证明略）幂级数的分析运算性质（证明略）( (重要重要)!)! 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)注意注意! 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？么它的收敛域是否也不变？思考题解答思考题解答不一定不一定.例例,)(12 nnnxxf,)(11 nn

11、nxxf,)1()(22 nnnxnxf它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)解解,)1(1nnxnn 考虑级数考虑级数收敛区间收敛区间(-1,1), 1)1()(nnxnnxs则则)(11 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx 12)1(nnnn故故)21( s . 8 解解,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s显显然然两边积分得两边积分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxx

12、s,11x )11( x,1时时又又 x.1)1(11收敛收敛 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即常用的幂级数;11)1(0 xxnn ;11)1()2(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;!)4(0 xnnenx );1ln(1)1()6(01xnxnnn ;sin)!12()1()5(1121xnxnnn 第四节第四节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数 一、泰勒级数一、泰勒级数上节例题上节例题)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在幂级数在其收敛存在幂级数在其收

13、敛域内以域内以f(x)为和函数为和函数问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?证明略证明略定理定理 1 1 如果函数如果函数)(xf在在)(0 xU 内具有任意阶导内具有任意阶导数数, , 且在且在)(0 xU 内内能能展开成展开成)(0 xx 的幂级数的幂级数, ,即即 nnnxxaxf)()(00 则其系数则其系数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展开式是唯一的且展开式是唯一的. . 如果如果)(xf在点在点0 x处任意阶可导处任意阶可导, ,则幂级数

14、则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)( 称为称为)(xf在点在点0 x的的泰勒级数泰勒级数. .nnnxnf 0)(!)0(称称为为)(xf在在点点00 x的的麦麦克克劳劳林林级级数数. .定义定义二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或讨论讨论).(xf敛于敛于则级数在收敛区间内收则级数在收敛区间内收例例1解解.)(展展开开成成幂幂级级数数将将xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1

15、! 2112, 0 M上上在在,MM xnexf )()(Me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于M的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx例例2.sin)(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x2.2.间接法间接法利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变

16、量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒恒等变形等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方法等方法,求展开式求展开式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn20tarctan1txdx 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x例例4处展开成泰勒级数处展开成泰勒级数在在将将141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并求并求的幂级数的幂级数展开成展开成 )1(314

17、1 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 xxxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n 练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1、)(!)(ln0 xxnannn； 2 2、)11()1()1(111 xxnnxnnn； 3 3、)11()2()12() !()!2(21122 xxnnnxnn； 4 4、)1 , 1(112 nnxn. .二、二、 )1(231x 022)21(2)2)(1(3) !()!2()1(nnnnxnnnn)20(

18、 x. .三、三、)2, 6()4)(3121(011 nnnnx. .四、四、 02)1()!12(2)1(21sin2nnnnxn ),()1()!12(2)1(21cos012 nnnnxn. .第五节第五节 幂级数在幂级数在 近似计算中的应用近似计算中的应用 ,21 naaaA,21naaaA .21 nnnaar误差误差两类问题两类问题: :1.给定项数给定项数,求近似值并估计精度求近似值并估计精度;2.给出精度给出精度,确定项数确定项数.关健关健: :通过估计余项通过估计余项,确定精度或项数确定精度或项数.常用方法常用方法:1.若余项是交错级数若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决则可用余和的首项来解决;2.若不是交错级数若不是交错级数,则放大余和中的各项则放大余和中的各项,使之成使之成为等比级数或其它易求和的级数为等比级数或其它易求和的