大学数学：第6章 2克莱姆法则矩阵及其运算

1、学习要求学习要求理解理解Cramer法则，会用法则，会用Cramer法则解方程组；法则解方程组；理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵的定义及性质；对称矩阵的定义及性质； 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算率，掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算率，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。如果线性方程组如果线性方程组11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa x

2、b的的系数行列式系数行列式D不等于零不等于零， 则方程组有唯一解则方程组有唯一解 11,DxD22,DxDnnDxD,行列式的应用行列式的应用Crammer法则法则 （1）证明证明例例1 用用Cramer法则求解线性方程组法则求解线性方程组 01123253224254321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解解 系数行列式为系数行列式为 14211213513241211111D111121414235215121120D 252211111428421532110D 所以所以 1, 3, 2, 144332211DDxDDxDDxDDx3111124426235311

3、15220D 45211112114223131220D小结：小结：Crammer法则的使用有极大的局限性法则的使用有极大的局限性（1） Crammer法则只能用于求解法则只能用于求解方程个数与未知数方程个数与未知数 个数相等个数相等的线性方程组；的线性方程组；（2） Crammer法则只能求得法则只能求得系数行列式不为零系数行列式不为零时的时的 线性方程组的唯一解；线性方程组的唯一解； 即如果方程个数与未知数个数不相等，或系数即如果方程个数与未知数个数不相等，或系数 行列式等于零，则行列式等于零，则Crammer法则失效。法则失效。（3）计算量大计算量大，要计算，要计算 n+1 个个 n 阶

4、行列式的值。阶行列式的值。 如何解决这些问题呢？留待第七章解决。如何解决这些问题呢？留待第七章解决。齐次线性方程组齐次线性方程组 11112212112222112200.0nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x常数项全为零常数项全为零的线性方程组，称为的线性方程组，称为齐次线性方程组齐次线性方程组。 这样的方程组一定有解，这样的方程组一定有解，至少有零解至少有零解 120nxxx根据根据Crammer法则，当系数行列式法则，当系数行列式D0时，齐次线性时，齐次线性方程组只有方程组只有唯一的零解唯一的零解；否则，当系数行列式；否则，当系数行列式 D=0 时，时

5、，齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解（无穷多个）。（无穷多个）。例例2 当当k为何值时，下面的方程组为何值时，下面的方程组只有零解只有零解？ 1231231232020250 xkxkxkxxkxxxx解解 因为系数方程组的行列式为因为系数方程组的行列式为 2121265(5)(1)125kkDkkkkkk所以当所以当 k5且且 k1时，原方程组时，原方程组只有零解只有零解 （当（当 k5或或 k1时，原方程组时，原方程组有非零解）有非零解） 用加减消元法求解二元一次方程组用加减消元法求解二元一次方程组11 1122121 12222a x a xba x a xb（1）（2）221

6、2(1)(2)aa得得112212211122212()a aa axbab a112212212211121()a aa axb aba1121(2)(1)aa得得 矩阵的引入矩阵的引入 当当11 2212 210a aa a时时122212111221221bab axa aa a211121211221221b abaxa aa a 可见，在求解方程组的过程中，只有方程组可见，在求解方程组的过程中，只有方程组的的系数和常数项进行运算系数和常数项进行运算，未知量只是进行同类，未知量只是进行同类项的合并。项的合并。 在日常生活中，我们也经常关心一些在日常生活中，我们也经常关心一些数表数表：如

7、价格表、股票行情表、财务报表等等，这些重如价格表、股票行情表、财务报表等等，这些重要的要的“矩形数表矩形数表”，在数学学科中，则可用，在数学学科中，则可用矩阵矩阵来表示。来表示。111212122212.nnmmmnaaaaaaaaa的第一个下标的第一个下标 称为称为行标行标，第二个下标第二个下标 称为称为列标列标。ija其中：其中： 称作矩阵的称作矩阵的元素元素。ijaij矩阵的定义（见书矩阵的定义（见书P233定义定义1） 简称为简称为 m n 矩阵，简记作矩阵，简记作 ()ijm nAa矩阵的一般形式如下：矩阵的一般形式如下： 矩阵的概念矩阵的概念 11121121222212.nnmm

8、mnna aabaaabaaab称为方程组的称为方程组的增广矩阵增广矩阵111212122212.nnmmmna aaaaaaaa称为方程组的称为方程组的系数矩阵系数矩阵11 11221121 1222221 122.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb设有线性方程组设有线性方程组线性方程组与矩阵之间可建立一一对应的关系线性方程组与矩阵之间可建立一一对应的关系行矩阵（行向量）行矩阵（行向量）只有一行的矩阵。只有一行的矩阵。 1 21 2412.na aa等等 列矩阵（列向量）列矩阵（列向量）只有一列的矩阵。只有一列的矩阵。 209 1112maaa等等

9、几种特殊形式的矩阵几种特殊形式的矩阵 0 000 000 00 00.0000 等等零矩阵零矩阵 所有元素都为零的矩阵所有元素都为零的矩阵，简记作，简记作 。0m n 方阵方阵行数和列数相等的矩阵。如：行数和列数相等的矩阵。如：等等0 00 0二阶方阵二阶方阵111222000三阶方阵三阶方阵111212122212.nnnnnna aaaaaaaan阶方阵阶方阵如如等等0 00 22 0 00 0 00 0912000000naaa 对角形矩阵对角形矩阵主对角线上的元素不全为零，其它的主对角线上的元素不全为零，其它的 元素都为元素都为0的的方阵方阵，简记作，简记作 。 单位矩阵单位矩阵主主对

10、角线上的元素都是对角线上的元素都是1的对角形矩阵，的对角形矩阵， 简记作简记作 。如：。如：nE21001E1 0. 00 1.0.0 0.1nE3100010001E等等2 1 20 1 00 0 111121222000nnnnaaaaaa上三角形矩阵上三角形矩阵主对角线下方元素全为零、上方的主对角线下方元素全为零、上方的 元素不全为元素不全为0的的方阵方阵。如：。如：等等下三角形矩阵下三角形矩阵主对角线上方的元素全为零，下方主对角线上方的元素全为零，下方 的元素不全为的元素不全为0的的方阵方阵。2 0 04 1 05 3 711212212000nnnnaaaaaa同型矩阵：同型矩阵：有

11、相同的行数与相同的列数的有相同的行数与相同的列数的 两个矩阵，称为两个矩阵，称为同型矩阵同型矩阵。如：如：11010437A11110000B054123000C789123D只有矩阵只有矩阵 与矩阵与矩阵 同型同型AB注意：同型是相等的必要条件。注意：同型是相等的必要条件。相等矩阵：相等矩阵：若若 两矩阵两矩阵同型同型且对应位置上且对应位置上 的的元素相等元素相等，则称，则称 相等，记相等，记 作作 。AB、AB、AB2 0 02 00 2 00 20 0 2000000000000011 11 1001001001001如：如：且且，例题：例题：已知已知27015xyxzA31701xzz

12、Bxz 求求, ,x y z的值。的值。，AB，124xyz231151xxyxzxz关关系系式式 矩阵的基本运算及性质矩阵的基本运算及性质 （1）交换律）交换律 A+B = B+A （2）结合律）结合律 （A+B）+C = A+（B+C） 矩阵的加法（见矩阵的加法（见P234定义定义2） 矩阵加法的运算规律：矩阵加法的运算规律： ijijm nABab注意：只有同型矩阵才能相加。注意：只有同型矩阵才能相加。 120211331110213例例m nm nm nAOA显显然然成成立立矩阵的减法矩阵的减法 设设1111nmmnaaAaa，则称矩阵，则称矩阵 1111nmmnaaaaA为为A 的的

13、负矩阵负矩阵，记作，记作。若若A、B为为同型同型矩阵，则规定矩阵，则规定()ABAB 即即ijijm nABab，m nm nm nAAO数乘矩阵（见教材数乘矩阵（见教材P235定义定义3） 如：如：1236334912若若 ,ijmnAakR，则，则ijm nkAka注意：数乘矩阵时，注意：数乘矩阵时， 矩阵的每一元素都要乘以常数矩阵的每一元素都要乘以常数K。 等等32 0 020 2 00 0 2E0000000nkkkEk 数量矩数量矩阵阵数乘矩阵的运算规律：数乘矩阵的运算规律： 1AAA 2AAA 3ABAB102111211B 设设 ， ，求满足，求满足方程方程 的的 。310121

14、342A 32AXBX41.5112.513.55.52.5X 矩阵的乘法（见教材矩阵的乘法（见教材P235定义定义4）设设1111tmmttmaaAaa则则1111nttnntbbBbb1111nmmnm nccABCcc其中其中1 122.ijijijittjca ba ba b(1,2,. ;1,2,. )imjn行行i列列j 左矩阵左矩阵 右矩阵右矩阵A的列数的列数 B的行数的行数例如：例如：1011 2 32220 1 21106 7 54 4 21011 2 32220 1 2110无意义！无意义！ 左边矩阵左边矩阵 右边矩阵右边矩阵 的的 列列 数数 的的 行行 数数注意：注意：

15、AB存在，存在，BA无意义，无意义，ABBA (1 02 1 0 1)2 0 10 20 01 11 21 01 11 21 0例题：计算下列各题例题：计算下列各题01 2 011 （1）011 2 01 （2）ABBA000120120AB与与BA不同型不同型 同型同型但不相等。但不相等。12011210（3）01121012（4）11230102（5）23110201（6）特殊特殊AB=BA2121121225022502（1）一般地，一般地，ABBA，即乘法不满足交换律。，即乘法不满足交换律。（2）当）当AB=BA时，称时，称A、B为为可交换矩阵可交换矩阵，或，或称称A、B可交换。此时，

16、可交换。此时，A、B必为同阶方阵。必为同阶方阵。小小结结nA与与特别地，有：特别地，有：nnnnnAA EE A，即，即nE可交换。可交换。（8）10120010120111100000（7）1110001000000AB 00AB或或ABACBCBACABC矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算不满足消去律不满足消去律矩阵相乘的运算规律：矩阵相乘的运算规律：一般地：一般地： 1ABBA 20AB 3ABACBACA或或若若 A 是方阵，则乘积是方阵，则乘积 .AAA有意义，记作有意义，记作kA称为称为 A 的的 k 次幂。次幂。0A 或或0B BCA BCAB C（1）,AB CACBC,C ABCA

17、CB（2）k ABkA BA kB（3）mm nm nnm nE AAEA（4）00,00m kk nm kk nAA（5）klk lAAAlkk lAA性质性质线性方程组的矩阵表示法（线性方程组的矩阵表示法（2）11 11221121 1222221 122. .nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb（1）若记：若记：12mbbBb111212122212.nnmmmna aaaaaAaaa12nxxXx则方程组（则方程组（1）可记为：）可记为：AXB矩阵矩阵A的转置（见教材的转置（见教材P237定义定义5）,TtAA A或或如如12133121T0 3

18、2 42 0T1111mTnmnaaAaa1111nmmnaaAaa如果如果，则，则112323T 141455T0 223 40矩阵转置的运算规律：矩阵转置的运算规律： 1TTAA 2TTTABAB 3TTAA 4TTTABB A验证（验证（4）式：）式：201132A101123210B答案答案08()18210AB A为对称矩阵为对称矩阵ijjiaaA为反对称矩阵为反对称矩阵,0ijjiiiaaa 反对称矩阵反对称矩阵：如果：如果 ，则称矩阵，则称矩阵A为反对称矩阵。为反对称矩阵。 TAA 对称矩阵对称矩阵：如果：如果 ，则称矩阵，则称矩阵A为对称矩阵。为对称矩阵。 TAA方阵的行列式方阵的行列式1、方阵的行列式、方阵的行列式设设A为为n阶方阵，则保持阶方阵，则保持A的元素及排列方式不变而的元素及排列方式不变而得到的得到的n阶行列式，称为方阵阶行列式，称为方阵A的行列式，记作的行列式，记作detA或或A（determinant）如如4321A则则24321detA数表数表数值数值2、方阵的行列式的性质、方阵的行列式的性质(1) (2) (3)