311-312空间向量及线性运算

1、第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算 定义：既有大小又有方向的量叫向量 几何表示法： 用有向线段表示.字母表示法： 用字母a,b等或者用有向线段的起点与终点字母 表示ABAB相等的向量： 长度相等且方向相同的向量 ABCD引入 复习平面向量向量的加法：平行四边形法则三角形法则( (首尾相连) )平面向量的加减法运算baababba向量的减法三角形法则 减向量终点指向被减向量终点baab看下面建筑 这个建筑钢架中有很多向量，但它们有些并不在同一平面内这就是我们今天要学习的空间向量. 1. 空间向量 在空间，我们把具有大

2、小和方向的量叫做空间向量（space vector ）. 向量的大小叫做向量的长度或模(modulus).探究点1 概念2. 空间向量的表示AB 向量 的起点是A，终点是B，则向量 也可以记作AB，其模记为| |或|AB|aaaa (1)我们规定，长度为0的向量叫做零向量（zero vector），记为 .当有向线段的起点A与终点B重合时，AB = . (2)模为1的向量称为单位向量（unitvector）. (3)两个向量不能比较大小，因为决定向量的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大小.总结归纳00 3. 3. 相反向量 与向量 长度相等而方向相反的向量,称为 的相反向量，记为 . 4

3、. 4. 相等向量（equal vectorequal vector） 方向相同且模相等的向量称为相等向量.aaa （1）空间的一个平移就是一个向量. （2）向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 . （3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示. 总结归纳 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示.bAOBaba1. 空间向量的加减运算 由于任意两个空间向量都能平移到同一空间，所以空间向量的加减运算与平面向量的加减运算相同.AoabB探究点2 空间向量的加减运算a-ba+baboABC加法: OB=OA+AB=: OB=O

4、A+AB=a+ba+b，减法：CA=OA-OC=a-b.CA=OA-OC=a-b.2. 2. 空间向量的加法运算律 （1 1）加法交换律 a + b = b + a （2 2）加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c) 你能证明下列性质吗？证明加法交换律: :aa+baboABCb因为 OA = CB = a， AB = OC = b，所以 a + b = b + a.证明加法结合律: :abca + b + c a + b ABCO因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c, OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c),所以 (a + b)

5、+ c = a + (b + c). (1) (1)空间向量的运算就是平面向量运算的推广. . (2) (2)两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立. . (3) (3)空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加. .3.3.对空间向量的加减法的说明4.4.扩展 （1 1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的量即： 122334n 1n1nA AA AA AAAA A （2 2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即： 122334n1A AA AA AA A0a3a3a探究点3 空间向量的数乘运算 显然, ,空间向量的数乘运算满足分配律及结合

6、律()() ()a babaa 即：如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合, ,则这些向量叫做共线向量或平行向量. .ab 若P P为A,BA,B中点, , 则12 OPOAOBOABPallABPOa ，ll由由a a知知存存在在一一的的t,t,满满足足AP = ta,AP = ta,对对空空间间任任意意一一点点O,AP = OP-OA,O,AP = OP-OA,所所以以OP-OA = taOP-OA = ta即即OP = OA+ta OP = OA+ta 若若在在 上上取取AB = a,AB = a,则则有有OP = OA+tAB. OP = OA+tAB. 惟惟和都称为空间直线

7、的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一决定.由此可判断空间任意三点是否共线.由得：OP=OA+t(OB-OA)=（t）OA+tOBOP=OA+OB且空间三点，共线探究点4 4 共面向量共面向量: :平行于同一个平面的向量, ,叫做共面向量. .注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面. .dbac由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 与 ， 使 a那么什么情况下三个向量共面呢？21 12aee 1e2e1 2 a1e2eabABPp 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是

8、存在有序实数对(x,y)使APxAByAC CabABPp 或对空间任一点O,有 OP = OA+xAB+yACOP = OA+xAB+yACC式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定.O空间四点，C共面把写成：OP=OA+tAB+sAC=(1-t-s)OA+tOB+sOCOP=OA+OB+zOC且+zP P与A,B,CA,B,C共面APxAByAC OPOAxAByAC1 ()OPxOAyOBzOCxyz其其中中基础训练解析在同一条直线上的单位向量方向可能相同，也可能相反1下列命题中，假命题是()A向量AB与BA的长度相等B两个相等的向量，若起点相同

9、，则终点也相同C只有零向量的模等于0D在同一条直线上的单位向量都相等D2下列命题中正确的是()A若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B向量a、b、c共面即它们所在的直线共面C零向量没有确定的方向D若ab，则存在唯一的实数，使abCDB0.50.5题型探究题型一 空间向量的加减运算分析点评化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化题型二 空间向量的数乘运算分析分析由题目可以获取以下主要信息：由题目可以获取以下主要信息：ABCD是正方形，是正方形，O为中心，为中心，PO平面平面ABC

10、D，Q为为CD中点；中点；用已知向量表示指定向量用已知向量表示指定向量解答本题需先画图，利用三角形法则或平行四解答本题需先画图，利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等求出系数相等求出x、y即可即可点评1.用已知向量表示未知向量是一项重要的基本功，直接关系到本章学习的成败，应认真体会，并通过训练掌握向量线性运算法则和运算律2空间向量的数乘运算定义，运算律与平面向量一致abc方法：找回路题型三 共线向量题型三 共面问题跟踪练习跟踪练习4 如图，已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点用向量法证明E、F、G、H四点共面易错疑难辨析错解因为3e1与3e1共线，4e2与8e2共线，所以a与b共线辨析辨析没有准确理解向量共线的充要条件：任一向量a与非零向量b共线的充要条件是ab.例题5已知e1、e2是不共线向量，a3e14e2，b3e18e2，判断a与b是否共线课堂练习1.给出以下命题：（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同.（2）若空间向量 满足 ，则 .（3）在正方体 中，必有 .（4）若空间向量 满足 ，则 .（5）空间中任意两个单位向量必相等.其中不正确命题