特殊曲面及其方程--柱面锥面旋转面

1、引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次 特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。 主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。1.柱面定义1: 一直线平行于一个定方向且与一条定曲线 相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1）,曲线 作叫做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母 线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲 线作为准线。特别地，若取准线 为一条直线，则柱面为一 平面，可见平面是柱面的特例。卜面分几种情形讨论柱面的方程01.1 母线平行于坐标轴的柱面方程选

2、取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于z轴，准线为Oxy面上的一条曲线，具方程为：*y图2f x, y 0 z 0又设P x, y,z为柱面上一动点（图2）,则过点P与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线的交点记为M x, y,0 ,因点M在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点 P x,y,z的坐标满足方程f x, y 0反过来，若一点P x, y,z的坐标满足方程f x, y 0,过P作z轴的平行线交Oxy面于点M ,则点M的坐标x,y,0满足准线 的方程f x, y 0, z 0 , 这表明点M在准线 上，因此直线MP是柱面的母线（因为直线M

3、P的方向向量 为0, 0, z | 0,0,1 ）,所以点P在柱面上。综上所述，我们有如下结论：母线平彳T上于z轴，且与Oxy面的交线为f x,y 0, z 0的柱面方程为：f x,y 0（1）它表示一个无限柱面。若加上限制条件 a z b,变得它的一平截段面。同理，母线平行于x轴，且与Oyz面的交线为g y,z 0, x 0的柱面方程为g y,z 0；母线平行于y轴，且与Ozx面的交线为h x,z 0, y 0的柱面方程为h x, z 0。定理1:凡三元方程不含坐标x,y,z中任何一个时必表示一个柱面，它的母 线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包

4、含所有的坐标。2222例1:以Oxy面上的椭圆 勺 匕1, z 0,双曲线三 三 1, z 0和抛 a ba b物线y2 2Px, z 0为准线，母线平行于z轴的柱面方程分别为2x2 a1, y22Px它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，由于它们的准线是二次曲线，故 又统称为二次柱面，其图形见（图 3）。图3例2:证明，若柱面的准线为f X, y 0z 0母线方向为Vl,m,n n 0 ,则柱面方程为二lm八fxz,y z0nn(2)证：设P1 x1,y1,0为准线 上一点，则过此点的柱面母线的参数方程为:x Xi l , y yi m , z n (为叁数) 当点Pi遍历准线 上的所有

5、点，那么母线就推出柱面，消去参数 ，由式中最后一个式子得代入其余两个式子，有n, lmx1 x l x-z, y1ym y z nn因点P在准线上，代入f x1,y10,即得(2)式若柱面的准线为母线方向为f x,z 01:y 0l, m,n m 0则柱面方程为：fx'y, zny 0m m(3)若柱面的准线为:母线方向为f y,z 02 :x 0l, m, n l 0则柱面方程为2：f y mx, z nx 0(4)1.2 柱面的一般方程设柱面的准线是一条空间曲线，具方程为F1 x, y,z0F2 x, y, z0母线方向为l,m, n，在准线 上任取一点P1 x1, y1，乙，则过

6、点PI的母线方程是:x xi l , y yi m , z n （为叁数）这里x, y,z是母线上点的流动坐标。因点 E的坐标应满足:Fi xi，yi，Zi0, F2 x”？0F1xl, ym, zn0F2xl, ym, zn0从上面这两组式子中消去参数，最后得一个三元方程F x, y, z 0(5)这就是以 为准线，母线的方向数为l,m,n的柱面方程,例3:柱面的准线是球面x2 y2z21与平面x y z0的交线,母线方x x1， yy1， z 乙向是1,1,1 ,求柱面的方向。解：设x1,y1,z1是准线上任一点，则过这点的母线方程为xx , y1y ，4 z由此得代入准线方程，得消去参数

7、，得222xy z 1x y z 30展开，化简后得 2 x2 y2 z2 xy yz zx 3这就是所求的柱面方程。1.3柱面的参数方程设柱面的准线的参数方程为：母线方向为l,m,n又设R f 111gti线方程为x f til , y g tix f t:y g ta t bz h th ti是准线 上的一点，则过R的母m, z h tin ( 为参数)令R在准线 上移动，即让ti取所有可能的值，并让 取所有可能的值，则由上式决定的点x,y,z的轨迹就是所求的柱面。因此，柱面的参数方程是：(6)例4:设柱面的准线为:a cos bsin母线方向为0,i,i,求柱面的方程。a cos解：由(

8、6)式，柱面得参数方程为:nsin从上式中消去参数和，得住面的一般方程y : b21.4 由生成规律给出柱面的方程有时不给出柱面的准线，只给出生成规律下面举一例。例5:求以直线q为轴，半径为r的圆柱面方程，其中直线q通过点P0 %,y0,Z0 ,方向向量为V l, m,n o解：设P x,y,z为所求柱面上的一点(图4),按题意P到q的距离为PMPP0M ,按向量的定义有P0p V |p0Psin设两端平方即得所求柱面的向量是方程:写成坐标式，即n y y02 .2r l若利用公式则式又可写成X0X0z0X0y。z02x0l22x x022BP2 nyy0y0zz02NV。 zl2z0z z0

9、l x x0m y y0n7222r2。l m n1.5 曲线的射影柱面定义2:设是一条空间曲线,为一平面，经过 上每一点作平面的垂线,给定空间曲线Fi x, y,z0F2 x, y,z0图5由这些垂线构成的柱面叫做从到 的射影柱面（图5）显然，在上的射影就是从到的射影柱 面与 的交线。通常我们将平面 取为坐标平面。那么怎样求曲线到Oxy平面上的射影柱面方程？因为这个柱面的母线平行于z轴，因此它的方 程中不应含变量z,这样只要消去z即从 的某一 个方程中解出z来，把它代入另一个方程中，就得 到从 向Oxy面的射影柱面方程:f x,y 0同理，曲线 在另外两个坐标平面上的射影柱面方程分别为：g

10、y,z 0, h x,z 0因为射影柱面方程比一般三元方程简单， 所以常用两个射影柱面方程来表示空间曲线。具体做法是：从曲线的方程中轮流消去变量乂,丫与2,就分别得到 它在Oyz面，Ozx面和Oxy面上的射影柱面方程，然后于这三个柱面方程中选取两个形式简单的联立起来，那么就得到了原曲线的形式较简单的方程且便于作 图。22.例6:求曲线：x y x 1, x y 1 z 11在Oxy面上的射影。解：欲求曲线在Oxy面上的射影，需先求出曲线到Oxy面上的射影柱面，这 又须从曲线方程消去z,由的第一个方程减去第二个方程并化简得y z 1 或 z 1y将z 1 y代入曲线的方程中的任何一个，得曲线 到

11、Oxy面的射影柱面:x2 2y2 2y 0故两球面交线在Oxy面的射影曲线方程是xz22y 2y 0这是一椭圆.0又设Px, y,z为锥面上一动点（图7）,2.锥面定义3:通过一定点Po且与一条曲线相交的一切直线所构成的曲面叫做锥 面（图6）,定点B叫做锥面的顶点，定曲线 叫做锥面的准 线，构成锥面的直线叫做锥面的母线。由定义3,可见，锥面有个显著的特点：顶点与曲面上 任意其它点的联线全在曲面上。显然，锥面的准线不是唯一的，任何一条与所有母线相 交的曲线都可以作为锥面的准线。通常取一条平面曲线作为 准线。下面分几种情形讨论锥面的方程：2.1 顶点在原点，准线为平面曲线的锥面方程设锥面的准线 在

12、平面z h上，其方程为f x,y 0Azx xi , yyi, z h ,于是P x1, y1, h为准线上一点，且P、P、O三 点共线，则 oP Oj或x,y,z xi,yi,h即x hx y hyx1, y1zz由于Xi, yi应满足f Xi,yi0 ,可见x, y,z应满足方程:工hhf -x, -y zz反过来，若一点P的坐标x,y,z满足方程（1）,则将上式逆推可知，点P在过点O与P的直线上，因而在锥面的母线上,即点P是锥面上的点。因此，以原点为锥顶，准线为 g y,z0, xx,y0, y m的锥面方程分别为:kg y,x,m m h x, z例7:米用上式易知,以原点为锥顶，准线

13、为椭圆2 x-2 az2y 1b21双曲线h2 xaz2yb2h和抛物线2Px h的锥面方程分别是:b2 -1,1 2 ah一y z2P2 y b22 z h7,2 y b22 zh2和hy22Pxz 0这三个二次方程都是关于x、y、z的二次齐次方程，因此统称为二次锥面（图8）6 y222xyz-2 - 2abh222xyz-222abh,2 -hy 2Pxz 02.2 锥面的一般方程设锥面的准线为一空间曲线:Fi x, y,z0F2 x, y,z0顶点P0的坐标为小,丫0,4。又设R为，,乙为准线上一点，则过点Pi的母线方程为：x x0xixo , yyoyiy。，z %zizo因为Pi在准

14、线上，故应有Fi xi,yi,zi0F2。%40x x° i y y° i z z° i x x0 i y y° i z z0 i从以上一组方程中消去可得 F x,y,z 0这就是以为准线Po为顶点的锥面方程例8:锥面的顶点在原点，且准线为2 X -2 az2r 1 b2c求锥面的方程。解：设M1x1,y1,乙为准线上的任意点,那么过 M1的母线为xyzX1%z1且有2X1 ay2 b2z1c由、得X1Xc一,zy1代入得所求的锥面方程为22xy22ab这个锥面叫做二次锥面0定理2:关于X,y,z的齐次方程表示以坐标原点为顶点的锥面。证：设F x, y,

15、z 0是关于x, y,z的n次齐次方程，点p 4,必工 是方程所表示的曲面 上的任意一点（但不是原点），那么F X,y1,40连结OP1,在此直线上任取一点P x|,y|,z| ,因为Op二tod,故有xl，y.ty1, zitz把点P的坐标代入曲面£的方程，利用F是n次齐次函数，有F xyL.F tX1,ty1,忆.tnF。,乙.0这表示直线0Pl上任何点都在曲面£上，因而工是由过原点的动直线构成的，这 就证明了它是一个以原点为顶点的锥面。推论：关于x，x0, y，丫0, z，4的齐次方程表示以x0,y0,z0为顶点的锥面证：平移坐标轴，以xo,yo,zo为新原点，利用定

16、理（2）即得证明例9:求顶点在Po 0,b,0 ,准线为z2 x2一、勺一、二1 , y = 0的锥面方程。c a解：设P x,y,z是锥面上一动点，则母线P0P的方程为xXi 和 y b-b4z Zi（为叁数）其中P为,0,4为母线PoP与准线的交点，从上式可解得交点Pi的坐标0 二 y b - b z1 = -z由此可解得/）.型,将点P的坐标代入准线方程中，得 b此即z2y b2x2- -222 一c b a .或这就是所求的锥面方程。2.3 锥面的参数方程x. f t设锥面的准线的参数方程为I： y=g t a<t<b z. h t顶点为P°乂0，丫0,4 ,又设

17、P fti,gti, hti为准线上一点，则母线F0P的参数方程为y 二 y。- g ti 一类z 二 4 一 h ti 4-X'<P<+X'当点P1在准线r上移动时，母线PoP的轨迹就是锥面，因此锥面的参数方程是X 二 1一Xo 十 t r 二 1 -0 y0 +,g t z 二 1 一，zo -ph t从(8)式可见，锥面有两叶，0是一叶,at bpo是另一叶。(8)例10:已知锥面的顶点为0,0,0 ,准线为x 二 a cos,y 二bsin#, z = c 0;径2：求它的方程。解：由(8)式，所求锥面的参数方程是(9)(9)x . ap cos y brt

18、sin iz c，消去参数p和九 就得所求锥面的一般方程，它是二次锥面2 2y - z72 b c2.4由生成规律给出锥面的方程定义4:已知一定直线q上的一定点R,过空间一点P与P。作直线使与q所成锐角等于定角0 ,则动点P的轨迹叫做(直)圆锥面，q叫做锥面的轴，锐角S 叫做半锥项角，定点P。叫做锥顶例11:求以q:轴，半锥角为。的圆锥面方程。解：设P x, y,z为所求圆锥面上的一点，2x0,y0,z0为锥顶（图9）。PP与q的夹角为白的条件是:P0P(10)图9l, m,n为直线q的方向向量,x-xo, y-yo, z-zo。方程（10）即为所求圆锥面的向量式方程，写成坐标形式是:2 co

19、sl22x-Xo 一一 y y02z- z- l x -xo -m y_y° _n z- zo(10)它是关于xIx（）, y.y（）, z.Z0的二次齐次式，因而是二次锥面。两个特例是1以原点0,0,0为锥项，且轴的方向为1,m,n的锥面方程为若设1、2 cosI 22l -m _nx2 一 y2 - z2 - lx - my+ nz 2 = 0(11)n为方向余弦，则（11）式简化为2 cos22.y -z lx_ my* nz 2 = 0(11)2,以原点0,0,0为锥顶，z轴为轴，。为半锥项角的圆锥面方程是（此时1,m,n.0,0,1):2 cos：2 z2 = 0 或2 c

20、os2x -y2 22z 1 - cos22z sin此即x2_2 -2 ,2y z tan(12)其图形见图10例12:求以原点为顶点且过三条坐标轴的 zy直圆锥面:y z tan图102圆锥面方程解：设将过原点且方向角为 、 的直线q取作轴，因为所求圆锥面包含三条坐标轴，所以它的轴必与三条坐标轴交成等角，因而有cos cos22cos ,但 cos cos2cos 1 ,故有 coscos旦cos 3o根据不同的符号，q的位置共有四种，且分别在八 3但圆锥的半锥顶角个封限内，22221cos cos cos cos31设q位于第I、叩封限，则有1酒足cos2-（因为此时3,3 cos co

21、s cos 3写出母线方向x,y,z与coscos , cos 成角为的条件:xcosy coszcos22222y z 、cos cos cosx y zx2 y2 z2 3由此出锥面的方程为：xy yz zx 0此时轴的方程是：x y z2；设q位于第H、Vffl封限内，同理得锥面的方程为：xy yz zx 0此时轴的方程是：x y z3,1设q位于第m、V封限内，则锥面方程为：xy yz zx 0且轴的方程是：x y z4设q位于第IV、VI封限内，则锥面方程为：xy yz zx 0且轴的方程是:3 .旋转曲面定义5: 一条曲线绕一条定直线q旋转而产生的曲面叫做旋转曲面（图11）,曲线叫

22、做旋转曲面的母线，直线q叫做旋转轴，上每一点在旋转过程中生成的圆叫做纬线圆或平行圆。纬线圆旋转曲面图11当为直线时，若与轴平行，则旋 转曲面是（直）圆柱面；若与轴相交时，旋转曲面是（直）圆锥面；若 r与轴 垂直，则旋转曲面是平面（图12）,因此圆柱面、圆锥面，还有平面都可看作是 旋转曲面的例子。卜面分几种情形讨论旋转面的方程:图123.1 旋转曲面的一般方程设旋转曲面的母线是一条空间曲线F x, y, z _ 0 F2 X, y,z 0旋转轴q是过点F0 X0,y0,Z0 ,方向为l ,m,n的直线又设P K,yi,z1是母线上任意一点，P x,y,z是过PI的纬线圆（它的圆心是q上的一点）上

23、的任意一点（图13）,则q CP , q CP1 且 CP 'CRPiP q, P0P 二 P0P1 ,所以有l x-x1 一m y-y1 一n z一 4二0222x-xo 十 y y0 t z一4_222二 xi -xo yi yo zi - zo式表示以B为中心，以BP为半径的球面，而式表示通过点Pi且垂直于轴q的平面。所以和联立表示通过 P的纬线圆。又因点Pi在母线上，故有E xi,yi,zi .0, F2 x- 0由三式、消去xi,yi,zi,即得旋转曲面方程：F x,y,z "0（i3）例i3:求直线 迎？马绕直线q:x-y-z旋转所得的旋转曲面方程。 i 2 -

24、2.解：设P x,y,z是旋转曲面上的任意一点，过P作轴乂展的垂直平面，交母线遭.Yr于一点 i 2 2P xi,%,乙（图i4）,因为旋转轴通过点，不妨取原点为P。，于是由上述，过点Pi的纬线圆方程是：Fx xi - y yi 22 -22x十y 一为f yi由于点Pi在母线上，故z-zi = 0z；yi _2 xi F ,4 _2 xi-i代入x -y -z 二 x1 - 2x1 - 2 - 2x1 - 2 二 5x1 - 4因此Xi二1 x-y-z-k4 5y1Zi-o d -2d2 x1 1x y z-15-o d -2d2 x1 ix y z 15上式代入，得x2 -y221zx25

25、28z-4 x 252z- 1图15这就是所求的旋转曲面方程。在实际运用中，我们常把旋转轴取为坐标轴。特别地，若母线是一条平面曲 线，我们又常把母线所在的平面取作一坐标面， 旋转轴取作该平面内的某一坐标 轴，这时旋转曲面的方程具有较简形式。3.2 平面曲线绕坐标轴旋转生成的旋转曲面设是坐标平面Oxy上的曲线(图15),它的方程是:“z 二0x.0旋转轴为z轴：x -,如果P1 0,丫1,乙为 0 . 0 . 1母线上的一点，那么过P的纬线圆方程为：zz1.0“222 2 I 2”x -y z y1 一乙且有 g y1, 40从上面两组式子消去参数九乙，具体做法是：将代入，得2 一 2 I 2/

26、 2 I 2% x 十 y , V1 -Ivx 十 y将y1Jx2 y2及乙z代入即得g Jx2 y2, z 0(14)同样，把曲线 绕y轴旋转所得的旋转曲面的方程是:g y, Mx2 z20(15)同理可知，坐标平面 Ozx上的曲线 ：h x, z 0, y 0绕x轴或z轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为：h x, 8z20和 h 6y2,z0Oxy面上的曲线：f x, y 0, z 0绕x轴或y轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为:f x, Ty2z20 和 fVxz2, y 0因此，我们有如下结论：定理3:当坐标平面上的曲线 绕此坐标平面内的一个坐标轴旋转时，只要 将曲线在坐标平面里的方程保留和旋转同名的坐标，而以其余两个变量的平方 和的平方根去替换方程中的另一坐标，即得旋转曲面的方程。例14：将Oxy面上的圆C : x a 2 y2 r2, z 0 a r绕y轴旋转，求所 得旋转曲面的方程。解：因为绕y轴旋转，所以方程x a 2 y2 r2中保留y不变，而x用,x2 z2代替,即得旋转曲面方程为： 2Jx2z2a2y2r2,即 x2y2z2a2r22aA/x?,或22222 2222x y z a r 4axzy图16这样的曲面叫做圆环面（图16）,它的形状象救生圈。3.3旋转二次曲面例 15:圆 C : x* 2 y2 r2, z0绕X轴旋转所得的曲面方程