第一节n维欧氏空间

1、第二章 n 点集l定义：设X为一非空集合，d : XXR为一映射，且满足 d(x,y) 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性） d(x,y)=d(y,x) （对称性）则称(X,d)为度量空间. d(x,y) d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）| )()(|max),(tytxyxdbtaniiiyxyxd12)(),(yxyxyxd10),(EEEEE 的孤立点全体),(|0),(0ppdpOp点P0的邻域：EOp),(0, 0有P0为 E的接触点：)(, 00),(0pEOp有P0为 E的聚点：, 00),(0pEOp使得P0为 E的孤立点：E记 为 E的闭包（接触点全体）E

2、记 为 E的导集（聚点全体）cpEO),(0, 0使得即P0为 Ec的内点:EOp),(0, 0使得 P0为 E的内点：EOp),(0, 0使得 P0为 E的外点：cppEOEO),(),(00, 0且有P0为 E的边界点：E记 为 E的内部（内点全体）E记 为 E的边界（边界点全体）例（1）令 E = Q ， 则EREEE（2）令E=1,1/2,1/3,，1/k,则 对一切1/k (k=1,2,3, )均为E的孤立点。0EEEEEEEE的孤立点全体由定义可知ccccEEEE)()()()(EOp),(0, 0有P0为 E的接触点：EOp),(0, 0使得P0为 E的内点：cppEOEO),(

3、),(00, 0即使得 P0为 E的外点：为有限集，假如)(0),(0pEOp,)(210),(0npppppEO不妨令, 2 , 1| ),(min0nippdi取)(0),(0pEOp则)(0),(0pEOp这与（*）矛盾，所以 为无限集。 0(, )00,( )pOEp （*）证明：由条件知P0 Pn),(),(2121,yxyxOOyxAyx必有下证),(),(2121,yxyxOOz若否则,max), ,(),(),(2121yxyxyzdzxdyxd则12( ,)|xxOxA 这与（*）式矛盾， 所以是一簇两两不交的开区间， 从而A至多可数。Ax(*), 0),(xEOxxx使得证

4、明：设A为孤立点集， ，由孤立点的定义知证明： 显然，下证) 1 ()2()3()3() 1 (定理：下列条件等价： (1) p0为E的聚点 (3)存在E中互异的点所成点列pn, 使得0limppnn0(, )0(0,()pOEp 即：有）P0 Pn),(00, 0, 0, 0),(limpnnnOpNnNppd有即若0limppnn定义：称点列pn 收敛于p0 , 记为： (2)点p0的任意邻域内，含有无穷多个属于E而异于p0的点pn)(,),(,min0),(0110pEOpppdnpnnnn取时当0limppnn)(,),(,min0),(20121220pEOpppdp取时当)(,10),(1110pEOpp取时当0limppnn则上述取出的点列Pn是互异点列,且)(, 00),(0pEOp证明：由聚点的定义知保证收敛保证点列互异lP0为 E的接触点：lP0为 E的聚点：)(, 00),(0pEOp有EOp),(0, 0有注：聚点的等价条件的证明中 ，1/n是为了保证收敛，而d(pn-1,p0)是为了保证点列两两互异，但证明接触点时，无法保证d(pn-1,p0)不为0，所以不能保证点列两两互异。),(,min011ppdnnn0li