电磁场与电磁波课件之有限差分法

1、1.1. 二维泊松方程的差分格式二维泊松方程的差分格式 有限差分法（有限差分法（Finite Differential MethodFinite Differential Method）是基于差分原理的一）是基于差分原理的一种数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，种数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数将求解连续函数 的泊松方程的问题转换为求解网格节点上的泊松方程的问题转换为求解网格节点上 的差分方程的差分方程组的问题。组的问题。 通常将场域分成足够小的正方形网格，通常将场域分成足够小的正方形网格，网格线之间的距离为网格线之间的距离

2、为h h，节点，节点0,1,2,3,40,1,2,3,4上上的电位分别用的电位分别用 和和 表示。表示。 3210,4处的泰勒公式展开为方向在则沿处可微在设函数00 xxx,)3()(0)(!000)(nnKKKxxxxxK)2()() 1 (2222sfFyxL二维静电场边值问题：二维静电场边值问题：3.7 3.7 有有 限限 差差 分分 法法 0333022200303330222001xh31xh21xhxh31xh21xh)(!)(!)()(!)(!)(h2x31xx0)(（8）（4）将将 和和 分别代入式分别代入式(3),(3),得得1xx 3x2301yy22h2y0)(同理同理（

3、5） 由（由（4 4）（5 5）由（由（4 4）+ +（5 5）2301xx22h2x0)(（6）（7）（9）h2y31yy0)(将式（将式（7 7）、（）、（9 9）代入式（）代入式（1 1），得到泊松方程的五点差分格式），得到泊松方程的五点差分格式2043214Fh)(41243210Fh当场域中当场域中 ，得到拉普拉斯方程的五点差分格式，得到拉普拉斯方程的五点差分格式00404321)(41432102.2. 边界条件的离散化处理边界条件的离散化处理第二类边界条件第二类边界条件 边界线与网格线相重合的差分格式：边界线与网格线相重合的差分格式：hffhn2102010,)(对称边界条件对称

4、边界条件)(Fh24124210若场域离散为矩形网格，若场域离散为矩形网格，F2h1h1h1h10222142222121)()()(差分格式为：差分格式为：第一类边界条件第一类边界条件 给边界离散节点直接赋已知电位值。给边界离散节点直接赋已知电位值。介质分界面衔接条件的差分格式介质分界面衔接条件的差分格式合理减小计算场域，差分格式为合理减小计算场域，差分格式为 , )(43210K1K2K1241baK 其中其中 1 12 2边界条件的离散化处理边界条件的离散化处理3.3. 差分方程组的求解方法差分方程组的求解方法高斯高斯赛德尔迭代法赛德尔迭代法)(,)(,)(,)(,)(,2k1jikj1

5、i1k1ji1kj1i1kjiFh41式中：式中： ,210k21ji， 迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。 迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节点电位满足点电位满足 为止。为止。)(,)(,kji1kji超松弛迭代法超松弛迭代法)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,kji2k1jikj1i1k1ji1kj1ikji1kji4Fh4式中：式中：加速收敛因子加速收敛因子)(21高斯高斯赛德尔迭代法赛德尔迭代法 迭代收敛的速度与迭代收敛的速度与 有明显关系：有明显关系：

6、 收敛因子（收敛因子（ ） 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.01.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0 迭代次数（迭代次数（ N N） 1000 269 174 143 122 133 171 1000 269 174 143 122 133 171 发散发散最佳收敛因子的经验公式：最佳收敛因子的经验公式：)sin(p120（正方形场域、正方形网格）（正方形场域、正方形网格）220q1p122（矩形场域、正方形网格）（矩形场域、正方形网格） 迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关；迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关； 迭代收敛的速度与工程精度要求有迭代收敛的速度与工程精度要求有 。)(,)(,Nji1Nji启动启动赋边界节点已知电位值赋边界节点已知电位值赋予场域内各节点电位初始值赋予场域内各节点电位初始值累计迭代次数累计迭代次数N=0N=N+1按超松弛法进行一按超松弛法进行一次迭代，求次迭代，求 所有