博弈论(第七讲)

1、第七第七讲 混合策略纳什均衡第第7讲讲 混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡：引例：引例纳什均衡何在？纳什均衡何在？第第7讲讲 混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡基本概念基本概念混合策略纳什均衡的定义混合策略纳什均衡的定义混合策略纳什均衡的解法混合策略纳什均衡的解法混合策略纳什均衡举例混合策略纳什均衡举例纯冲突与防范行为博弈纯冲突与防范行为博弈7.1 基本概念（上）在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，简称事件事件。 概率概率：事件的概率就是这个事件在无限次试验中发生的频率。 当两个事件独立时，两个事件共同发生的概率就是事件单独发生的概率的乘积。（举

2、例） 随机变量随机变量：表示随机现象（在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象）各种结果的变量。 随机变量的期望值随机变量的期望值是随机变量可能实现值的加权。（举例） 7.1 基本概念（中）7.1 基本概念（下）120当效用仅包含一个人如何对不同选择进行排列这一信息时，这种效用是有序的，但这种效用自身的数值是没有意义的，这种效用叫做序数效用序数效用。当面临不确定因素时，效用等级开始起作用，而不仅仅是效用所暗含的结果排序。此时，效用不仅暗示着排序，也包含了偏好的强烈程度。当效用的相应等级包含信息时，这种效用称为基数效用基数效用。 将“街道”和“花园”称为两个参与者的纯策略。每个参与者

3、有使他的纯策略随机化的选择，称为混合策略。 在该博弈中，混合策略是0,1区间上的一个实数，这个数值就是选择街道的概率。 用p表示警察去街道巡逻的概率，（1-p）就是警察去公园巡逻的概率。 用d表示毒贩去街道交易的概率，（1-d）就是毒贩去公园交易的概率。在策略组合(p,d)下，警察的支付为。 在策略组合(p,d)下，毒贩的支付为：警察的纯策略选择“街道”，相当于p=1，纯策略选择“公园”，相当于p=0。 VPO(1,d)=60-60-50d+130d=80d VPO(0,d)=60-50d很显然，当d6/13时，选择p=0优于选择p=1。p=0不仅优于p=1，而且优于p为其他任何值的选择：当d

4、VPO(1,d)因为VPO(p,d)是VPO(1,d)和VPO(0,d)的加权平均数， 只要VPO(0,d)大于VPO(1,d)，VPO(0,d)就大于VPO(1,d)与VPO(0,d)的加权平均数。总之，当d6/13时，p=1是警察的最佳选择。 当d=6/13时，对于警察而言，选择去街道和去公园所得到的期望效用是一样的。进一步讲，无论p为何值，期望效用都一样。 【混合策略纳什均衡的正式定义】7.3 混合策略纳什均衡的解法混合策略纳什均衡的解法 在毒品交易博弈的纳什均衡中，毒贩在街道的概率为6/13，在公园的概率为7/13。毒贩的这种随机化是比较合理，因为这将使警察无从下手。警察在街道的概率为

5、5/13，在公园的概率为8/13。警察的这种随机化也是比较合理，因为这将使毒贩无从下手。 当警察在街道的概率为5/13时，毒贩选择街道的期望收益为(5/13)*20+(8/13)*90=820/13；毒贩选择公园的期望收益也为(5/13)*100+(8/13)*40=820/13。当对面临的选择漠不关心时，随机化一个选择集合无疑是一个最佳选择。 因此，毒贩选择在街道的概率为6/13，是其最佳选择，因为在这种情况下，警察选择街道和公园的预期收益也是一样的。 7.3 混合策略纳什均衡的解法混合策略纳什均衡的解法 如果使纯策略随机化是最佳选择，那么参与者从任意纯策略中获得的期望收益相同。 如果毒贩随

6、机化其策略，那么警察必须选择混合策略才能使毒贩做出任意选择的机会均等。 具体而言，警察的均衡策略是使毒贩从其两个纯策略中获得相等预期收益的p值： p*20+(1-p)*90=p*100+(1-p)*40推出p=5/13毒贩的均衡策略是使警察从其两个纯策略中获得相等预期收益的d值： d*80+(1-d)*0=d*10+(1-d)*60推出d=6/137.3 混合策略纳什均衡的解法混合策略纳什均衡的解法 这种求解方法的核心就是：找到一种策略，使得其他参与人认为自己无论选择哪种纯策略，预期收益都一样。 如果一个参与者有一个严格劣势（纯）策略，那么此策略如果一个参与者有一个严格劣势（纯）策略，那么此策

7、略在纳什均衡混合策略中被赋予的概率值为在纳什均衡混合策略中被赋予的概率值为0 0。 为了试图解决混合策略纳什均衡问题，我们需要剔除所有的严格劣势策略。剔除后的博弈中的混合策略纳什均衡集合与最原始的的博弈相同。如果一个纯策略无法在重复剔除严格劣势策略后继续使用，混合策略纳什均衡赋予其的概率为0。 7.3 混合策略纳什均衡的解法混合策略纳什均衡的解法 【小练习】【小练习】 求解该博弈的混合策略纳什均衡。 7.4 混合策略纳什均衡举例混合策略纳什均衡举例7.4.1 混合策略纳什均衡举例阿维让切斯防线7.4 混合策略纳什均衡举例混合策略纳什均衡举例7.4.1 混合策略纳什均衡举例阿维让切斯防线7.4

8、混合策略纳什均衡举例混合策略纳什均衡举例7.4.1 混合策略纳什均衡举例阿维让切斯防线 用r表示Bradley加固防线的的概率，(1-r)表示其向东进军的概率。用a表示Kluge攻击的概率，(1-a)表示其撤退的概率。 如果Kluge是随机化选择，那么他从每个纯策略中得到的预期支付是一样的，有 r*0+(1-r)*5=r*3+(1-r)*2 解得r=1/2如果Bradley是随机化选择，那么他从每个纯策略中得到的预期支付是一样的，有 a*3+(1-a)*2=a*0+(1-a)*4 解得a=2/5可得，该博弈的混合策略纳什均衡为(1/2,2/5)。7.4 混合策略纳什均衡举例混合策略纳什均衡举例

9、7.4.2 混合策略纳什均衡举例市场进入 在分析其混合策略纳什均衡之前，先确定这个博弈是否可以被简化，及检查是否存在严格劣势策略。 对于公司1而言，无论有几个公司进入，他都会进入，他的利润不会低于150，其进入成本只有100，因此，不进入是其严格劣势策略，予以剔除。 对于公司4而言，在公司1一定进入的情况下，其利润一定低于进入成本，400d,bc。 该博弈有n个纯策略纳什均衡：任一个人提供帮助时，其他人置身事外。 在混合策略中推导出一个均衡，可以发现一个更为对策的解决方案。7.4 混合策略纳什均衡举例混合策略纳什均衡举例7.4.6 混合策略纳什均衡举例旁观者效应假设每个人都以p的概率去帮助，这

10、一对称的均衡在在概率p的情况下实现，记为p*，即在其他(n-1)个人以概率p*去帮助时，那么对其中任意一个人而言，以概率p*提供帮助的策略最优。换言之，如果(n-1)中的任意一个人以概率p*提供帮助，那么另一个人选择帮助与置身事外的期望支付相同。倘若其他(n-1)个人以概率p提供帮助，一名参与者提供帮助的期望支付为： 其中，ad,bc。 这名参与者置身事外的期望支付为：7.4 混合策略纳什均衡举例混合策略纳什均衡举例7.4.6 混合策略纳什均衡举例旁观者效应这名参与者提供帮助与置身事外的预期支付相等，即 为了分析这个等式的性质，假定a=4,b=3,c=2,d=1，表达式变为7.4 混合策略纳什

11、均衡举例混合策略纳什均衡举例7.4.6 混合策略纳什均衡举例旁观者效应有一个人提供帮助的概率随旁观者人有一个人提供帮助的概率随旁观者人数的变化情况数的变化情况至少有一个人提供帮助的概率随旁至少有一个人提供帮助的概率随旁观者人数的变化情况观者人数的变化情况7.5 纯纯冲突与防范行为博弈冲突与防范行为博弈 极极大极小策略即大极小策略即用来使参与者达到最用来使参与者达到最优状态的策略，即会优状态的策略，即会设想到其他参与者会设想到其他参与者会通过选择策略来使参通过选择策略来使参与者的支付最小。与者的支付最小。7.5 纯纯冲突与防范行为博弈冲突与防范行为博弈 用VH(pH,sM）表示福尔摩斯的期望支付

12、，如果他选择混合策略pH（去多佛尔的概率）,则用sM表示莫瑞特的纯策略。 福尔摩斯的极大极小策略可以解决以下问题：在已知pH的情况下，当sM被选择来使VH(pH,sM）最小化时，用pH来使VH(pH,sM）最大化。 如果用b(pH)表示使VH(pH,sM）最小化的sM的值，那么福尔摩斯的问题可表述为怎么确定pH的值使VH(pH, b(pH) ）最大化。7.5 纯纯冲突与防范行为博弈冲突与防范行为博弈 当莫瑞特选择去多佛尔时，福尔摩斯的期望支付为： VH(pH,多佛尔）=pH*20+(1-pH)*70=70-50pH 当莫瑞特选择去坎特伯雷时，福尔摩斯的期望支付为： VH(pH,坎特伯雷）=pH*90+(1-pH)*10=10+80pH7.5 纯纯冲突与防范行为博弈冲突与防范行为博弈 不管pH值是多少，莫瑞特总可以选择相应的策略使得福尔摩斯的支付最小。因此，图中加粗的线表示福尔摩斯的支付。 很明显，福尔摩斯的支付有一个极大值点，即两条线的交点。 70-50pH=10+80pH pH=6/13 pH=6/13是使福尔摩斯期望支付最大化的混合策略，即他的极大极小策略。如果一名参与者知道你会做出的选择，那么你做出随机化选择将更好7.5 纯纯冲突与防范行