北京市高三第一学期抽样检测

1、. 2012年北京市高三第一学期抽样检测（二） 数学（理科）本试卷分第卷和第卷两部分。第卷1至2页、第卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。 第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 已知集合,则（ ）A. B. C. D. 2. 在等差数列的前13项之和为，则等于（ ）(A)12 (B) (C)3 (D) 13已知直线平面，直线平面，则“”是“”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4甲、乙两名

2、同学在次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别用、表示，则下列结论正确的是（A），且甲比乙成绩稳定（B），且乙比甲成绩稳定（C），且甲比乙成绩稳定1899 82 1 03 8 9 9甲乙（D），且乙比甲成绩稳定5. 下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出 平面的图形的序号是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 输出结束是否开始5如图给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 （A）（B）（C） （D）7. 函数f (x)的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数 . 设函数f (x)在0，1上为

3、非减函数，且满足以下三个条件：； ； .则等于（ ） A. B. C. 1 D. 8设集合，集合，若中含有3个元素，中至少含有2个元素，且中所有数均不小于中最大的数，则满足条件的集合有（A）33组 （C）32组 （B）29组 （D）7组第II卷（共110分）二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9计算的值为 10如图，函数在点处的切线方程为，则 .11. 在区间上任取两个数，则方程没有实根的概率为 .lOADCB12. 已知两点，若抛物线上存在点使为等边三角形，则_或 _ .13. 如图，已知的直径，为圆周上一点，过点作的切线，过点作 的垂线，垂足为，则_14.设，对于数列(，),

4、令为，中的最大值，称数列为的“递进上限数列”.例如数列的递进上限数列为2,2,3,7,7.则下面命题中若数列满足，则数列的递进上限数列必是常数列等差数列的递进上限数列一定仍是等差数列等比数列的递进上限数列一定仍是等比数列正确命题的序号是_.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答写出文字说明，演算步骤或证明过程。15（本小题满分13分）已知函数（）求的最小正周期；（）设，判断函数的奇偶性，并加以证明解：（） 2分 4分 6分故的最小正周期为 7分（） 9 分 11分因为，所以函数是偶函数 13分ABB1CC1A1MN16（本小题满分14分）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，分别是，的中点（）证明：

5、；（）证明：平面；（）求二面角的余弦值解法一： （）证明：因为平面，所以是在平面内的射影， 2 分由条件可知，DABB1CC1A1MN所以 4 分（）证明：设 的中点为，连接，.因为，分别是，的中点，所以.又=，所以.DABB1CC1A1MNHG所以四边形是平行四边形.所以. 7 分因为平面，平面，所以平面. 9 分（）如图，设的中点为，连接，所以.因为底面，所以底面.在平面内，过点做，垂足为. 连接，则.所以是二面角的平面角. 12 分因为=2，由，得=.所以=.所以=. 二面角的余弦值是. 14 分ABB1CC1A1MNxyz解法二： 依条件可知，两两垂直.如图，以点为原点建立空间直角坐标

6、系. 根据条件容易求出如下各点坐标：，.（）证明：因为，所以. 2 分所以.即. 4 分（）证明：因为，是平面的一个法向量，且，所以. 7 分又平面，所以平面. 9 分（）设是平面的法向量，因为，由得解得平面的一个法向量.由已知，平面的一个法向量为. 12 分设二面角的大小为， 则=. 二面角的余弦值是. 14 分17.（本小题满分13分）设等差数列的前n项和为，且（c是常数，N*），.（）求c的值及的通项公式；（）证明：.（）解：因为， 所以当时，解得， -2分 当时，即，解得， 所以，解得； -5分则，数列的公差，所以. -8分（）因为 -9分 -11分. 因为，所以 . 18（本小题满分

7、13分）已知函数（）若函数在点（1，）处的切线与直线平行，求值；（）若函数在上为单调增函数，求的取值范围；解：() -1分所以，-3分由已知切线与直线平行，则，所以，-4分此时，切线方程为与平行，所以-5分（） 7分 因为在上为单调增函数，所以在上恒成立即在上恒成立-8分当时，由，得-9分设，-10分所以当且仅当，即时，有最小值-11分所以所以-12分所以的取值范围是 13分19（本小题满分14分）已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线的方程为（I）求抛物线S的方程；（II）若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足.

8、试说明动直线PQ是否过一个定点.解：(I) 设抛物线S的方程为 由 可得 由，有，或 3分设则 设，由的重心为则， 点A在抛物线S上， 抛物线S的方程为 7分（II）当动直线的斜率存在时，设动直线方程为，显然 ，设 9分将代入抛物线方程，得从而，动直线方程为，此时动直线PQ过定点 12分 当PQ的斜率不存在时，显然轴，又，为等腰直角三角形.由 得到，此时直线PQ亦过点. 综上所述，动直线PQ过定点. 14分20（本小题满分13分）已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和若对于任意的，总有，则称集合具有性质（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；（II）对任何具有性质的集合，证明：；（III）判断和的大小关系，并证明你的结论解：（I）集合不具有性质 1分集合具有性质，其相应的集合和是， 4分（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个因为，所以； 6分又因为当时，时，所以当时， 8分从而，集合中元素的个数最多为，即 9分（III）解：，证明如下：（1）对于，根据定义，且，从而如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有