第3讲菱形课件

1、例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD12cm，AC6cm，求菱形的周长解：四边形ABCD是菱形，ACBD，AO AC，BO BD.AC6cm，BD12cm，AO3cm，BO6cm.在RtABO中，由勾股定理得菱形的周长4AB43 12 (cm)12122222363 5 cm .ABAOBO55例2 如图，在菱形ABCD中，CEAB于点E，CFAD于点F，求证：AEAF.证明：连接AC. 四边形ABCD是菱形， AC平分BAD， 即BACDAC. CEAB，CFAD， AECAFC90. 又ACAC， ACEACF. AEAF. 菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的

2、直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角归纳例3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且DAE=2BAE，求证：OA=EB.ABCDOE证明：四边形ABCD为菱形，ADBC，AD=BA，ABCADC2ADB ，DAEAEB，AB=AE,ABCAEB， ABC=DAE， DAE2BAE，BAEADB. 又ADBA ，AODBEA ，AOBE .【变式题1】如图，在菱形ABCD中，已知A60，AB5，则ABD的周长是 () A.10 B.12 C.15 D.20C【变式题2】如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则

3、线段OE的长为_.第1题图第2题图6cm例1 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在AOB中，OA5，OB12.求菱形ABCD两对边的距离h.解：在RtAOB中，OA5，OB12，SAOB OAOB 51230，S菱形ABCD4SAOB430120.又菱形两组对边的距离相等，S菱形ABCDABh13h，13h120，得h .222251213,ABAOBO121212013 菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半归纳例2 如图，在菱形ABCD中，

4、ABC与BAD的度数比为1：2，周长是8cm求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积解：（1）四边形ABCD是菱形，AB=BC，ACBD，ADBC，ABC+BAD=180.ABC与BAD的度数比为1：2，ABC= 180=60，ABO= ABC=30，ABC是等边三角形.菱形ABCD的周长是8cmAB=2cm，1213OA= AB=1cm，AC=AB=2cm， BD=2OB= cm；（2）S菱形ABCD= ACBD = 2 = （cm2）1222cm3,OBABOA2 312122 32 3 菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是60时，菱形被分为以60为顶角

5、的两个等边三角形.归纳【变式题】如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（）A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm B【附加题1】.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等C【附加题2】如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则ABD的周长等于 （） A.18 B.16 C.15 D.14 B【附加题3】根据下图填一填：（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长 是 _.（2）在菱形ABCD中，ABC120 ，则BAC _.（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6c

6、m和8cm， 则菱形的边长是_. 3cm30ABCOD5cm(4)菱形的一个内角为120,平分这个内角的对角 线长为11cm，菱形的周长为_.44cm(5)菱形的面积为64cm2，两条对角线的比为 1 2 ,那么菱形最短的那条对角线长为_.8cm2ABCOD例21 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形 ABCDEFO12证明: 四边形ABCD是矩形, AEFC，1=2.EF垂直平分AC，AO = OC . 又AOE =COF，AOECOF，EO =FO.四边形AFCE是平行四边形.又EFAC 四边形AFCE是菱形.证明： 1= 2

7、, 又AE=AC,AD=AD, ACD AED (SAS). 同理ACFAEF(SAS) . CD=ED, CF=EF. 又EF=ED,CD=ED=CF=EF, 四边形ABCD是菱形.2例1 如图,在ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在 AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形. ACBEDF1例2 如图，在ABC中，B90，AB6cm，BC8cm.将ABC沿射线BC方向平移10cm，得到DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形证明：由平移变换的性质得CFAD10cm，DFAC.B90，AB6cm，BC8cm，AC

8、DFADCF10cm，四边形ACFD是菱形22226810 cm .ACABBC 四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便归纳HGFEDCBA证明：连接AC、BD.四边形ABCD是矩形，AC=BD.点E、F、G、H为各边中点，11,22EFGHBDFGEHAC，EF=FG=GH=HE，四边形EFGH是菱形.例3 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.CABDEFGH【变式题1】 如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？解：四边形EFGH是菱形.又AC=BD,点

9、E、F、G、H为各边中点，11.22EFGHBDFGEHAC，EF=FG=GH=HE，四边形EFGH是菱形. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.归纳理由如下：连接AC、BDABCDEFGH【变式题2】 如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？解：连接AC、BD.点E、F、G、H为各边中点，11,22EFGHBDFGEHAC，四边形EFGH是平行四边形.【附加题】如图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？四边形EFGH是矩形.同学们自己去解答吧例1 如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的

10、中点，BE2DE，延长DE到点F，使得EFBE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(1)证明：D、E分别是AB、AC的中点，DEBC且2DEBC.又BE2DE，EFBE，EFBC，EFBC，四边形BCFE是平行四边形又EFBE，四边形BCFE是菱形；(2)解：BCF120，EBC60，EBC是等边三角形，菱形的边长为4，高为 ，菱形的面积为 .2 342 38 3(2)若CE4，BCF120，求菱形BCFE的面积 判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形归纳【变

11、式题】如图，在平行四边形ABCD中，AC平分DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.解：四边形ABCD为平行四边形，ADBC，ABCD，DAC=ACB，BAC=ACD，AC平分DAB，DAC=BAC，DAC=ACD，AD=DC，四边形ABCD为菱形，四边形ABCD的周长=42=81.判断下列说法是否正确(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的 四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形 2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为 24cm和26cm，那么平行四边形的面积是

12、 . 312cm23.如图，将ABC沿BC方向平移得到DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（） AAB=BC BAC=BC CB=60 DACB=60 B解析：将ABC沿BC方向平移得到DCE，ACDE，AC=DE，四边形ABED为平行四边形.当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形故选BABCDOE4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DEAC,CE BD.求证：四边形OCED是菱形.证明：DEAC，CEBD，四边形OCED是平行四边形.四边形ABCD是矩形，OC=OD，四边形OCED是菱形 4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对 角线BD长10cm

13、.求:(1)对角线AC的长度; (2)菱形ABCD的面积.解:(1)四边形ABCD是菱形,AED=90,(2)菱形ABCD的面积AC=2AE=212=24(cm).DBCAE5.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E 求证：AFD=CBE 证明：四边形ABCD是菱形，CB=CD， CA平分BCDBCE=DCE又 CE=CE，BCEDCE（SAS）CBE=CDE 在菱形ABCD中，ABCD， AFD=EDC.AFD=CBEADCBFE6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD5cm，OD3cm；过点C作CEDB，过点B作BEAC，CE与BE相交于点E.(1)求OC

14、的长；(2)求四边形OBEC的面积解：(1)四边形ABCD是菱形，ACBD.在RTOCD中，由勾股定理得OC4cm；(2)CEDB，BEAC，四边形OBEC为平行四边形.又ACBD，即COB90，平行四边形OBEC为矩形.OBOD3cm，S矩形OBECOBOC4312(cm2)证明：MN是AC的垂直平分线，AE=CE，AD=CD，OA=OC，AOD=EOC=90.CEAB，DAO=ECO，ADOCEO（ASA）AD=CE，OD=OE，OD=OE，OA=OC，四边形ADCE是平行四边形又AOD=90，四边形ADCE是菱形 5.如图，ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CEAB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.BCADOEM（1）证明：由尺规作BAF的平分线的过程可得AB=AF，BAE=FAE，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，FAE=AEB，BAE=AEB，A