整数乘法教材的处理方式

1、伍、整數乘法教材的處理方式：（一）單位量轉換 上圖中共有個蘋果的圖像（以為被計數單位），我們可以使用多種不同的數量來描述這個蘋果，例如：可以使用盤（個裝一盤）；盒（個裝一盒）；片（個切成四片）；. 箱（個裝一箱），.等方式來描述。換句話說，當我們選擇不同的計數單位時，就會有不同的描述方式。以盤（個裝一盤）為例，我們選擇個當做被計數的單位，個共有個單位，也就是有個。年課程稱被計數的單位為單位量，描述共有幾個單位的為單位數。 倍的問題是由數個集聚單位合成一個新的集聚單位，例如個合成，其中是由合成的集聚單位，用來描述此聚集單位的數量，稱之為單位量，則是描述集聚單位的個數，稱之為單位數，倍的問題是已知

2、單位量及單位數，雖然知道新集聚單位是由個合成的，但其數值（以為單位的計數結果）尚為未知。以問題個蘋果裝一盒，盒共有幾個蘋果？為例：問題中蘋果的總量本來是以盒為單位（不是以個為單位）來描述，共有個單位，每個單位有個蘋果（以個為單位），現在要以個蘋果為單位重新描述總量，問共有幾個蘋果。解題者要將原來以盒為單位的量，轉換為以個為單位的量，是一種單位量轉換的活動。 相對於倍的問題，包含除是解決單位數未知的問題，等分除是解決單位量未知的問題。以包含除問題小明有顆糖，顆裝成一盒，可以裝成幾盒？為例：小明的糖原來是用顆為單位量來描述，共有顆，而目前題目要求用盒或顆為單位，重新描述總量，回答這裡有幾盒糖。以等

3、分除問題小明有顆糖，平分裝成盒，一盒有幾顆糖？為例：小明的糖原來是用顆為單位量來描述，共有顆，而目前則要求使用另一個新的單位量盒來描述，而這個新的單位量尚未用顆為單位量來描述，換言之，新單位量是未知，只知用此新單位量來描述時，是有盒。所以包含除是新單位數未知的單位量轉換活動，而等分除是新單位量未知的單位量轉換活動。問題：一隻青蛙有條腿，隻青蛙共有幾條腿？(1) 試說明由連加或乘是加的速算的觀點引入乘法活動的優缺點？(2) 試說明由單位量轉換的觀點引入乘法活動的優缺點？ 問題是否可以解讀為：個，是多少個？(3) 試說明由比的觀點引入乘法活動的優缺點？ 問題是否可以解讀為：，？(4) 第一次引入乘

4、法算式時，乘號只能有一種意義。試概略描述年及年課程是如何引入乘法算式？乘號的意義為何？ 年課程為何要改變引入乘法算式的方式（也改變乘號的意義）？(5) 試找一些乘法問題，將解題活動相同的問題分在同一類。 先說明為什麼你將這些問題放在同一類？再說明你如何區分不同類的問題？ 最後說明為什麼這些不同類的問題都可以使用乘法算式記錄解題過程與結果？（二）乘法問題 九九乘法表問題：（）、（）、（）、（）(1) 學童要有那些能力後，才能夠解決問題中的乘法問題？(2) 學童不會背九九乘法表，是否也有能力解決問題或其它的乘法問題？會背九九乘法表是否為解乘法問題的先備經驗？(3) 背誦乘法表與默寫乘法表，何者對學

5、童較有幫助？(4) 要求學童先背乘法表，對學童解乘法問題有那些好處？有那些壞處？(5) 學童是解題成功後才使用乘法算式記錄解題過程與結果，或者是先背乘法表，再利用乘法表協助解決乘法問題？ 對二、三年級學童而言，乘法表（算式）是解題的記錄，或是可運算的工具？(6) 年課程認為問題中的前兩個題目比較簡單，後兩個題目比較困難；而年 課程認為問題中的四個題目困難度相同。 試說明為什麼年與年課程會有不同的看法？ 你認為問題的四個題目中，何者最困難？何者計算過程最容易發生錯誤？(7) 學童解問題時可能有那些解題策略？這些策略中那些是比較有效率的？(8) 試概略說明又一與又一倍的異同處？ 學童是否有能力自己

6、發展出又二（多）倍的解題策略？試以問題為例說明。(9) 年課程不要求學童先背乘法表，但是學童熟練乘法表，對解較大數字的乘法問題有幫助，年課程透過那些活動幫助學童熟練乘法表？（三）乘法問題 十十乘法表問題：（）問題：（）問題：（）問題：（）(1) 序列性合成運思的學童是否有能力解決問題？(2) 累進性合成運思的學童是否有能力解決問題？ 累進性合成運思的學童解問題時可能有那些解題策略？(3) 部份全體運思的學童是否有能力解決問題？部份全體運思的學童解問題時可能有那些解題策略？(4) 測量運思的學童解問題時可能有那些解題策略？(5) 何謂十十乘法表？試概略說明九九乘法表與十十乘法表的異同處？(6)

7、年課程要求學童自製十十乘法表，為何學童要熟練十十乘法表？(7) 試概略說明又十（百）與又十（百）倍的異同處？ 學童是否有能力自己發展出又二（多）十（百）倍的解題策略？ 試以問題為例說明之。(8) 不同運思的學童可能使用下列四種策略解問題。(a) 將被乘數與乘數都視為壹單位的描述。(b) 將被乘數與乘數都視為多單位的描述。(c) 將被乘數視為多單位的描述、乘數視為壹單位的描述。(d) 將被乘數視為壹單位的描述、乘數視為多單位的描述。 試以問題為例，概略描述學童如何透過上述策略解題？(9) 部份學童可能利用乘法對加法的（左、右）分配律解題。 學童是自己發現可以利用分配律解題，或是經過教師指導後才會

8、？ 乘法對加法的左分配律與右分配律，那一種概念比較簡單？（四）乘法算式 加法算式(1) 記錄應該確實反應解題活動，學童如何記錄問題的解題過程與結果？ 學童不會乘法算式，是否也能夠詳實地記錄問題的解題過程與結果？(2) 學童可以使用加法算式或圖像等方式來記錄乘法問題的解題活動與結果。為什麼人類還要發明乘法算式？乘法算式到底有那些好處？(3) 年課程如何引入乘法算式？乘法算式（乘號）的意義為何？(4) 年課程如何引入乘法算式？乘法算式（乘號）的意義為何？乘法算式是否也是摘要記錄？它摘要地記錄了什麼？試以問題為例說明之。(5) 年課程將乘法問題視為單位量轉換問題，為什麼還要透過語言的轉換引入乘法算式

9、（例如將個合起來是轉換成的倍是後，再引入乘法算式）？(6) 東方人與西方人對乘法算式意義的看法不同（東方人將單位量記在前面，而西方人將單位數記在前面）。 為什麼會產生不同的記法？數學界為何接受不同的記法？(7) 在未發展成人乘法算則之前，學童都使用加的方式解乘法問題，為什麼年課程常要求學童使用有號的算式記錄解題活動？(8) 學童解問題時有很多不同的解題策略，學童如何記錄他們的解題活動？ 何時，如何要求學童使用摘要紀錄或多步驟紀錄的格式記錄解題活動？（五）成人乘法算則(1) 何謂成人乘法算則？每個人心中的乘法算則是否相同？國小學童是否瞭解成人乘法算則的意義？試以問題為例說明之。(2) 年課程如何

10、引入成人乘法算則？學童是否只學會模仿計算的過程，但是不瞭解為什麼可以這樣算（只知其然，而不知其所以然）？(3) 年課程如何處理乘法教材？何時、如何幫助學童學習成人乘法算則？(4) 如果國小學童無法理解成人乘法算則的意義，站在溝通的立場，如何幫助學童看懂成人使用成人乘法算則解題的直式紀錄？(5) 在國小課程中是否需要討論被乘數與乘數是或的乘法問題？(6) 當學童使用成人乘法算則（只將被乘數視為多單位的描述）解題時，如何幫助學童使用直式紀錄的格式記錄解題過程與結果？ 學童使用直式紀錄的格式記錄解題過程與結果時，應有那些限制？(7) 當學童使用成人乘法算則（將被乘數與乘數都視為多單位的描述）解題時，

11、如何幫助學童使用直式紀錄的格式記錄解題過程與結果？（六）乘法交換律 乘法結合律 乘對加的分配律問題：一隻鉛筆賣元，買隻鉛筆要花多少錢？(1) 何謂乘法交換律？為什麼與的積數會相等？(2) 當學童將問題的解題過程與結果記成，或者將問題的解題過程與結果記成時。有的教師給分、有的教師不給分、有的教師給部份的分數。你是否會給分？試說出給分、不給分或部份給分的理由。(3) 乘法交換律是指每一個乘法問題都有兩種不同的解法（可以彈性地交換單位量與單位數的角色）。以問題為例：解題者能以一隻青蛙的腿數（條）為單位量來解題，也能以青蛙某一部位的腿數（條）為單位量（例如：隻青蛙有條左（右）前（後）腿）解題，因為這兩

12、種解法都是合理的解題策略，因此與的答案一定會相等。你同意這種說法嗎？或者提出你自己的看法。(4) 乘法交換律是指當我們成功的解決乘法問題後，可以有兩種不同的記法（一種是單位量寫在前面，另一種是單位數寫在前面）。以問題為例：當解題者以一隻青蛙的腿數（條）為單位量來解題時，可以記成，也可以記成。你同意這種說法嗎？或者提出你自己的看法。(5) 問題是否也有兩種不同的解法（單位量與單位數互換）？(6) 下面列出一些教師同意給分的理由： (a) 因為乘法滿足交換律。 (b) 因為算出來的答案都一樣。 (c) 因為西方人都是這樣記的。 (d) 學童可能使用分屍（以四肢為單位量）的方式解題。 (e) 個合起

13、來是，可以記成，也可以記成。 那些理由是你能夠接受的？那些理由是你不能夠接受的？(7) 下面列出一些教師不同意給分的理由：(a) 記錄應反應解題活動，個合起來是的記錄格式是，而不是。(b) 先出現的數字要先記，如果題目改成池塘有隻青蛙，一隻青蛙有條腿，池塘的青蛙共有幾條腿？時，就要記成。(c) 的單位是隻而不是條。 那些理由是你能夠接受的？那些理由是你不能夠接受的？(8) 何謂名數？何謂不名數？試說明在算式上加名數的意義？加減算式上可以加名數嗎？乘除算式上可以加名數嗎？(9) 何謂經驗？何謂察覺？何謂瞭解？年課程如何安排活動幫助學童經驗、察覺與瞭解乘法交換律？(10)試以乘法交換律為例，說明經驗乘法交換律、察覺乘法交換律與 瞭解乘法交換律的異同？ 多數成人是察覺乘法交換律（或混淆乘法紀錄格式的意義），或瞭解乘法交換律？(11)你希望提供機會或情境幫助