曲柄滑块机构的运动规律

1、1曲柄滑块机构的运动规律曲柄滑块机构的运动规律1 实验目的实验目的 着重介绍运用建立近似模型并进行数值计算来研着重介绍运用建立近似模型并进行数值计算来研究、讨论函数的方法。究、讨论函数的方法。 2 实验问题实验问题 曲柄滑块机构是一种常用的机械结构，它将曲柄的曲柄滑块机构是一种常用的机械结构，它将曲柄的转动转化为滑块在直线上的往复运动，是压气机、冲转动转化为滑块在直线上的往复运动，是压气机、冲床、活塞式水泵等机械的主机构。床、活塞式水泵等机械的主机构。2记曲柄记曲柄OQ的长为的长为r，连杆，连杆QP的长为的长为l， 当曲柄绕固定点当曲柄绕固定点O以角速度以角速度P在水平槽内作往复直线运动。 旋

2、转时，由连杆带动滑块假设初始时刻曲柄的端点假设初始时刻曲柄的端点Q位于水平线段位于水平线段OP上，上， 曲柄从初始位置起转动的角度为曲柄从初始位置起转动的角度为， 连杆连杆QP与与OP的锐夹角为的锐夹角为（称为摆角）。（称为摆角）。 3 在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的变在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的变化规律，化规律， 确切地说，要研究滑块的位移、速度和加速度关于确切地说，要研究滑块的位移、速度和加速度关于的函数关系，的函数关系， 摆角摆角及其角速度和角加速度关于及其角速度和角加速度关于的函数关系，的函数关系， 4（1）求出滑块的行程S（即滑块往复运动时左、右极限位置间的距离

3、）；（2）求出滑块的最大和最小加速度（绝对值），以了解滑块在水平方向上的作用力；（3）求出 的最大和最小角加速度（绝对值），以了解连杆的转动惯量对滑块的影响。 在求解上述问题时，我们假定 )(100 mmr )(3003mmrlmin)/(240 转58.3 数学模型 取O点为坐标原点，OP方向为x轴正方向，P在x轴上的坐标为x，那么可用x表示滑块的位移。 利用三角关系，立即得到222cossin(8.1)xrlrt(8.2)dxdx ddxdtddtd6222cossin(8.1)xrlr2222sincossin(8.3)sindxrrdlr 于是滑块的速度ddxdtdddxdtdxv22

4、2cossin1(8.4)sinrrlr 进而，可以得到滑块的加速度为7dddtda224232222(cos2sin)cos(8.5)(sin)r lrrlr 同样，基于关系式sinsin(8.6)lr我们有摆角的表达式arcsinsin(8.7)rl式（8.6）对t求导，coscoscosrdtdrdtdl8coscoslrdtd由此再得222sincoscos sin(8.9)cosddrdtdtl利用（8.6）， sinsin(8.6)lr不难由上两式导出222cos(8.10)sindrdtlr2222322222sin ()(8.11)(sin)drlrdtlr 9至此，我们得到了

5、滑块位移x和连杆摆角运动规律中有关变量依赖的表达式。滑块的加速度为224232222(cos2sin)cos(8.5)(sin)r lrarlr 2222322222sin ()(8.11)(sin)drlrdtlr 虽然我们已经得到了有关变量的解析式，但是要求出问题的解并非十分简单。由于滑块加速度和摆角角加速度的函数表达式（8.5）和（8.11）相当复杂，从这两个式子来了解这两个量并不方便，而要用它们进一步求出极值则更加不易（当然，可以借助数学软件来进行，我们把这一点留给读者）。10 由于数学模型本身是对实际问题的抽象，从而也必定有某种简化和忽略。即使我们得到了问题的解析形式解，一般说来，它

6、仍然是对实际情况的近似。为了方便起见，对较为复杂的解析模型进行近似处理常常是必要的。事实上，在曲柄连杆结构（以及不少工程问题）的研究中，确实经常使用着这个方法。 8.4 近似模型将位移的表达式（8.1）改写为222cossin(8.1)xrlr21222sin1coslrlrx(1)1,1(8.12)aa 11一般而言，22lr是远比1小的数， 滑块位移的近似模型为 221cossin(8.13)2rxrll 从而有相应的近似速度 2sin2sin2111lrrdtdddxdtdxsinsin2(8.14)2rrl和近似加速度211coscos2(8.15)drardtl 这里速度和加速度是直

7、接对近似位移模型求导得来，而不是对v和a的精确表达式（8.4）和（8.5）的近似。 12 当然，我们也可以直接从滑块速度的解析式（8.4）进行近似。 222cossin1(8.4)sinrvrlr 仍利用公式（8.12） (1)1,1(8.12)aa 22221222222sin211sin11sin1lrllrlrl把上式代入（8.4），就得到滑块速度的近似模型2222sin21cos1sinlrlrr13323sin2sinsin2sin(8.16)24rrrll 从（8.16）出发，又可得近似加速度32232242cossin22(sin2coscoslrlrra）(8.17)对摆角可以

8、利用幂级数展开的Maclaurin公式3arcsin,1(8.18)6arcsinsin(8.7)rl得到摆角的近似模型。 粗略一些，可以取 1sin(8.19)rl而必要时，可以取 3323sinsin(8.20)6rrll141sin(8.19)rl3323sinsin(8.20)6rrll相应的近似角速度为1cos(8.21)drdtl3223cossincos8.222drrdtll或（）近似角加速度为2212sin8.23drdtl （）2323223sin(sinsin2 cos )8.242drrdtll 或（）158.5 问题的解法和讨论滑块的位移和行程利用滑块位移的解析式（8

9、.1）和近似式（8.13）， 222cossin(8.1)xrlr221cossin(8.13)2rxrll 表8.1列出了从0到位移一些相应数值（单位：mm）。 考虑到对称性和周期性，只要计算这一区间中的函数值就可以了。16表8.1 mmx1x12/12/212/312/812/1012/110400.000400.000395.475395.476382.407382.436362.258362.377337.228337.500 .209.201209.231202.289202.291200.000200.000行程可以从表8.1中的值求得，17)(200200400mms从几何直观上

10、看也十分明显：,minmaxrlxrlx)(2002)()(mmrrlrls滑块的加速度及其最值利用精确表达式（8.5）和近似表达式（8.15）、（8.17）， 224232222(cos2sin)cos(8.5)(sin)r lrarlr 211coscos2(8.15)drardtl 322223cos2(sin 22sincos2cos8.174rrarll ）（）18计算滑块的加速度。注意加速度仍具有对称性和周期性。表8.2列出了一些相应的数值（单位：mm/s2）：表1.2 mm/s2a2a1a12/12/212/312/412/52/12/712/8084 220.684 220.6

11、84 220.679 463.679 461.579 247.565 837.465 815.365 230.545 302.045 249.644 664.721 086.821 055.221 055.22 739.22 684.81 885.922 332.422 224.921 055.235 436.135 381.734 582.742 078.642 110.342 110.31912/912/1012/1144 027.544 079.944 664.743 568.443 590.544 175.342 562.842 564.842 778.942 110.342 110.

12、342 110.3从表8.2中可以看出，用加速度的近似公式计算， 2a的结要相当好。 1a的结果稍微差一些， 考虑到在应用近似模型时，表达式的推导和有关计算工作量都将明显地减少，因此在某些情况下，这样的做法还是合适的。 加速度绝对值的最大值从表8.2立即得到。 无论用哪种模型，均在0 )/(6 .22084212smmaaa20至于加速度绝对值的最小值，显然是加速度的零点。 从表上看出：零点在124 125、之间。 运用方程求根的数值方法，例如Newton法，对于加速度的三种表达式，分别可以得出0,407. 02772. 1a时0,407. 02773. 12a时0,409. 02862. 11a时 因此在求加速度（绝对值）的最值时，近似模型也是十分有效的。21 我们有由摆角的精确模型导出的表达式（8.11）和由近似模型导出的表达式（8.23）、（8.24），同样可以计算角加速度在各离散点的值。 摆角的角加速度和其最值2222322222sin ()(8.11)(sin)drlrdtlr 2212si