三平面与圆锥面的截线

1、平面与圆锥面的截线核心必知1. 平面与圆柱面的截线(1)椭圆组成元素：Fi, F2叫椭圆的焦点;CD叫椭圆的短轴.如果长轴为2a,短轴为2b，那么焦距2c = a2- b2.(2)如图(1), AB、CD是两个等圆的直径，AB / CD , AD、BC与两圆相切，作两圆的公切线EF，切点分别为 Fi、F2，交BA、DC的延长线于E、F，交AD于Gi，交BC于G?.设EF与BC、CD的交角分别为辰ft G?F i + G2F2 = AD : Gi G2 = AD ;G= cos $ = sin 0 .G2E ABCD看成是圆柱面的轴截面，将EB、DF如图，将两个圆拓广为球面，将矩形拓广为两个平面

2、 a EF拓广为平面y则平面y与圆柱面的截线是椭圆.即得定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆.2. 平面与圆锥面的截线(1)如图，AD是等腰三角形底边 BC上的高，/ BAD = a直线I与AD相交于点P,且 与AD的夹角为B 0 a , l与AB(或AB的延长线)、AC相交； B = a, l与AB不相交;B a，平面n与圆锥的交线为椭圆； B = a平面n与圆锥的交线为抛物线； B a时，由上面的讨论可知，平面n与圆锥的交线是一个封闭曲线设两个球与平面n的切点分别为F2,与圆锥相切于圆0、$.在截口的曲线上任取一点P,连接PFi、PF2.过P作母线交Si于Qi，交S2于Q2,于是PFi和PQi

3、是从P到上方球的两条切线，因此 PFi= PQi.同理，PF2 = PQ2.所以 PF 1+ PF2= PQ1+ PQ2= Q1Q2.由正圆锥的对称性，QiQ2的长度等于两圆 0、S2所在平行平面间的母线段的长度而与 P的位置无关，由此我们可知在3 a时，平面n与圆锥的交线是以Fi、F2为焦点的椭圆. I| 由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓广为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用与上节中定理1的证明相同的方法，即Dandelin双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决.变式训练2.在空间中，取直线

4、I为轴，直线I与I相交于0点，夹角为a, I围绕I旋转得到以0为顶点，I为母线的圆锥面，任取平面 n，若它与轴I的交角为R当n与I平行时，记3=0），求证:3=仏时，平面冗证明：如图，设平面n与圆锥内切球相切于点Fi,球与圆锥的交线为圆 S,过该交线的平面为n, n与n相交于直线 m.在平面n与圆锥的截线上任取一点P,连接PFi.过点P作PA丄m，交m于点A，过点P作n的垂线，垂足为 B,连接AB，则AB丄m,./ PAB 是n与n所成二面角的平面角连接点P与圆锥的顶点，与 S相交于点Qi,连接BQi,则/ BPQi= a, / APB = 3在 Rt APB 中，PB= FAcos 3 .在

5、 Rt PBQi 中，PB PQ cos. PQi= cos 3PB 一 PQi COS a .PACOS a又 PQ1= PF1,3. PFi ia = 3 pa - i ,即PFi = PA,动点P到定点Fi的距离等于它到定直线 m的距离，故当 a= 3时，平面与圆锥的交线为抛物线.本课时考点在高考中很少考查本考题以选择题的形式考查了平面与圆柱面的截线的形状， 是高考命题的一个新动向.已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成 45角，则截线椭圆的焦距为（A . 2 2B. 2C. 4 D. 4 .2命题立意本题主要考查平面与圆柱面的截线问题，同时考查椭圆的相关性质.解析选C由题意知，椭

6、圆的长半轴长 a = 缶 =2 2,sin 45短半轴长b = 2,则半焦距c= a2- b2=8-4= 2.所以焦距2c= 4.一、选择题1. 下列说法不.正确的是（）A .圆柱面的母线与轴线平行B .圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C.圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角 有关D .平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径解析：选D 显然A正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，确，C显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确.2. 过球面上一点可以作球的 （）A .一条切线和一个切平面B .两条切线和一个切平面C.无数

7、条切线和一个切平面D .无数条切线和无数个切平面解析：选C 过球面上一点可以作球的无数条切线，并且这些切线在同一个平面内，球面上一点可以作一个球的切平面.3. 球的半径为3,球面外一点到球心的距离为6,则过该点的球的切线和过切点的半径所成的角为（）B . 60C. 90 D.不确定解析：选C 由平面内圆的切线垂直于过切点的半径,我们推广到空间中仍有球的切线垂直于过切点的球的半径， 因为切线与过切点的半径仍相交，故可以转化为平面图形， 因而可以利用平面图形的性质来解决.4. 一圆锥面的母线和轴线成 30角，当用一与轴线成 30的不过顶点的平面去截圆锥 面时，所截得的截线是（）A 椭圆 B 双曲线

8、C.抛物线 D .两条相交直线 解析：选C 如图可知应为抛物线.、填空题5. 一平面与半径为 3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦球球心的距离为10,则截面与圆柱面母线的夹角的余弦值为 解析：因为两焦球的球心距即为椭圆的长轴长， 所以2a= 10，即a = 5又椭圆短轴长 2b= 6，即b = 3, c= 4.故 e= cos45.答案：46,则圆柱6. 平面与圆柱面的母线成45角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为面的半径为解析:由 2a = 6,即 a = 3,又 e= cos 45得b = c= ea= 22x 3 =，即为圆柱面的半径.答案：晋7.设圆锥面V是由直线I绕直线l旋转而得,I与I交点为V, I与I的夹角为（0 a 90 ）,不经过圆锥顶点V的平面n与圆锥面V相交，设轴I与平面n所成的角为3,则:，平面，平面，平面，平面n与圆锥面的交线为圆;n与圆锥面的交线为椭圆;n与圆锥面的交线为双曲线;n与圆锥面的交线为抛物线.a 仟90 3AB,115即 Xj+ + X2 + ；3 , X1 + X24