231平面向量基本定理

1、灵感不过是灵感不过是“顽强的劳动而获得顽强的劳动而获得的奖赏的奖赏” 复习复习: :共线向量基本定理：共线向量基本定理： 向量向量 与向量与向量 共线共线当且仅当有唯一一个实数当且仅当有唯一一个实数 使得使得(0)a a bab1e2e OCABMNa11eOM22eON 设设 是同一平面内的两个不共线的向量，是同一平面内的两个不共线的向量， 是这一平面内的任一向量，是这一平面内的任一向量，问：与问：与 之间有怎样的关系？之间有怎样的关系？21,eea21,eea2211eeONOMa1e2e1e2e12 . aee 当 与 或 共线时aa1220aee 1 120aee ？怎怎样样构构造造平

2、平行行四四边边形形况况时时，的的位位置置如如下下图图两两种种情情改改变变 aa1e2eAOCBNMO Oa1e2eCABNM1 12212(0,0)aee 1 12212(0,0)aee ？怎怎样样构构造造平平行行四四边边形形况况时时，的的位位置置如如下下图图两两种种情情改改变变 a1e2eaAOBNMC C1 12212(0,0)aee 一、平面向量基本定理一、平面向量基本定理:如果如果 是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量，那么对于这一平面内的任一向向量，那么对于这一平面内的任一向量量 有且只有有且只有一对实数一对实数 ,使使21ee、a21、2211eea12 .e e

3、其中 ， 叫做表示这一平面内所有向量 一组基底的 ?思考1 平面内用来表示一个向量的基底有多少组（有无数组）（有无数组）BAOMa1e2eOMaABxy基底不唯一，关键是不共线。基底不唯一，关键是不共线。12,? 思考2、若基底选取不同 则表示同一向量的实数是否相同BAOMa1e2eOMaABxy2123eea yxa423 mnnma23 基底给定时，分解形式唯一，基底给定时，分解形式唯一，即即 唯一确定唯一确定21，探究定理内涵:1. 基底基底 、 条件：条件：1e2e不共线向量不共线向量2.基底组数：基底组数：无数组无数组123.定理中定理中 、 的值是否唯一的值是否唯一?基底给定时，分

4、解形式唯一基底给定时，分解形式唯一. 1，2是被唯一确定的数量。是被唯一确定的数量。强调平面向量基本定理强调平面向量基本定理:如果如果 是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量，向量，那么对于这一平面内的任一向量那么对于这一平面内的任一向量 有且只有有且只有一一对实数对实数 ,使使21ee 、a21、2211eea？若若 与与 中中只有一个为零，只有一个为零，情况会是怎样？情况会是怎样？21特别的，若特别的，若 a = 0 ，则有且只有，则有且只有 ：可使可使 0 =11e2e2+.21= 0练习：下列说法是否正确？练习：下列说法是否正确？1.在平面内只有一对基底在平面内只有一对基

5、底.2.在平面内有无数对基底在平面内有无数对基底.3.零向量不可作为基底零向量不可作为基底.4.平面内不共线的任意一平面内不共线的任意一 对向量对向量,都可作为基底都可作为基底. 已知平行四边形已知平行四边形ABCD中中,M,N分别是分别是BC,DC的中点且的中点且 ，用，用 表示表示 . bADaAB ,ba,ANAM,ADBCMNbaBMABAM解：DNADANbaADABBCAB212121abABADDCAD212121例例1（利用基底（利用基底来表示向量）来表示向量）二、向量的夹角二、向量的夹角:OABba两个非零向量两个非零向量 ， ab和和 的的夹角夹角ab夹角的范围：夹角的范围：180 OABab90 OAB ab注意注意:起点相同起点相同(0180 )AOB叫做向量叫做向量0 OABab同向同向反向反向a与与b垂直垂直,记作记作ab 例例:如图，等边三角形中，求如图，等边三角形中，求 (1)AB与与AC的夹角；的夹角； (2)AB与与BC的夹角。的夹角。ABC60C0