利用MATLAB分析圆环电流的磁场分布

1、第 29卷第 1期V ol 129 N o 11长春师范学院学报 (自然科学版 Journal of Changchun N ormal University (Natural Science 2010年 2月 Feb. 2010利用 MAT LAB 分析圆环电流的磁场分布王玉梅 , 孙庆龙(陕西理工学院物理系 , 陕西汉中 723003摘 要 根据毕奥 萨伐尔定律推导出圆环电流磁场分布的积分表示 , 利用 M AT LAB 的符号积分给出计算结果 , 并绘制磁场分布的三维曲线 。 在数值结果中选取一些代表点讨论磁场的分布规律 。关键词 圆环电流 ; 磁场 ; M AT LAB ; 符号积分

2、; 三维绘图中图分类号 O4-39 文献标识码 A -04收稿日期 2009-08-18作者简介 王玉梅 (1975- , 女 , 山西芮城人 , 陕西理工学院物理系讲师 , 从事大学物理教学与研究 。毕奥 , 强度 。 , 可以计算任意形状的电流所产生的磁场 。 , 利用 MAT LAB 软件进行计算 , 并绘制磁场分布的三维曲线 , 最 后对结果进行讨论 1 圆环电流在空间任一点的磁场分布图 1 圆环电流磁场分析用图如图 1所示 , 根据毕奥 萨伐尔定律 , 任一电流元 Id l _在 P 点产生的磁感应强度 d B _=4_×e _r 2, 1其中 r _和 r _ 分别为 P

3、 点相对于坐标原点和电流元 Id l _的位矢 , r _ 为电流元 Id l _相对于坐标原点的位矢 。r _ =r _+r _ , r _ =x i _+y j _+z k _,r _ =R (cos i _+sin j _(其中 R 为圆环电流半径 ,d l _=Rdcos (+2 i _+sin (+2j _=Rd (-sin i _+cos j _ 。 根据圆环电流的电流分布特点 , 可知在图 1中以 z 轴上某点为圆心 、 圆面平行于圆环电流的圆周上各点的磁场大小相同 , 方向表述也应该相同 , 那么 P 点的坐标为 (x , 0, z 的 结果也具有普遍性 。 因此有 :d B

4、_=4_×e _r 2=4r3z cos i _+z sin j _+(R -x cos . dB x =4r 3z cos , B x = dB x = 204r3z cos d . (1 dB y =4r 3z sin , B y = dB y = 204r3z sin d . (2 dB z =4r 3(R -x cos , B z = dB z = 204r 3(R -x cos d . (3其中 r =x 2+z 2+R 2-2Rx cos. 2 利用 MAT LAB 进行积分计算02211 利用 MAT LAB 进行积分计算对于 (1 、 (2 、 (3 , 可利用 MA

5、T LAB 中的符号积分进行积分运算 2, 下面是计算的程序代码 。 syms sita x z R %定义 sita 、 x 、 z 、 R 为变量 R =1; %计算中圆环半径 R 取为 1mf =R 3z 3cos (sita /(R.2+x.2+z.2-23R 3x 3cos (sita .1.5 ; g =R 3z 3sin (sita /(R.2+x.2+z.2-23R 3x 3cos (sita .1.5 ; h =R 3(R -x 3cos (sita /(R.2+x.2+z.2-23R 3x 3cos (sita .1.5 ;Bx =int (f , sita ,0,23pi

6、 ;By =int (g , sita ,0,23pi ; Bz =int (h , sita ,0,23pi ; %计算积分在计算积分时 , 对各式中的系数 4可不考虑 , 因为该系数并不会影响磁场的分布特征 。程序运行后 :Bx =-23(E llipticK (23(1/(1+x 2+z2+23x 3x (1/ 3-E (+x2+z2+23x 3x (1/2 3x 2-23E llipticK (23(1/(1+x 2+z2+2 3(1+x 2+z2+23x 3x (1/2 3z2-E llipticE (3(1/(1x 2+(2(1/(1+x2+z2+23x 3x (1/2 -E 3+

7、 x (23z2 3(1+x2+z2-23x /(1+x2+z2+23x (1/2x 223(3/2 /;By =0;Bz =23(E llipticK (23(1/(1+x 2+z2+23x 3x (1/2 3x2-E llipticE (23(1/(1+x2+z2+23x 3x (1/2 3x 2-23E llipticK (23(1/(1+x 2+z2+23x 3x (1/2 3x -E llipticE (23(1/(1+x2+z2+23x 3x (1/2 3z2+E llipticK (23(1/(1+x 2+z2+23x 3x (1/2 +E llipticK (23(1/(1+x

8、2+z2+23x 3x (1/2 3z2+E llipticE (23(1/(1+x 2+z2+23x 3x (1/2 3(1+x 2+z2-23x /(1+x 2+z2+23x (1/2 /(1+x 2+z2-23x (3/2 ; 212 利用 MAT LAB 进行三维绘图对于 E llipticE (x 和 E llipticK (x 两种形式 , 在 Matlab 中 , 可用函数 m fun ( E llipticE ,x 和 m fun ( E llipticK , x 3来计算其数值结果 。并用 surfl (x ,z ,Bx 和 surfl (x ,z ,Bz 命令绘制出磁场在径

9、向和轴向的三维分布图 , 如图 2和图 3所示。 图 2圆环电流径向磁场分布图 图 3 圆环电流轴向磁场分布图部分程序代码如下 :x,z =meshgrid (0:0.03:2, -1:0.03:1 ;12Bz =2. 3(m fun ( E llipticK , (2. 3(1. /(1+x.2+z. 2+2. 3x . 3x . (1/2 . 3x. 2-m fun ( E llipticE , (2 3(1. /(1+x.2+z.2+2. 3x . 3x .(1/2 . 3x.2-23m fun ( E llipticK , (23(1. /(1+x.2+z.2+2. 3x . 3x .

10、(1/2 . 3x -m fun ( E llipticE , (23(1. /(1+x. 2+z. 2+2. 3x . 3x . (1/2 . 3z. 2+m fun ( E l 2 lipticK , (23(1. /(1+x.2+z.2+2. 3x . 3x .(1/2 +m fun ( E llipticK , (23(1. /(1+x. 2+z. 2+2. 3x . 3x .(1/2 . 3z.2+m fun ( E llipticE , (23(1. /(1+x. 2+z. 2+23x . 3x . (1/2 . 3(1+x. 2+z. 2 -2. 3x . /(1+x.2+z.2

11、+2. 3x .(1/2 . /(1+x.2+z.2-2. 3x .(3/2 ; 4surfl (x ,z ,Bz ;xlabel ( x ;ylabel ( z ;zlabel ( Bz ;3 结果分析311 圆环电流磁场方向分析从积分结果知 , 圆环电流在坐标为 (x ,0,z 点所产生的磁场在 y 轴上的分量 By =0, 说明圆环电流周围任一 点的磁场方向在由该点和圆环电流的轴向所决定的平面内 (在本例中即 x oz 面内 ,向 (圆环电流的径向 , 如上边的 x 方向 这两个垂直方向上来312 圆环电流磁场大小分析从图 2和图 3来看 , , 往周围扩 展 , z =0,x =1附近

12、取了一些点的磁场计算结果如 表 1所示 。 。表 1 z =0,x =1附近一些点的磁场数值z x Bx (×103 Bz (×103-0. 0020 0. 99800. 99901. 00001. 00101. 0020-0. 5005-0. 8004-1. 0000-0. 7996-0. 49950. 5075 0. 4074 0. 0073 -0. 3926 -0. 4926-0. 0010 0. 99800. 99901. 00001. 00101. 0020-0. 4004-1. 0005-2. 0000-0. 9995-0. 39960. 8080 1. 008

13、1 0. 0080 -0. 9919 -0. 79200 0. 99800. 99901. 00001. 00101. 0020NaN1. 00832. 0090 NaN -1. 9910 -0. 99170. 0010 0. 99800. 99901. 00001. 00101. 00200. 40041. 00052. 00000. 99950. 39960. 8080 1. 0081 0. 0080 -0. 9919 -0. 79200. 0020 0. 99800. 99901. 00001. 00101. 00200. 50050. 80041. 00000. 79960. 4995

14、0. 5075 0. 4074 0. 0073 -0. 3926 -0. 4926从表 1可知 , 在圆环上 (z =0,x =110000 ,B 为无穷大 。 这是因为与该位置电流元对应的 r =0所致 。 313 圆环电流所在的平面磁场分析22从表 1中可知 , 在 z =0处 , 即在圆环电流所在面上 (除环上各点 的磁场在径向无分量 , 磁场方向在轴向 上 。 表 2给出了圆环电流所在面上一些点的磁场数值结果 。表 2 圆环电流所在面上的磁场 Bz (×103x Bz x Bz x Bz x Bz从表 2知环内 (x <11000 的 >, ( , 与毕奥 萨 ,

15、 。从表 3, 趋向于无穷大 。 在圆环内部 ,x =01999时 ,B 为 210090;x =01998时 , B 减小为 110084; =01980时 ,B 已减小为 011060。 即在 0199901991区域 , 磁场迅速减小 , 而在 019900区 域 , 磁场缓慢减小 , 越接近圆心 , 减小程度越缓慢 , 圆心的磁场最弱 。在圆环外部 , x =11001时 ,B 为 -119910;x =11002时 ,B 为 -019917;x =11010时 ,B 为 -011753。 即在 1100111009区域 , 磁场迅速减小 。在 x >11009区域 , 磁场逐渐

16、减小 , 而且随着 x 增加变化越缓慢 。若以圆环边界 (即 x =11000 为准 , 把圆环内外对称点 (例如 x =01998和 x =11002两点 的磁场比较 , 可以 发现环外磁感应强度比环内略小 。 这是由于在环内 , 所有电流元的磁场方向都相同 , 而在环外对应点 , 电流元 产生的磁场方向并不都相同 , 因此叠加后总的磁场要比环内略小 。4 结束语对圆环电流产生磁场的分布进行分析 , 根据毕奥 萨伐尔定律推导出磁场分布的积分表示 , 再利用 MAT 2 LAB 的符号积分可以方便地计算出积分结果 , 绘制出磁场分布曲线 , 直观地揭示出了磁场的分布规律 。而且只 要圆环电流已

17、知 , 它周围任一点的磁场都可以给出确切的表示 。 一方面对工程实际应用载流圆环及类似载流 圆环 (如亥姆赫兹线圈 、 螺线管等 的磁场具有一定的指导意义 5; 另一方面也说明了 MAT LAB 强大的数学分析 和绘图功能可以很好地应用于物理学研究中 。参 考 文 献 1马文蔚 . 物理学 (中册 M.北京 :高等教育出版社 ,2001.2苏金明 . 王永利 . Matlab7. 0实用指南 M.北京 :电子工业出版社 ,2004.3云舟工作室 . M AT LAB6数学建模基础教程 M.北京 :北京人民邮电出版社 ,2001.4陈怀琛 . Matlab 及其在理工课程中的应用指南 M.西安

18、:西安电子科技大学出版社 ,2004:292-295.5王晓颖 , 李武军 . 载流圆环空间磁场分布的研究 J.西安工业大学学报 ,2004(3 .Analysis on the Magnetic Field Distribution of Ring E lectric Current with MAT LABW ANG Y u -mei ,S UN Qing -long(Physics Department ,Shaanxi University of T echnology ,Hanzhong 723003,China Abstract :This paper derives the integral representation of the magnetic field distribution of circular current according to Biot -Savart Law ,gives the com puted results using the symbolic integration of MAT LAB ,and draws the three -