第二节　矩形、菱形、正方形

1、第二节矩形、菱形、正方形A组根底题组一、选择题1.(2019重庆A卷)以下命题正确的选项是()A.平行四边形的对角线互相垂直平分B.矩形的对角线互相垂直平分C.菱形的对角线互相平分且相等D.正方形的对角线互相垂直平分2.(2019甘肃兰州)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ADB=30°,AB=4,那么OC=()A.5B.4C.3.5D.33.(2019贵阳)如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EFCB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为()A.24B.18C.12D.94.(2019天津)如图,把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点

2、为B',AB'与DC相交于点E,那么以下结论一定正确的选项是()A.DAB'=CAB'B.ACD=B'CDC.AD=AED.AE=CE5.(2019河南信阳一模)小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了一道题,从以下四个条件:AB=BC;ABC=90°AC=BD;ACBD中选两个作为补充条件,使ABCD为正方形(如图),现有以下四种选法,你认为其中错误的选项是()A.B.C.D.6.(2019河南开封一模)如图,矩形ABCD的顶点A,D分别落在x轴、y轴上,OD=2OA=6,ADAB=31,那么点C的坐标是()A.(2,7)B.(3,7)C.(3

3、,8)D.(4,8)7.(2019河南信阳一模)如图,将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中,使点M,N分别在AB,AD边上滑动,假设MN=6,PN=4,在滑动过程中,点A与点P的距离AP的最大值为()A.4B.213C.7D.8二、填空题8.(2019河南安阳一模)如图,在菱形ABCD中,BAD=100°,点E为AC上一点,假设CBE=20°,那么AED=°. 9.(2019江苏南京)如图,菱形ABCD的面积为120 cm2,正方形AECF的面积为50 cm2,那么菱形的边长为cm. 10.(2019黑龙江哈尔滨)如图,在矩形ABCD中,M为BC

4、边上一点,连接AM,过点D作DEAM,垂足为E,假设DE=DC=1,AE=2EM,那么BM的长为. 11.(2019河南平顶山一模)如图,在矩形ABCD中,AB=6,E,H分别为AD,CD的中点,沿BE将ABE折叠,假设点A恰好落在BH上的F处,那么AD=. 12.(2019河南洛阳一模)如图,在菱形ABCD中,A=60°,AD=3,点P是对角线AC上的一个动点,过点P作EFAC交AD于点E,交AB于点F,将AEF沿EF折叠,点A落在G处,当CGB为等腰三角形时,那么AP的长为. 13.(2019广东)如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线.

5、将DCB绕点D顺时针旋转45°得到DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG,那么以下结论:四边形AEGF是菱形;AEDGED;DFG=112.5°BC+FG=1.5.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号) 三、解答题14.(2019河南许昌一模)如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,连接DE、BF.(1)求证:ADECBF;(2)假设ADB是直角,那么四边形BEDF是什么特殊四边形?证明你的结论.15.(2019河南新乡一模)如图,AD是等腰ABC底边BC上的高,点O是AC中点,延长DO到E,使AEBC,

6、连接AE.(1)求证:四边形ADCE是矩形;(2)假设AB=17,BC=16,那么四边形ADCE的面积=; 假设AB=10,那么BC=时,四边形ADCE是正方形. B组提升题组一、选择题1.(2019河南中考押题最后三卷第二模拟)如图,AB=8,点C是线段AB上一动点(不与点A,B重合),以AC为边作正方形ACMN,以BC为边作菱形BCDE(正方形ACMN与菱形BCDE在AB的同侧),连接MD.当E=60°时,CDM面积的最大值为()A.8B.6C.42D.42.(2019广东深圳)如图,正方形ABCD的边长是3,BP=CQ,连接AQ,DP交于点O,并分别与边CD

7、,BC交于点F,E,连接AE,以下结论:AQDP;OA2=OE·OP;SAOD=S四边形OECF;当BP=1时,tanOAE=1316,其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4二、填空题3.(2019河南商丘一模)矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E为AD的中点,点P为线段AB上一个动点,连接EP,将APE沿EP折叠得到EPF,连接CE,CF,当ECF为直角三角形时,AP的长为. 4.(2019河南驻马店中招模拟、林州一模)一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B,C重合),经过点

8、O、P折叠该纸片,得点B'和折痕OP(如图1),经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB'上,得点C'和折痕PQ(如图2),当点C'恰好落在OA上时,点P的坐标是. 图1图2三、解答题5.(2019河南周口一模)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是边BC,AB上的点,且CE=BF.连接DE,过点E作EGDE,且EG=DE,连接FG,FC.(1)请判断:FG与CE的数量关系是,位置关系是; (2)如图2,假设点E,F分别是边CB,BA延长线上的点,其他条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请判断并给予证明;(3)如图3,假设点E,F分别是边

9、BC,AB延长线上的点,其他条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请直接写出你的判断.6.(2019江西)在菱形ABCD中,ABC=60°,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化.(1)如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是,CE与AD的位置关系是; (2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?假设成立,请予以证明;假设不成立,请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理);(3)如图4,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE,假设AB=23,BE=219,求四边形A

10、DPE的面积.图4答案精解精析A组根底题组一、选择题1.D平行四边形的对角线互相平分,不一定垂直,选项A错误;矩形的对角线互相平分且相等,不一定垂直,选项B错误;菱形的对角线互相垂直平分,不一定相等,选项C错误;正方形的对角线互相垂直平分,选项D正确.应选D.2.B因为四边形ABCD为矩形,所以AC=BD,OC=12AC.ADB=30°,故在直角三角形ABD中,BD=2AB=8,所以AC=8,所以OC=12AC=4,应选B.3.AE是AC的中点,AC=2AE.EFCB,BCEF=ACAE=2,BC=2EF=6,菱形ABCD的周长为6×4=24.应选A.4.D由折叠知,EAC

11、=BAC,ABCD,ECA=BAC,EAC=ECA,AE=CE.应选D.5.B选项A,四边形ABCD是平行四边形,当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,当ABC=90°时,菱形ABCD是正方形,故此选项正确;选项B,四边形ABCD是平行四边形,当ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形,当AC=BD时,无法得出四边形ABCD是正方形,故此选项错误,符合题意;选项C,四边形ABCD是平行四边形,当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,当AC=BD时,菱形ABCD是正方形,故此选项正确;选项D,四边形ABCD是平行四边形,当ABC=90°时,平行四边形ABCD

12、是矩形,当ACBD时,矩形ABCD是正方形,故此选项正确.应选B.6.A过C作CEy轴于E,四边形ABCD是矩形,CD=AB,ADC=90°,ADO+CDE=CDE+DCE=90°,DCE=ADO,CDEDAO,CEOD=DEOA=CDAD,OD=2OA=6,ADAB=31,OA=3,CDAD=13,CE=13OD=2,DE=13OA=1,OE=7,C(2,7),应选A.7.D如下图,取MN的中点E,在滑动过程中,PAAE+PE,所以当点A、E、P三点共线时,AP最大.在RtPNE中,PN=4,NE=12MN=3,根据勾股定理得PE=32+42=5,在RtAMN中,AE为斜

13、边MN上的中线,AE=12MN=3,那么AP的最大值为AE+EP=3+5=8.应选D.二、填空题8.答案70解析四边形ABCD是菱形,BCD=BAD=100°,ACD=12BCD=50°.由菱形的对称性得CDE=CBE=20°,AED=ACD+CDE=70°.9.答案13解析连接BE,EF,FD,AC,菱形、正方形均为轴对称图形,对角线所在直线是其对称轴,B,E,F,D在同一条直线上,S正方形AECF=12AC·EF=12AC2=50 cm2,AC=10 cm,S菱形ABCD=12AC·BD=120 cm2,BD=24 cm.设AC,

14、BD的交点为O,由菱形的性质可得ACBD,AO=5 cm,OB=12 cm,AB=OA2+OB2=52+122=13 cm.10.答案255解析BAM+EAD=90°,EAD+EDA=90°,BAM=EDA.又B=AED=90°,ADEMAB,AEBM=DEAB,即AEBM=11.AE=BM.由AE=2EM可设EM=x,AE=2x(x>0),那么BM=2x,在RtABM中,由勾股定理可知(2x+x)2=12+(2x)2,解得x=55(舍负),BM=255.11.答案62解析如图,连接EH,点E,H分别是AD,CD的中点,AE=ED,CH=DH=12CD=12

15、AB=3.由折叠得AE=FE,FE=DE.在RtEFH和RtEDH中,EH=EH,EF=ED,RtEFHRtEDH(HL),FH=DH=3,BH=BF+HF=AB+DH=6+3=9,在RtBCH中,BC=92-32=62,AD=BC=62.12.答案1或3-32解析在菱形ABCD中,A=60°,AD=3,AC=3,BC=3.当CG=BC=3时,AG=AC-CG=3-3,AP=12AG=3-32.当GC=GB时,cos 30°=12BCGC,易知GC=1,AG=2,AP=12AG=1,故答案为1或3-32.13.答案解析由题意可知DGHDCB,DH=DB,DHG=DBC=45

16、°,DGH=DCB=90°,DG=DC=AD,又DAC=45°,DAC=DHG,AFEG.在RtAED和RtGED中,ED=ED,AD=GD,RtAEDRtGED,ADE=GDE,故正确.在ADF与GDF中,AD=GD,ADF=GDF,FD=FD,ADFGDF,AF=GF,DGF=DAF=45°,又DBA=45°,FGAE,四边形AEGF是平行四边形,又AF=GF,平行四边形AEGF是菱形,故正确.GDF=12ADB=22.5°,DGF=45°,DFG=112.5°,故正确.FG=AE=HA=HD-AD=BD-AD

17、=2-1,BC+FG=1+2-1=2,故不正确.综上所述,正确的结论是.三、解答题14.解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,AD=BC,AB=CD,A=C.E、F分别为边AB、CD的中点,AE=12AB,CF=12CD,AE=CF.在ADE和CBF中,AD=BC,A=C,AE=CF,ADECBF(SAS).(2)四边形BEDF是菱形.证明如下:易知BE=DF.又ABCD,四边形BEDF是平行四边形.连接EF.在ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,DFAE,DF=AE.四边形AEFD是平行四边形,EFAD.ADB是直角,ADBD,EFBD.又四边形BEDF是平行四边形,四边形BE

18、DF是菱形.15.解析(1)证明:点O是AC的中点,AD是等腰ABC底边BC上的高,DO为ABC的中位线,DOAB,又AEBC,四边形ABDE为平行四边形,AE=BD=DC,AEDC,四边形ADCE是平行四边形,AD是等腰ABC底边BC上的高,ADC=90°,四边形ADCE是矩形.(2)120;102.B组提升题组一、选择题1.D如图,过点D作DFCM,交CM的延长线于点F,设AC=x(0<x<8),那么BC=8-x.四边形BCDE是菱形,E=60°,CD=BC=8-x,DCB=E=60°,四边形ACMN是正方形,CM=AC=x,ACM=90°

19、;,MCD=90°-60°=30°,在RtCDF中,DF=12CD=12(8-x),SCDM=12CM·DF=12x·12(8-x)=-14(x-4)2+4.-14<0,当x=4时,SCDM有最大值,且最大值为4,应选D.2.C四边形ABCD是正方形,AD=BC,DAB=ABC=90°.BP=CQ,AP=BQ.在DAP与ABQ中,AD=AB,DAP=ABQ,AP=BQ,DAPABQ.P=Q.Q+QAB=90°,P+QAB=90°,AOP=90°,AQDP.故正确.ADO+P=ADO+DAO=90&#

20、176;,DAO=P.又DOA=AOP=90°,DAOAPO,AOOD=OPOA,AO2=OD·OP.AE>AB,AE>AD,ODOE,OA2OE·OP.故错误.在CQF与BPE中,FCQ=EBP,CQ=BP,Q=P,CQFBPE,CF=BE,DF=CE.在ADF与DCE中,AD=CD,ADC=DCE,DF=CE,ADFDCE.SADF-SDFO=SDCE-SDOF,即SAOD=S四边形OECF.故正确.BP=1,AB=3,AP=4.PD=5.EBPDAP,PBEB=PADA=43,EB=34,QE=134.易知QOEPAD,QOPA=OEAD=QEP

21、D=1345.QO=135,OE=3920.AO=5-QO=125.tanOAE=OEOA=1316.故正确.应选C.二、填空题3.答案1或94解析如下图,当CFE=90°时,ECF是直角三角形.由折叠可得PFE=A=90°,AE=FE=DE,CFP=180°,即点P、F、C在一条直线上.在RtCDE和RtCFE中,CE=CE,ED=EF,RtCDERtCFE(HL),CF=CD=4.设AP=FP=x,那么BP=4-x,CP=x+4.在RtBCP中,BP2+BC2=PC2,即(4-x)2+62=(x+4)2,解得x=94,即AP=94.如下图,当CEF=90

22、76;时,ECF是直角三角形.过F作FHAB于H,作FQAD于Q,那么FQE=D=90°.又FEQ+CED=90°,ECD+CED=90°,FEQ=ECD.FEQECD.FQED=QEDC=EFCE,即FQ3=QE4=35,解得FQ=95,QE=125.AQ=HF=35,AH=95.设AP=FP=x,那么HP=95-x,RtPFH中,HP2+HF2=PF2,即95-x2+352=x2,解得x=1,即AP=1.综上所述,AP的长为1或94.4.答案11+133,6或11-133,6解析把OPB沿OP折叠,使点B落在点B'处,BP=PB',OB=OB&

23、#39;=6,OBC=OB'P=90°.把CPQ沿PQ折叠,使点C落在OA上的点C'处,CP=C'P,CQ=C'Q,PC'Q=C=90°.设BP=B'P=x,那么PC=PC'=11-x,B'C'=11-2x.BCAO,1=POA.1=2,2=C'OP.OC'=PC'=11-x.在RtOB'C'中,OC'2=OB'2+B'C'2,62+(11-2x)2=(11-x)2.解得x=11±133.点P的坐标为11+133,6或11-133,6.三、解答题5.解析(1)FG=CE;FGCE.(2)成立.证明:过点G作GHCB的延长线于点H.EGDE,GEH+DEC=90°.GEH+HGE=90°,DEC=HGE.在HGE与CE