北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试(理科数学)

1、北京市朝阳区20102011学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理科）2011.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1设全集，则是（A）（B）（C）（D）2要得到函数的图象，只要将函数的图象（A）向左平移单位（B）向右平移单位（C）向右平移单位（D）向左平移单位3设，是三个不重合的平面，是直线，给出下列命题若，则；若上两点到的距离相等，则；若，则；若，且，则.其中正确的命题是（A）（B）（C）(D)4下

2、列函数中，在内有零点且单调递增的是 （A）（B）（C）(D)5已知数列的前n项和为，且, 则等于（A） 4（B）2（C）1（D）-26.若为不等式组 表示的平面区域，则从-2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为（A）（B）（C） (D)7在中，是的中点，点在上且满足，则等于（A）（B）（C） (D) 8如图，正方体中，分别为棱，上的点. 已知下列判断：平面；在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；在平面内总存在与平面平行的直线；平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，与点的位置无关. 其中正确判断的个数有（A）1个 （B）2个（C）3个 （D）4个第二部分（非选择题 共1

3、10分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9已知，则.10如图，是的直径，切于点，切于点，交的延长线于点.若，则的长为_.11曲线（为参数）与曲线的直角坐标方程分别为， ，两条曲线的交点个数为个.12.已知一个正三棱锥的正视图如图所示，则此正三棱锥的侧面积等于. 13已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是.14已知数列满足：，定义使为整数的数叫做企盼数，则区间内所有的企盼数的和为.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（本小题满分

4、13分）已知中，. （）求角的大小；20070316 （）设向量，求当取最小值时，值.16（本小题满分13分）CABP如图，在三棱锥中，侧面为等边三角形，侧棱（）求证：；（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值17（本小题满分13分）已知函数.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，讨论的单调性.18（本小题满分13分）已知函数（为实数，），（）若，且函数的值域为，求的表达式；（）在（）的条件下，当时，是单调函数，求实数的取值范围；（）设，且函数为偶函数，判断是否大于？19（本小题满分14分）设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，三点的圆恰好与直线

5、：相切. 过定点的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）.xOyQA··F2F1 （）求椭圆的方程；（）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形. 如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由；（）若实数满足，求的取值范围.20（本小题满分14分）已知函数（，为常数，）.（）若时，数列满足条件：点在函数的图象上，求的前项和；（）在（）的条件下，若，（），证明：；（）若时，是奇函数，数列满足，求证：.北京市朝阳区20102011学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理科）参考答案一选择题：题号12345678答案BCDBADAB二填空题：题号9

6、1011121314答案3 ,2三解答题：15（本小题满分13分）解：（）因为，所以. 3分因为，所以.所以. 5分因为，所以. 7分（）因为， 8分所以. 10分所以当时，取得最小值.此时（），于是.12分所以. 13分16（本小题满分13分）CABPED解：（）设中点为，连结，1分因为，所以.又，所以. 2分因为，所以平面.因为平面，所以.4分（）由已知，所以，. 又为正三角形，且，所以. 6分因为，所以. 所以.由（）知是二面角的平面角.所以平面平面.8分（）方法1：由（）知平面.过作于，连结，则.所以是二面角的平面角.10分在中，易求得.因为，所以. 12分所以.即二面角的余弦值为.

7、13分方法2：由（）（）知，两两垂直.9分以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.易知，.xCABPDyz所以，. 10分设平面的法向量为，则 即令，则，.所以平面的一个法向量为. 11分易知平面的一个法向量为.所以. 12分由图可知，二面角为锐角.所以二面角的余弦值为. 13分17（本小题满分13分）（）解：当时，.所以，. （求导、定义域各一分） 2分因此. 即曲线在点处的切线斜率为1.3分又，4分所以曲线在点处的切线方程为.5分（）因为，所以，.7分令，当时，当时，此时，函数单调递减；8分当时，此时，函数单调递增.9分当时，由即解得，. 此时，所以当时，此时，函数单调递减；10分时，此时，

8、函数单调递增；11分时，此时，函数单调递减.12分综上所述：当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；在上单调递减.13分18（本小题满分13分）解：（）因为，所以.因为的值域为，所以2分所以. 解得，. 所以.所以4分（）因为 =， 6分所以当 或时单调.即的范围是或时，是单调函数8分（）因为为偶函数，所以. 所以10分因为， 依条件设，则.又，所以.所以. 12分此时.即13分19（本小题满分14分）（）解：因为，所以为中点.设的坐标为，因为，所以，且过三点的圆的圆心为，半径为. 2分因为该圆与直线相切，所以. 解得，所以，.故所求椭圆方程为. 4分（）设的方程为（），由 得.设，则. 5分所以. =.由于菱形对角线互相垂直，则. 6分所以.故.因为，所以. 所以即.所以解得. 即.因为，所以.故存在满足题意的点且的取值范围是. 8分（）当直线斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程得.由，得. 9分设，则，. 又，所以. 所以. 10分所以，.所以. 所以.整理得. 11分因为，所以. 即. 所以.解得.又，所以.13分又当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时，所以.所以，即所求的取值范围是. 14分20（本小题满分14分）（）解：依条件有.因为点在函数的图象上，所以. 因为， 所以是首项是，公差为的等差数列. 1分所以. 即数列的前项和.