动态电路的时域分析56二阶电路的零输入响应561二阶

1、第五章动态电路的时域分析§5.6 二阶电路的零输入响应二阶电路的初始条件初始条件在二阶电路的分析进程中起着决定性作用，个方面。第一，在分析电路时，要始终仔细考虑电容两端电压向；第二，电容上的电压总是连续的，即uC (0 )uC (0 )流过电感的电流也总是连续的，即确定初始条件时，必须注意以下几uC 的极性和流过电感电流iL 的方（ 5-31 ）uL (0 ) iL (0 )（ 5-32 ）确定初始条件时，首先要用（ 5-31 ）和（ 5-32 ）式确定没有突变的电路电流，电容电压和电感电流的初始值。R L C 串联电路的零输入响应如图 5-37 所示为 RLC串联电路。开关 S 闭

2、合前，电容已经充电， 且电容的电压 uCU 0 ，电感中储存有电场能，且初始电流为I 0 当 t 0 时，开关S 闭合，电容将通过RL 放电，其中一部分被电阻消耗， 另一部分被电感以磁场能的形式储存，之后磁场能有通过R 转换成电场能，如此反复；同样，也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能，并如此反复，当然也可能不存在能量的反复转换。SRit0uRCuCLuL图 5-37 RLC 串联电路的零输入响应由图 5-37 所示参考方向，据KVL 可得uCuRuL0且有 i CCduC， uR RiRCduCdid 2uC。将其代入上式得dtdt， uL LLC2dtdtLC d 2uCRC duC

3、uC0dt 2dt式（ 5-33 ）是 RLC串联电路放电过程以uC 为变量的微分方程，为一 个线性常系数二阶微分方程。如果以电流 i 作为变量，则RLC串联电路的微分方程为90第五章动态电路的时域分析LC d2 iRC dii 0（ 5-34 ）dt 2dt在此，仅以 uC 为变量进行分析，令 uCptAe ，并代入（5-33 ），得到其对应的特征方程LCp 2RCp 10求解上式，得到特征根为R21P1R2L2LLC2（ 5-35 ）R1P2R2L2LLC因此，电容电压uC 用两特征根表示如下：uC A1ep1 tA2 ep 2t（ 5-36 ）从式（ 5-35 ）可以看出，特征根p1 、

4、 p2 仅与电路的参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。 p1 、 p2 又称为固有频率， 单位为奈培 每秒（ N P / s），它与电路的自然响应函数有关。根 据 换 路 定 则 ， 可 以 确 定 方 程 （ 5-33 ） 的 初 始 条 件 为 u（C0 ） u（C0 ） U 0 ，i (0 ) i (0 ) I 0 ，又因为 iCC du C ，所以有 CduCI 0。将初始条件和式 （ 5-36 ）dtdtC联立可得A1A2U 0（ 5-37 ）A1 p1A2I 0p2C首先讨论有已经充电的电容向电阻电感放电的性质，即U 00且I0 0。有A1p2U 0p2p1（ 5-38 ）p1

5、U 0A2p2p1将 A1 、A2 的表达式代入 （5-36 ）式即可得到RLC串联电路的零输入响应，但特征根p1 、奈培是一个无量纲单位，以奈培（John Napier,英格兰数学家）的名字命名。91第五章动态电路的时域分析p2 与电路的参数R、 L、 C 有关，根据二次方程根的判别式可知p1 、 p2 只有三种可能情况，下面对这三种情况分别讨论1. R 2 L ，过阻尼情况C在此情况下，p1 、 p2 为两个不相等的实数，电容电压可表示为uCU 0p2ep1 tp1ep2 t（ 5-39 ）p2p1根据电压电流的关系，可以求出电路的其他响应为iC duCCU 0 p1 p2 ep1 tep

6、2 tdtp2 p1U 0p1 )(ep1tep 2 t )L( p2uL L diU 0p1ep1tp2ep2 tdtp2p1其中利用了p1 p21的关系。LC由于 p1p2 ，因此 t0 时， e p1tep2t，且p2p1p1p2p2 p1（ 5-40 ）（ 5-41 ）0 。所以 t0 时 uC一直为正。 从（ 5-40 ）可以看出， 当 t0时， i 也一直为正， 但是进一步分析可知，当 t 0时， i (0 ) 0 ，当 t时， i ()0 ，这表明 i (t ) 将出现极值，可以求一阶导数得到，即p1ep1tp2ep2 t0故tmaxp21ln p2p1 p1其中 tmax 为电

7、流达到最大的时刻。uC、 i、 u L 的波形如图5-38 所示。92第五章动态电路的时域分析uC ,uL ,iU 0uCit maxo2tmaxtuL图 5-38过阻尼放电过程中uC 、 i 、 uL 的波形从图 5-38 可以看出，电容在整个过程中一直在释放储的电能，称之为非振荡放电，有叫做过阻尼放电。当ttm 时电感吸收能量，建立磁场；t tm 时，电感释放能量，磁场衰减，趋向消失。当 tt m 时，电感电压过零点。2. R2L ，欠阻尼情况C当 R2L 时，特征根 p1 、 p2 是一对共轭复数，即Ck12p1R2LjjLCLC（ 5-42）k12p2R2LjjLCLC其中：R称之为振

8、荡电路的衰减系数；LC12RLC称之为振荡电路的衰减角频率。2L01称之为无阻尼自由振荡角频率，或浮振角频率。LC222，令arctan，则有0 cos ，0 sin ，如图 5-39显然有 0所示。093第五章 动态电路的时域分析图 5-39， ， ，0 之间的关系根据欧拉公式jecosj sin（ 5-43 ）jcosj sine可得0 ejjp1， p20 e所以有uCU 0p2ep1 tp1ep 2 tp2p1=U 00e j ej t0ej ej tj 2=U 00 e t e jte jtj 2=U 00 et sin(t)（ 544）根据式（ 5-40 ），（ 5-41 ）可知i

9、U 0et sin(t )（ 5-45 ）LU 0uL0 et sin(t)（ 5-46 ）从上述情况分析可以看出，uC 、 i 、 uL 的波形呈振荡衰减状态。在衰减过程中，两种储能元件相互交换能量，如表5-2所示。 uC 、 i 、 uL 的波形如图5-40 所示。uC ,u L , iU 0uCio22tu L图 5-40 欠阻尼情况下 uC 、 i 、 u L 的波形表 5-20t0tt电容释放释放吸收电感吸收释放释放94第五章动态电路的时域分析电阻消耗消耗消耗从欠阻尼情况下uc 、 i 、 uL 的表达式还能得到以下结论：（ 1）tk， k0,1,2,3.为电流 i 的过零点，即uC

10、 的极值点。（ 2）（ 3）tk， k0,1,2,3.为电感电压uL 的过零点，即电流i 的极值点。tk， k0,1,2,3.为电容电压uC 的过零点。在上述阻尼的情况中，有一种特殊情况，k0 , 此时 p1 、 p2 为一对共轭虚数，p1 j0p2j 0代入到（ 5-44 ），（ 5-45 ），（ 5-46 ）式可得uCU 0 sin(0t)（ 5-47 ）2iU 0C sin(0t)（ 5-48 ）LuL U 0 sin(0t)（ 5-49 ）2由此可见， uc 、i 、uL 各量都是正弦函数， 随时推移其振幅并不衰减。其波形如图 5-41所示uC , uL ,iU 0U 0CLo20tu

11、 Cu LU 0图 5-41 LC零输入电路无阻尼时uC 、 i 、 u L 波形3. R 2 L ，临界阻尼情况C在此条件下，特征方程具有重根，即p1p2R22L全微分方程（5-33 ）的通解为uC( A1A2t )e 2 t根据初始条件可得95第五章动态电路的时域分析A1U 0A22U 0所以，很容易得到uC U 0 (1 t )e t（ 5-50 ）iCduCU 0t et（ 5-51 ）dtLuLL diU 0 e t (1t )（ 5-52 ）dt显然， uC 、 i 、 uL 不作振荡变化，随着时间的推移逐渐衰减，其衰减过程的波形与图5-38 类似。此种状态是振荡过程与非振荡过程的

12、分界线，所以将 R2L 的过程称为临界C非振荡过程，其电阻也被称之为临界电阻。§5.7二阶电路的零状态响应如果二阶电路中动态元件的储能（电容储存电场能与电感储存的磁场能）均为零时， 其响应仅由外施激励产生，称为二阶电路的零输入响应。5.7.1 R L C串联电路的零状态响应电路如图 5-47所示，开关 S 闭合前，电容和电感电流均为零。t 0时，开关 S 闭合。SRLit0u RU SCuC图 5-47RLC串联电路的零状态响应以 uC 为电路的变量，根据VCR和 KVL，有d 2uCduCLCdt 2RC dtuCU s（ 5-63 ）方程（ 5-64 ）为二阶常系数非齐次微分方程

13、，其解由两部分组成，一部分为非齐次方程的特解 uCU S ，另一部分为对应齐次方程的通解uCAe pt ，即 uCuCuC 。方程（ 5-63 ）对应的齐次微分方程96第五章动态电路的时域分析LC d 2uCRC duCuC 0（ 5-64 ）dt 2dt方程（ 5-64 ）与方程（ 5-33 ）完全相同，其对应的特征方程的根也有三种情况。将结论分别表示如下1. R 2 L ，非振荡充电过程C电路响应表示为uCU S( p2ep1tp1ep 2 t ) U Sp1p2iU S(ep1tep2 t )L( p1p2 )uLU S( p1ep1 tp2ep 2 t )p1p2其中 p1 、 p2

14、为特征根，表达式与（5-35 ）式相同。 uL 、 i 和 uC 的波形如图5-48 所示，uC ,uL ,iU SuCit maxo2tmaxtuL图 5-48 uL 、 i 和 uC 的波形图其中 t m ax1lnp2t m ax ，是电感电压过零点，也是电流i 达到最大值的时刻。p 2p1p12. R 2 L ，振荡充电过程C电路响应表示为uCuC (12t )e 2tU Si U S te 2tLuLuSet (1t)97第五章动态电路的时域分析其中R ，此情况下的充电过程也为非振荡充电。2L5.7.2 RLC并联电路的零状态响应二阶 RLC并联电路如图 5-49所示，uC ( 0

15、) 0 ， iL (0 ) 0 。 t0 时，开关 S 断开。根据 KCL有iCiR i Li Si Si RiLiCt 0 SRuRLCuCu L图 5-49 RLC 并联电路的零状态响应如果以 iL 为待求变量，则有LC d2 iLL di Li L iS（ 5-65 ）dt 2R dt方程以（ 5-65 ）是二阶线性非齐次常微分方程，与（5-63 ）式的求解过程相同，其通解由特解 iL 和对应齐次微分方程通解i L 两部分组成。 如果 is 为直流激励或正弦激励，则取稳态解 iL为特解而通解 i L 与零输入响应形式相同，其积分常数有初始条件来确定。§5.8二阶电路的全响应在前

16、两节中所讨论的二阶电路中，要么只有初始储能，要么只有外施激励。分别得到二阶微分方程求解的方法非常相似。如果二阶电路既有初始储能又接入了外施激励，则电路的响应称为二阶电路的全响应。分析一阶电路的全响应的方法在二阶电路中同样适用，一般用零输入响应与零状态响应叠加来计算全响应。例 电路如图5-51 所示，已知 uC (0 )0 ， i L (0 )0.5A ， t0时开关 S 闭合，求开关闭合后电感中的电流iL (t ) 。98第五章动态电路的时域分析R 51St 0C 1F10VuCL 2Hi L0图 5-51例 5-12图解： 开关 S 闭合前，电感中的电流iL (0)0.5A ，具有初始储能；开关S 闭合后，直流激励源作用于电路，故为二阶电路的全响应。（ 1）列出开关闭合后的电路微分方程，列结点KVL 方程有10diL2LLC di LdtiLRdt2即RLC d 2i LL di LRiL10dt 2dt将参数代入得d 2iL1 di L1 Ri L1dt 25 dt2设电路全响应为 i L (t) iLi L（ 2）根据强制分量计算出特解为iL102()5A（ 3）为确定通解，首先列出特征方程为p21 p1052特征根为：p10.1j 0.7p20.1j 0