高二自招圆锥曲线讲义

1、1（2009海淀）椭圆上有4个点，与相互垂直平分于原点O（1）当A处于第一象限，且的斜率为1时，求直线的方程；（2）求四边形面积的最小值2已知圆，若椭圆的右顶点为圆的圆心，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）若存在直线，使得直线与椭圆分别交于两点，与圆分别交于两点，点在线段上，且，求圆半径的取值范围解：（I）设椭圆的焦距为，因为，所以，所以 所以椭圆：4分（II）设（，），(，)由直线与椭圆交于两点，则所以 ，则，6分所以7分点（，0）到直线的距离则9分显然，若点也在线段上，则由对称性可知，直线就是轴，矛盾，所以要使，只要所以11分当时，12分当时，又显然, 所以综上，14分3已知椭圆的离心率为

2、，定点，椭圆短轴的端点是、，且（1）求椭圆的方程；（2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由（）解：由 ， 得 2分依题意是等腰直角三角形，从而，故4分所以椭圆的方程是 （）解：设，直线的方程为将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得 所以 ，若平分，则直线，的倾斜角互补，所以 设，则有 将 ，代入上式，整理得 ，所以 将，代入上式，整理得 由于上式对任意实数都成立，所以 综上，存在定点，使平分4（2014北京）已知椭圆（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论椭圆的

3、标准方程为：，则，离心率;直线与圆相切证明如下：法一：设点的坐标分别为，其中因为，所以，即，解得当时，代入椭圆的方程，得,故直线的方程为圆心到直线的距离此时直线与圆相切当时，直线的方程为，即圆心到直线的距离又，故此时直线与圆相切法二：由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，当时，易知，此时直线的方程为或，原点到直线的距离为，此时直线与圆相切；当时，直线的方程为，联立得点的坐标或；联立得点的坐标，由点的坐标的对称性知，无妨取点进行计算，于是直线的方程为：，即，原点到直线的距离,此时直线与圆相切。综上知，直线一定与圆相切法三：当时，易知，此时，原点到直线的距离，、此时直线与圆相切；当时，直

4、线的方程为，设，则，联立得点的坐标或；于是，,，所以,直线与圆相切；综上知，直线一定与圆相切5（2009山东）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解：（）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，椭圆的标准方程为（）设，联立得，又，因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，即，解得：，且均满足，当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点所以，直线过定点，定点坐标为6（2009山东高考理科数学）设椭圆（）过

5、，两点，为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求出的取值范围；若不存在，请说明理由设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,

6、设该圆的切线方程为解方程组得,即,则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且因为,所以, 当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”当时,当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: 7（江苏）已知抛物线与圆（）相交于四个点（1）求的取值范围；（2）当四边形的面积最大时，求对角线的交点的坐标（1）由题意可知，所以圆欲与抛物线

7、有四个交点，必处于轴的右侧，则；（2）设，由圆及抛物线的对称性可知：点、分别处于第四、一象限，为其对角线，由对称性知，四边形为等腰梯形，即，所以两对角线的交点即直线与轴的交点；设直线的方程为：，易知由题意可知由韦达定理可知-设到直线的距离分别为，则，-由可知-由-由可得到-联立可知，其中所以令，根据导数的性质，可知此时有最大值将代入式可解得由题意可知所以直线方程：令，所以，所以交点8（2013山东）椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设F1PF2的角平分线

8、PM交C的长轴于点，求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k0，试证明为定值，并求出这个定值(1)解：由于c2a2b2，将xc代入椭圆方程，得，由题意知，即a2b2又，所以a2，b1所以椭圆C的方程为(2)解法一：设P(x0，y0)(y00)又F1(，0)，F2(，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为lPF1：y0x(x0)yy00，lPF2：y0x(x0)yy00由题意知由于点P在椭圆上，所以，所以因为m，2x02，可得所以m因此解法二：设P(x0，y0)当0x02时，当时，直线PF2的斜率不存在，易知P或P若P，则直线PF1的方程为由题意得，因为m，所以若P，同理可得当x0时，设直线PF1，PF2的方程分别为yk1(x)，yk2(x)由题意知，所以因为，并且k1，k2，所以，即因为为m，0x02且x0，所以整理得m，故0m且m综合可得0m当2x00时，同理可得