第二章导数和微分

1、第二章 导数和微分微分学是微积分的重要组成部分.微分学的基本概念是导数和微分，导数反映函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则是描述当自变量有微小改变时，函数改变量的近似值.本章我们将详细讨论导数、微分的概念，建立导数与微分的基本公式和运算法则，解决初等函数的求导与微分问题.第一节 导数的概念一、 引例1.变速直线运动的速度设某质点沿直线运动,在时刻时,质点所在位置,当时间从时刻变化到时,质点经过的路程为,则质点在到时间段内的平均速度为.当很小时,可用近似表示物体在时刻的速度.当时,如果极限存在,则称此极限为质点在时刻的瞬时速度,即.2.切线问题设曲线的图形为图2-1,点为曲线上一定点,在曲

2、线上另取一点,作割线,当点沿曲线趋于时,如果割线绕点旋转而趋于极限位置,直线就称为曲线在点处的切线.当趋向时,其倾角也趋向切线倾角,因此切线的斜率为.图2-1二、导数的定义上面的两个问题,虽然实际意义各不相同,但讨论方法是一致的,所求量都归结为时的极限.一般地,我们有如下导数的概念.定义 设函数在点的某邻域内有定义,若极限存在,则称函数在点处可导,并称这个极限值为函数在点处的导数,记为,或.即.令,则时有,因此.如果不存在,则称函数在处不可导.如果,此时在处不可导,但通常也说函数在处导数为无穷大.下面利用导数的定义计算：例1 已知求解：如果函数在开区间内每一点处都可导,就称函数在内可导,这时对

3、于任意,都对应着的一个确定的导数值,这样的对应关系就构成了一个新的函数,这个函数称为原来函数的导函数,简称为导数,记作,或.导函数定义为.函数在处的导数就是导函数在处的函数值,即.下面根据导数的定义求一些简单函数的导数.例2求函数(为常数)的导数.解,即 .例3 求函数(为正整数)的导数.解,.即 .后边我们将证明对一般幂函数(为任意实数)也有.例如,当时,.例4求函数的导数.解,即 .同理可得 .例5 求函数()的导数.解,即 .特别地,当时有.极限存在的充分必要条件是及都存在且相等,这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作,.左导数和右导数统称为单侧导数.由函数极限与其左、右极限

4、之间的关系可知，定理 函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等.如果函数在开区间内可导,且及都存在,则称在闭区间上可导.三、导数的几何意义函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处切线的斜率.即.其中是切线的倾角,参见图2-1.如果在点处可导,则曲线在点处切线方程为.过切点且与切线垂直的直线叫做曲线在点处的法线,如果,则法线方程为.特别地,若,则曲线在点处的切线方程为,法线方程为;若在处的导数为,则切线方程为,法线方程为.例6 求曲线在点处的切线方程和法线方程.解,则在点处切线斜率,所以切线方程为,即.法线方程为,即.四、函数的可导性与连续性的关系定理 如果函数在点处可导,则它在点

5、处一定连续.证 因为在点处可导,即,所以,故在点处一定连续. 定理证毕.注意 这个定理的逆命题不成立,即函数在某一点处连续,则在该点处未必可导.请看下面的例子.例7 设函数,讨论在处连续性及可导性.解 因为且，所以在处连续.由于,所以,显然,因此在处不可导.由以上讨论可知,函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件,但不是充分条件.习题2-11. 设,按定义求.2. 一物体的运动方程为,求该物体在时的瞬时速度.3. 求下列函数的导数:(1) ; (2) ;(3) ; (4) .4.求曲线在点处的切线方程和法线方程.5.讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性.(1) 在处;(2) 在处;(3) 在

6、处.6.设函数若函数在点处连续且可导,则和应取何值?7.已知函数求.8.单项选择题.(1)设在点处可导,则 . (A) ; （B）;（C）; （D）; (2)函数在点处连续是在点处可导的 .(A) 必要条件; (B) 充分条件;(C) 充分必要条件; (D) 既非充分又非必要条件.第二节 函数的求导法则用导数的定义求函数的导数是复杂的和困难的,从本节开始将介绍函数的求导法则,利用这些求导法则和基本初等函数的导数公式,可以比较方便地求出常见初等函数的导数.一、导数四则运算法则定理1 设函数及都在点处可导,那么它们的和、差、积、商（分母不等于0）也均在点可导，且. （2.1）（2.2）（2.3）证

7、 只证明（2.1）式，（2.2）和（2.3）可同样证明.令,则,所以.定理证毕.公式（2.1），（2.2）可推广到有限多个函数的情况，如推论1 设有限多个()在处均可导,则.推论2 设,在点处均可导,则.推论3 设在点处可导,为常数,则.例1设,求.解.例2 设,求.解例3设,求.解.即.类似可求得.例4设,求.解,即.类似可得.二、反函数的求导公式定理4 设函数在区间上单调、可导且,则它的反函数在对应区间上也单调、可导,且或.证 任取,给以增量,由的单调性知在上也单调,从而,于是.因为连续,所以也连续,故.从而. 定理证毕.例5,求.解,是,的反函数,故,即.类似可得下列导数公式:,.例6

8、求函数的导数.解函数是函数的反函数,因为,故,即.特别地,当时,.三、复合函数的求导法则定理5 设函数在点处可导,函数在对应点处可导,则复合函数在点处可导，且其导数为或.证 设取得增量,则取得相应的增量,从而取得相应的增量,即,当时,有.因为可导,则必连续,所以时,因此,即.当时,可以证明上述公式仍然成立.定理证毕.例7设函数,求.解是由,复合而成的,因为,所以.例8 设函数，求.解是由,复合而成的,故.当复合函数求导法则应用比较熟练后,可以不写出复合过程.例9 设函数,求.解 .例10设函数,求.解 .例11 设函数,求.解.例12 设,证明:(其中为任意实数).证 由于,所以.例13 设函

9、数,求.解.四、基本导数公式与求导法则1. 基本导数公式(1) ; (2) ,特别地,;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) ;(9) ; (10) ;(11) ; (12) ;(13) ; (14) ;(15) ; (16) .2.函数的和、差、积、商的求导法则设，均可导，则(1) ; (2) ;(3) ; (4) .3.复合函数的求导法则设,且,均可导,则或.例14 设函数,求.解.例15设函数,求.解.习题2-21.求下列函数的导数:(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) ;(9) ; (10) .2.求下列函数在给

10、定点的导数:(1)，求和；（2），求和. 3.求曲线的切线方程,使该切线平行于直线.4.求下列函数的导数:(1); (2);(3); (4);(5); (6) ;(7); (8).5.求下列函数的导数:(1); (2);(3); (4);(5); (6);(7); (8);(9); (10).6.求下列函数的导数:(1);(2).7.设可导,求.(1); (2);(3).第三节 高阶导数设一物体作直线运动,其速度是位移对时间的导数,而加速度又是速度的变化率,即.我们把导数的导数称为二阶导数.一般地,函数的导数仍是的函数,因此,如果在点处仍然可导,则在点处的导数称为在点处的二阶导数,记为或,即或

11、.类似地,二阶导数的导数称作的三阶导数,三阶导数的导数称为四阶导数,分别记为,.的导数称作的阶导数,记作,或.二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,相应地称为一阶导数.例1 求函数的各阶导数.解,一般地，若则例2 求函数的阶导数.解,特别地，例3 求的阶导数.解,.类似可得,.例4 求的阶导数.解,.如果函数及都在点处具有阶导数，那么显然及也在点处具有阶导数，且但乘积的阶导数并不如此简单.由首先得出用数学归纳法可以证明上式称为莱布尼兹（Leibniz）公式.例5求解 设则代入莱布尼兹公式，得习题2-31.求下列函数的二阶导数:(1); (2);(3); (4);(5); (6);(7); (8)

12、.2.求下列函数的导数值:(1),求;(2),求;(3),求.3.设二阶可导,求.(1); (2);(3); (4).4.验证函数满足关系式:.第四节 隐函数和参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数函数表示两个变量与之间的对应关系,这种对应关系可以用各种不同方式表达,如,这样的函数称为显函数.有些函数的表达式却不是这样的,例如方程表示一个函数,但这个函数关系是隐含在这一方程中的,这样的函数称为隐函数.一般地,如果变量和满足一个方程,在一定条件下,能确定是的函数,那么称方程确定了一个隐函数.与此相对应,具有形式的函数称为显函数.把一个隐函数化为显函数,称为隐函数显化.但有些隐函数显化是相当困

13、难的,如.下面通过具体例子说明不进行显化的隐函数求导方法.例1 求由方程确定的隐函数的导数.解 方程两边对求导并注意,则得,解得.例2 求由方程所确定的隐函数在处的导数.解方程两边对求导,有,由此得.因为当时,由原方程得,所以.例3求曲线在点处的切线方程.解 方程两边对求导,有,则,.于是曲线在点处的切线方程为,即.例4 求由方程所确定的隐函数的二阶导数.解 由原方程得.于是.上式两边对再求导,仍注意,得.例5设函数,求.解在两边取对数,得.将上式两边对求导,有.于是.例6 设,求.解 两边取对数,得,两边对求导,得.即.这种先取对数再求导的方法称为对数求导法.一般地,对幂指函数,以及经多次乘

14、、除、乘方和开方运算构成的函数，用对数求导法比较简便.二、由参数方程所确定的函数的导数.若与的函数关系是由参数方程确定的,则称此函数为由参数方程所确定的函数.在实际问题中,需要计算由参数方程所确定的函数的导数,但从参数方程中消去参数,有时会很困难.下面给出直接由参数方程求出它所确定的函数导数的方法.设，均可导，且有反函数，则由参数方程所确定的函数就是复合函数，利用复合函数及反函数的求导法则,得，即.如果,是二阶可导的,则由新的参数方程可得.例7 设求.解,于是 ().例8已知椭圆的参数方程求椭圆在处的切线方程.解当时,得点，在点处切线斜率为.于是,椭圆在点处的切线方程为或.例9 设求.解,于是

15、 .习题2-4 1.求下列方程所确定的隐函数的导数.(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) .2.求由方程所确定的隐函数在处的导数.3.求椭圆在点处的切线方程和法线方程.4.用对数求导法求下列函数的导数.(1) ; (2) ;(3) ; (4) .5.求下列参数方程所确定函数的导数.(1) (2) (3) (4) 6.求下列参数方程所确定的函数的二阶导数.(1) (2) 7.求曲线在处的切线方程及法线方程.第五节 函数的微分一、微分的定义引例 如图2-2所示,设有半径为的圆形金属薄片,受温度影响,半径改变了,这时面积的增量为,其中是的线性函数,是的高阶无穷小,因此,当很

16、小时,金属薄片的面积改变量.图 2-2定义 设函数在某区间内有定义,如果在点处给自变量一增量,函数的增量可表示为,其中是不依赖于的常数,则称函数在处是可微的,而叫做函数在点处相应于自变量增量的微分,记作,即.定理 函数在点处可微的充分必要条件是函数在点处可导,且.证 必要性 设函数在点处可微,即.上式两边同除以,得,所以,即函数在点处可导,且.充分性 设函数在点处可导,即.由极限与无穷小的关系,有,其中,故.因为与无关,且,所以函数在点处可微,且.定理证毕.通常把自变量的增量称为自变量的微分,记作,则函数在处的微分,从而有.因此,导数也叫做微商.微分的几何意义 曲线在点处的切线的方程为,由于,

17、所以,即就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量,见图2-3.当，且很小时,有.图2-3例1求函数当由1改变到1.01时的微分.解 函数的微分为.由已知条件,故.二、基本初等函数的微分公式与微分运算法则由可知,求微分,只要求出导数,再乘以即可.1.基本初等函数的微分公式(1); (2);(3); (4);(5); (6);(7); (8);(9); (10);(11); (12);(13); (14);(15); (16).2.函数和、差、积、商的微分法则(1); (2);(3); (4).三、微分的形式不变性设可导，这里是自变量，则微分另一方面，若及均可导,这里是中间变量，则复合函数的微分为由于

18、,所以.由此可见,无论是自变量还是中间变量,微分形式保持不变.这一性质称为微分的形式不变性.例2 设,求.解 因为,所以 .或者由微分的形式不变性，有例3 求的微分.解.四、微分在近似计算中的应用如果在点处可导,且,则当很小时,有,即.例4 利用微分求的近似值.解 令,取,由得.例5证明当较小时，.证取，则，即.当很小时，类似有下列近似公式（1） （2）（3） （4）习题2-51.求下列函数的微分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.2.设，求.3.计算下列函数值的近似值：（1）； （2）.4.证明当很小时下列近似公式成立：（1）； （2）.总习题二（A类） 1.设函数在点处可导,求和.2.讨论下列函数在指定点处的连续性及可导性:(1) 在处;(2) 在处.3.在抛物线上过横坐标为及的两点作割线,问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线?4.证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于.5.求下列函数的导数:(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) ;(9) ; (10) .6.求下列函数