冲激响应和阶跃响应

1、§ 2.2 冲激响应和阶跃响应? 冲激响应? 阶跃响应一冲激响应1定义系统在单位冲激信号(t )称为单位冲激响应， 简称冲激响应， 一般用 h(t)表示。作用下产生的零状态响应，2一阶系统的冲激响应例 2-5-1 一阶系统的冲激响应求下图 RC 电路的冲激响应。（条件： vC 00 ）th tHRiC (t )(t)CCv (t )解答列系统微分方程：dvC (t )vC (t)( t)RCd tt 0, t 0RC dvC (t )vC (t) 0d t冲激在t0体现），时转为系统的储能（由tvC ( 0 )t >0 时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统的冲激响应。求

2、解特征方程RC 10特征根1RCtvC (t)Ae RC u(t )t 0 时的解下面的问题是确定系数A,求 A 有两种方法：方法 1：冲激函数匹配法求出v，(定0系)数 A。C方法 2：奇异函数项相平衡法，定系数A。A1RC11tvC ( t)e RC u(t )11RCh( t )te RC u ( t )即:RC方法 1：求vC 0dCt据 方程可设d ta t b u tC ta u t代入方程得得出RCatRCbu ta u tt1RCa1即 aRC所以C 0C 011RCRC1t1把 C 0 代入 C tAe RC 得 ARC11C tte RCu tRC方法 2：奇异函数项相平衡

3、原理已知方程d vC (t )RCvC (t)(t )tvC (t)Ae RC u(t )冲激响应求导d vC (t)A1tA (t)RC u(t )d teRC注意其中(t) 项！1ttRCRC u( t)RCA( t)Ae RC u( t)(t)AeRC整理，方程左右奇异函数项系数相平衡RCA (t)(t )RCA 11ARCvC ( t) h(t )111波形th t vC (t)e RC u(t )RCRCiC (t)C d vC (t)d t1R2 C e注意其中(t) 项！OtiC (t )11t1O RtRCu(t)( t)R1R2 C电容器的电流在t =0 时有一冲激，这就是电

4、容电压突变的原因3 n 阶系统的冲激响应(1)冲激响应的数学模型对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示dn r( t)dn 1 r( t)d r(t)C0 d tnC1 d tn 1Cn 1 d tCn r(t)dm e( t)dm 1 e(t)d e(t )E0 d tmE1 d t m 1E m 1 d tEm e(t)响应及其各阶导数( 最高阶为 n 次 )令 e(t)= (t)激励及其各阶导数( 最高阶为 m 次 )C0 h n (t) C1h n 1 (t)Cn 1h 1 (t) Cnh(t )E0m (t ) E1m 1 (t )Em 11 (t) Em (t )(2)h(t

5、)解答的形式由于(t) 及其导数在t 0+时都为零， 因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。与特征根有关设特征根为简单根（无重根的单根）nh( t)Ai e i t u( t)i 1例 2-5-2d2 r(t )4d r( t)3r(t)d e(t )2e(t)d t 2d tdt解：将 e(t) (t)，r(t) h(t)d2 h(t)d h(t )d ( t)d t 24d t3h(t)d t2(t)求特征根243011,23n 2, m1, nmh t 中不包含冲激项冲激响应h( t) ( A1 etA2e3t带 u(t)u(t )求待定系数求 0+

6、法,奇异函数项相平衡法求 0+ 定系数d2 rtatb tc u td t 2设d r tatb u td trtau t所以： h(0+)=1 ,h (0+ )=2代入 h(t),得h 0A1A21A112h' 0A13A22A212用奇异函数项相平衡法求待定系数h( t )A1etA2e3tu(t )h (t )A1e A1tA2A2e (t)3 t(t)A1etA1e t3A2 e3 A2e3tu(t )3 tu( t)htA1A2tA13 A2tA1et9 A2e3 tu t将 h(t), h (t), h (t)代入原方程A1A2(t ) 3A1 A2 (t)0 u(t )(

7、t) 2 (t)A1A21A11根据系数平衡，得23A1A22A212h( t)1 e te 3 t u( t)2与 n, m 相对大小有关当 nm时， h t不含t 及其各阶导数；当 nm时， h t中应包含t ；当 nm时， h t应包含t 及其各阶导数。二阶跃响应1定义系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。e tr tg tHu tH系统的输入e(t)=u(t)，其响应为r(t)=g(t)。系统方程的右端将包含阶跃函数u(t) ，所以除了齐次解外，还有特解项。我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。2阶跃响应与冲激响应的关系

8、线性时不变系统满足微、积分特性阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限：ttttu( t)( t) d t g(t)h(t ) d t, 对因果系统：0三齐次解法求冲激响应（补充）令方程左端系数为1，右端只有一项n?n 1?dh( t)dh( t)d tnan 1d t n 1左端最高阶微分中含有(t)项(n-1)阶微分中含有u(t)项。可以由此定初始条件定初始条件0方程两端在积分0(t)时，冲激响应为?a0 h(t )( t)0? n0? n 1t d t0?0ht d t an 1 0ha0 0h(t) d t0(t ) dt0含(t)项有界函数，在无穷小区间积分为0积分为 1积分不为 0?n

9、 10? n 101? n 101hhh系统是零状态的，故?n10? n20?0hhh 0?n20? n30?0hhh 0由系统的线性时不变特性，原系统的冲激响应h(t) 为的线?性组合h t例 2-5-3已知系统d2 r (t )4d r( t)d e(t)，求d t 23r (t)d t2e(t) h(t) 。解答d t?tA2 e3 tu(t)?0h( t) A1eh 01h 0将边界条件代入?h t?1h( t)e2A13A21A11式2A1A20A212te 3 t u( t)?则由系统的线性时不变特性h(t)dh(t)dt2h(t)h t1e t3e 3 tu(t)1e t1e 3

10、 t(t)e te 3t u(t)22221e te 3 tu(t)2系统框图d2 r (t )d r (t )3r (t)d e(t )2e(t )d t 24d td te td2rtdrtrt2dt2dt两个加法器d4d t3d2 rtdr te t2dt2dtr t子系统交换4dd t32?dr t?e t2dr t?tr tdtdtr24d3d th ( n 1) (0 )1, h( 0 )h (0 )h ( 0 )h (n 2 ) (0 )0此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更有优越性。求冲激响应的几种方法方法 1：冲激函数匹配法求出跃变值，定系数A。0 0方法 2：奇异函数项相平衡法，定系数A。方法 3: 齐次解法求冲激响应。总结冲激响应的定