量子物理2_Schroedinger方程及其应用(氢原子)

1、 通过对氢原子量子特性的讨论，能使我们对通过对氢原子量子特性的讨论，能使我们对原子世界有一个较为清晰的图象。原子世界有一个较为清晰的图象。 氢原子是最简单的原子，原子核外只有一个氢原子是最简单的原子，原子核外只有一个电子绕核运动。量子力学对氢原子问题有完满的电子绕核运动。量子力学对氢原子问题有完满的论述，但是数学运算仍十分复杂，超过了大学物论述，但是数学运算仍十分复杂，超过了大学物理的教学要求理的教学要求 量子力学能够给出原子系统中电子状态的描量子力学能够给出原子系统中电子状态的描述并且自然地得出量子化的结果。述并且自然地得出量子化的结果。Shrdinger方程的应用（方程的应用（3）：氢原子

2、）：氢原子 氢原子由一个带正电的原子核（质子）和一个氢原子由一个带正电的原子核（质子）和一个电子所组成，电子在库仑引力场中运动，故电子的电子所组成，电子在库仑引力场中运动，故电子的势能函数为势能函数为 204eUr 氢原子核外电子的运动满足定态薛定谔方程氢原子核外电子的运动满足定态薛定谔方程220242eEmr 一、氢原子的定态薛定谔方程一、氢原子的定态薛定谔方程球坐标下的定态薛定谔方程球坐标下的定态薛定谔方程22211()(sin)sinrrrrr 222222012()0sin4meErr 由于库仑势场具有球对称性，采用球坐标由于库仑势场具有球对称性，采用球坐标 ， ( , , )r 它与

3、直角坐标它与直角坐标 间的关系为间的关系为( , , )x y zsincos , sinsin , cosxryrzr 在球坐标中的拉普拉斯算符为在球坐标中的拉普拉斯算符为 22222222111()(sin)sinsinrrrrrr 应用分离变量法，令应用分离变量法，令( , , )( ) ( ) ( )rR r 回代到定态的薛定谔方程，可得三个独立方程回代到定态的薛定谔方程，可得三个独立方程2220ldmd 221(sin) (1)0sinsinlmddl ldd 22222012(1)()()04ddRmel lrERr drdrrr 式中常数式中常数 l，ml 是在分离方程时引入的，

4、其物是在分离方程时引入的，其物理意义，有待讨论。理意义，有待讨论。二、三个量子数二、三个量子数22222012(1)()()04ddRmel lrERr drdrrr 求解方程求解方程1.能量量子化与主量子数能量量子化与主量子数主量子数主量子数 n = 1 ，2 ，3 ，422201()8nmeEnh 12En 213.6eVn 由量子力学得到的氢原子能级公式同玻尔理论由量子力学得到的氢原子能级公式同玻尔理论完全一致。氢原子的能量是量子化的，呈现为分立完全一致。氢原子的能量是量子化的，呈现为分立的能级。的能级。 根据波函数满足单值、有限和连续的条件，可根据波函数满足单值、有限和连续的条件，可得

5、氢原子的能量是量子化的得氢原子的能量是量子化的2. 角动量量子化角量子数角动量量子化角量子数 角量子数角量子数 l = 0 ，1 ，2 ， , n- -1(1)Ll l求解方程求解方程可得到电子绕核轨道角动量的大小可得到电子绕核轨道角动量的大小221(sin) (1)0sinsinlmddl ldd 表明轨道角动量也是量子化的。并且，角量子表明轨道角动量也是量子化的。并且，角量子数要受到主量子数的限制，处于能级数要受到主量子数的限制，处于能级En的原子，其的原子，其角动量共有角动量共有 n 种可能的取值。种可能的取值。 这一点与玻尔氢原子理论有所不同。这一点与玻尔氢原子理论有所不同。1s表示原

6、子的基态：表示原子的基态： n = 1，l = 0；2p表示原子处于第一激发态：表示原子处于第一激发态：n = 2，l = 1；3d表示原子处于第二激发态：表示原子处于第二激发态：n = 3，l = 2； 玻尔理论中玻尔理论中2hLnp 最小值为最小值为2hp而量子力学得出角动量的最小值为而量子力学得出角动量的最小值为0。实验证明，量子力学的结论是正确的。实验证明，量子力学的结论是正确的。 通常用主量子数和代表角量子数的字母一起通常用主量子数和代表角量子数的字母一起来表示原子的状态。来表示原子的状态。l = 0 l = 1 l = 2 l = 3 l = 4 l = 5 spdfghn = 1

7、 1sn = 2 2s 2pn = 3 3s 3p 3dn = 4 4s 4p 4d 4fn = 5 5s 5p 5d 5f 5gn = 6 6s 6p 6d 6f 6g 6h氢原子内电子的状态氢原子内电子的状态3. 角动量空间量子化与磁量子数角动量空间量子化与磁量子数 空间的特殊方向以外磁场来标定，则此式表明空间的特殊方向以外磁场来标定，则此式表明角动量在外磁场方向角动量在外磁场方向 z 的投影是量子化的，即的投影是量子化的，即空间空间量子化量子化。磁量子数磁量子数 ml = 0 , 1 , 2 , , l zlLm求解方程求解方程2220ldmd 可得电子的轨道角动量可得电子的轨道角动量

8、L在空间任一方向上的分量在空间任一方向上的分量磁量子数，共有磁量子数，共有 2l + 1个允许值。个允许值。 1cos llmLLlz ml = 0ml = 1ml = 2ml = 2ml = 1对每一个对每一个ml ，角动量，角动量L与与z 轴的夹角轴的夹角 应满足应满足 1896年，年，塞曼塞曼发现在磁场中光谱线分裂发现在磁场中光谱线分裂的现象。的现象。塞曼塞曼和和洛伦兹洛伦兹分别用经典理论作了分别用经典理论作了分析。分析。 为此，他们共同获得了为此，他们共同获得了1902年诺贝尔物年诺贝尔物理学奖。理学奖。 但只有量子力学才能对塞曼效应作出全但只有量子力学才能对塞曼效应作出全面解释。面解

9、释。塞曼效应塞曼效应v0光光源源摄谱仪摄谱仪实验现象实验现象 光源处于磁场中光源处于磁场中时，一条谱线会分裂时，一条谱线会分裂成若干条谱线。成若干条谱线。v0 +vv0 -vNSe对对z 轴（外磁场方向）投影轴（外磁场方向）投影 玻尔磁子玻尔磁子磁矩和角动量的关系磁矩和角动量的关系解释解释z2eeLm 2zzeeLm ()2leemm lBm 磁矩磁矩 L2Beem 由于磁场作用由于磁场作用, 原子附加能量为原子附加能量为 其中其中 ml = 0, 1, 2, , l 能能 级级 简简 并并 l = 1l = 0ml10-1EBB BB 0v0v0v0+vv0-v无磁场无磁场有磁场有磁场0 0

10、能级分裂能级分裂zB EB lBmB 有些元素，例如钠谱线在弱磁场中分裂为四有些元素，例如钠谱线在弱磁场中分裂为四条、六条谱线，这种现象称为反常塞曼效应。条、六条谱线，这种现象称为反常塞曼效应。 1926年，年，海森伯海森伯考虑了电子的自旋后，才用考虑了电子的自旋后，才用量子力学对反常塞曼效应给出了正确的说明。量子力学对反常塞曼效应给出了正确的说明。反常塞曼效应反常塞曼效应l = 2 求电子角动量的大小及空间取向。求电子角动量的大小及空间取向。解：例题1 ：ml = 0 , 1 , 2角动量在角动量在 z 方向的投影方向的投影角动量的大小角动量的大小2(21)L 62 , 0,2zL zlLm

11、(1)Ll lml = 0 , 1 , 2 , , l 磁量子数磁量子数三、氢原子核外的电子云三、氢原子核外的电子云22222012(1)()()04ddRmel lrERr drdrrr 求解方程求解方程得径向波函数得径向波函数0210022( )()()rnallnlnln lrrRrN eLnana 1.径向波函数径向波函数3302(1)!()2 ()!nlnlNnan nl 归一化常数归一化常数212110()!( )( 1)(1)!(21)! !kn llkn lknlxLxnlklkk 缔和缔和拉盖尔拉盖尔多项式多项式103/22raRea 2203/21(1)22rarReaa

12、2213/212 6rarReaa 23303/22221( ) 3273 3rarrReaaa 331328(1)627 6rarrRaaa 2332324( )81 30rarRaa ( )nlRr前几个波函数前几个波函数115.29 10ma玻尔半径玻尔半径( , )(cos )mimlmlmlYNPe ()!(21)()!4lmlmlNlm 2221( )(1)(1)2 !ml mmllll mdPxxxldx 球谐函数球谐函数归一化常数归一化常数缔和缔和勒让德勒让德多项式多项式其中其中求解角向方程，并把波函数中与角度有关的部分合并求解角向方程，并把波函数中与角度有关的部分合并 2.角

13、向波函数角向波函数imme 1( )2向也分离，向也分离，如果将如果将 向与向与 向波函数向波函数 ( , )( )( )lmlmmY zryx即将球谐函数分离即将球谐函数分离001( , )4Y 103( , )cos( )4Y 1 13( , )sin( )8iYe 2205( , )(3cos1)16Y 2sindrdrd d 体积元体积元区域内的概率为区域内的概率为( , , )r 按照波函数的物理意义，电子分布在点按照波函数的物理意义，电子分布在点附近，附近，2( , , )( , , )nlmnlmPrrd 若只讨论径向分布，上式对若只讨论径向分布，上式对 从从 积分，积分， 0

14、从从 积分，积分， 02 即即22200( )( , , )sinnlnlmPr drrrdrd d 22nlRr dr 3.电子云电子云电子云密度电子云密度 概率密度概率密度2( , , )nlmr 可见径向分布的概率密度为可见径向分布的概率密度为22( )nlnlPrRr 1s2s3snlRr22/r aimme 1( )2 向波函数向波函数 lmlmmY ( , )( )( )再看角向波函数再看角向波函数内出现的概率为内出现的概率为sindd d 电子在某一立体角电子在某一立体角2( , )( , )lmlmPdYd 2( , )( , )lmlmPY 概率密度概率密度 从角度波函数的形

15、式可知，从角度波函数的形式可知， 为常数，因而电为常数，因而电子的概率分布与子的概率分布与 无关，也就是说概率角向分布对无关，也就是说概率角向分布对于于 z 轴具有旋转对称性。轴具有旋转对称性。2( )( , )nllmPr P 将将 结合起来，就可以得到电子结合起来，就可以得到电子在原子核周围出现的概率分布了。在原子核周围出现的概率分布了。 为了形象地描绘电子的三维概率分布，通常将为了形象地描绘电子的三维概率分布，通常将概率大的区域用浓影、将概率小的区域用淡影表示概率大的区域用浓影、将概率小的区域用淡影表示出来，称为电子云图。出来，称为电子云图。 概率按角向的分布取决于角量子数概率按角向的分

16、布取决于角量子数 l 。l = 0 的的各个态电子的概率分布是球对称的。各个态电子的概率分布是球对称的。1s2sl0 的各个态，电子的概率分布则和的各个态，电子的概率分布则和角有关。角有关。ml = 0ml = 1n = 2 ; l = 1 电子云图并不表示电子像一团云雾罩在原子核电子云图并不表示电子像一团云雾罩在原子核周围，而是电子概率分布的一种形象化描述。周围，而是电子概率分布的一种形象化描述。 电子概率密度极大值出现在电子概率密度极大值出现在 r2 = 4a 处处 电子概率密度极大值出现在电子概率密度极大值出现在 r1 = a （玻尔半径）处（玻尔半径）处n = 1（基态）（基态）n = 2，l = 1时，时，l = n 1 时时电子概率密度极大值电子概率密度极大值出现在出现在 rn = n2