2014考研数一真题解析

1、2014 年全国研究生入学统一考试试题一、选择题:18 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)()下列曲线有渐近线的是(B) y = x2 + sin x(D) y = x2 + sin 1x(A) y = x +sin x(C) y = x + sin 1x】(C)【1xx= 1+ 0 = 1 ，又】关于C 选项： lim【1x1x= 0 ，所以 y = x + sin斜渐近线 y = x .lim故选(C).导数， g(x) = f (0)(1- x) + f (1)x ，则在区间0,1 上

2、(设函数 f (x) 具有(2)(A) 当 f (x) 0 时， f (x) g(x)(B) 当 f (x) 0 时， f (x) g(x)(C) 当 f (x) 0 时， f (x) g(x)】(D)(D) 当 f (x) 0 时， f (x) g(x)【】令 F(x) = g(x) - f (x) = f (0)(1- x) + f (1)x - f (x) ，则【F(0) = F(1) = 0 ,F(x) = - f (0) + f (1) - f (x) , F (x) =- f (x) .若 f (x) 0 ，则 F(x) 0 ， F (x) 在0,1 上为凸的.又 F(0) = F

3、(1) = 0 ，所以当 x 0,1 时， F(x) 0 ，从而 g(x) f (x) .故选(D).1- y1f (x, y)dx =设 f (x, y) 是连续函数，则 dy(3)()- 1- y201-x21x-10(A)dxf (x, y)dy +dxf (x, y)dy1-10001-x100(B)dxf (x, y)dy +dxf (x, y)dy-1- 1-x200p1cosq +sinqp1qf (r cosq , r sinq )dr +dqf (r cosq , r sinq )dr(C)d2p0002p1cosq +sinqp1qf (r cosq , r sinq )r

4、dr +dqf (r cosq , r sinq )rdr(D)d2p0002【】(D)【】1-x211- y011-xf (x, y)dx =dxf (x, y)dy +dxf (x, y)dydy- 1- y2-10000p1cosq +sinqp1qf (r cosq , r sinq )rdr +dqf (r cosq , r sinq )rdr .=d2p0002故选(D).(4) 若(x - a cos x - b sin x)2 dx = min(x - a cos x - b sin x)2 dx ，则11-a,bR-a1 cos x + b1 sin x =(A) 2sin

5、x()(C) 2p sin x(D) 2p cos x2cos x(B)】(A)】【pp(x - a cos x - b sin x) dx =(x - b sin x)2 - 2a cos x(x - b sin x) + a2x cos2 xdx2-p -pp=(x2 - 2bx sin x + b2 sin2 x + a2 cos2 x)dx-ppp=x dx + 2(b sin x + a cos x - 2bx sin x)dx22222-p0= 4(a2 + b2 ) p 1 - 4b p 2 + 2 p 32 223= p (a2 + b2 - 4b) + 2 p 33= p a

6、2 + (b - 2)2 - 4 + 2 p 33当a = 0,b = 2 时，积分最小.故选(A).20a0ca0c0b0d00b0d=(5)行列式()(A) (ad - bc)2】(B)(B) -(ad - bc)2(C) a2d 2 - b2c2(D) b2c2 - a2d 2【】由行列式的展开定理展开第一列0a0ca0c0b0d00b0dab d000dab0d0b0= -a c- c 00c= -ad(ad - bc) + bc(ad - bc)= -(ad - bc)2 .故选(B).设 a1, a2 , a3 均为三维向量，则对任意常数 k, l ,向量组 a1 + ka3 ,

7、a2 + la3 线性无关是向量组(6)B = (a1a3 ) 线性无关的a2()(A)必要非充分条件(C)充分必要条件】(A)(B)充分非必要条件(D)既非充分也非必要条件【 10 ) 01 .】(a) = (a+ kaa + laaa【1323123 kl 记 A = (a1 + ka3a2 + la3 ) ， B = (a1a3 ) ， A .a2若a1,a2,a3 线性无关，则)r(A) = r(BC) = r(C) = 2，故 P(A - B) = 0.3线性无关.P(B - A) = 举反例. 令a3 = 0 ，则a1,a2 线性无关，但此时a1,a2,a3 却线性相关.综上所述，

8、对任意常数Q = 40 - 2 p ，向量 p 线性无关是向量 D 线性无关的必要非充分条件.故选(A).3A 与 B 相互，且 P(B) = 0.5 ， P(A - B) = 0.3，则 P(B - A) =(7) 设随机()(A) 0.1】(B)(B) 0.2(C) 0.3(D) 0.4【f ()已知a =，= x - x + 2a2A与x， a ，【】3122 3P(A - B) = P(A) - P(AB) = P(A) - P(A)P(B)= P(A) - 0.5P(A) = 0.5P(A) = 0.3，P(A )= 0 .，则则 P(B - A) = P(B) - P(AB) =

9、P(B) - P(A)P(B) = 0.5 - 0.50.6 = 0.5 - 0.3 = 0.2 .故选(B).(8) 设连续性随量 X1 与 X 2 相互，且方差均， X1 与 X 2 的概率密度分别为 f1 (x) 与1) + f2 ( y)，随量Y2 = 2 ( X1 + X 2 ) ，则f2 (x) ，随量Y1 的概率密度为121()(A) EY1 EY2 ， DY1 DY2(B) EY1 = EY2 ， DY1 = DY2(C) EY1 = EY2 ， DY1 DY2N (0,1) ，相互.- y2- y2- y21111fY ( y) =( e+ e 2 ) = e， Y1N (0

10、,1) .222p2p2p211111Y2 = 2 ( X1 + X 2 ) ， E(Y2 ) = 2 (E( X1 ) + E( X 2 ) = 0, D(Y2 ) = 4 (D( X1) + D( X 2 ) = 2 .E(Y ) = E(Y ) = 0, D(Y ) = 1 D(Y ) = 1 .12122故选(D).二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将写在答题纸指定位置上.(9) 曲面 z = x2 (1- sin y) + y2 (1- sin x) 在点(1, 0,1) 处的切平面方程为.【】2x - y - z = 14【】由于 z = x2 (1- si

11、n y) + y2 (1- sin x) ，所以z = 2x(1- sin y) - cos x y2 ， z (1, 0) = 2 ；xxz = -x2 cos y + 2y(1- sin x) ， z (1, 0) = -1.yy所以，曲面在点(1, 0,1) 处的法向量为n =2, -1, -1.故切平面方程为2(x -1) + (-1)( y - 0) -(z -1) = 0 ，即2x - y - z = 1.(10) 设 f (x) 是周期为4 的可导奇函数，且 f (x) = 2(x -1),x 0, 2，则 f (7) =.【】1【】由于 f (x) = 2(x -1) ， x

12、0, 2，所以 f (x) = (x -1)2 + C ， x 0, 2.又 f (x) 为奇函数， f (0) = 0 ，代入表达式得C = -1，故f (x) = (x -1)2 -1， x 0, 2.f (x) 是以4 为周期的奇函数，故f (7) = f (-1+ 8) = f (-1) = - f (1) = -(1-1)2 -1 = 1.(11) 微分方程 xy+ y(ln x -ln y) = 0满足条件 y(1) = e3 的y =.【】 y = xe2x+1(x 0)【】 xy+ y(ln x -ln y) = 0 y = y ln( y ) .xx令u = y ，则 y =

13、 x u ， y = xu + u ，代入原方程得xxu+ u = u ln u u = u(ln u -1)xdudx=，两边积分可得分离变量得，u(ln u -1)xln | ln u -1|= ln x + C ，即ln u -1 = Cx .5故ln y -1 = Cx . 代入初值条件 y(1) = e3 ，可得C = 2 ，即ln y = 2x +1.x由上，方程的y = xe2x+1,(x 0) .x设 L 是柱面 x2 + y2 = 1与平面 y + z = 0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，(12)则曲线积分 L zdx + ydz = .】p】由【公

14、式，得dydzx zdzdxy0dxdyz yzdx + ydz = S= dydz + dzdxSL= dydz + dzdx = p ，Dxy其中 D =(x, y) | x2 + y2 1.xyf ()= x - x + 2a22x 的负惯性指数是 1 ，则 a 的取值范围(13) 设二次型3122 3 .】-2, 2【： f () = ( x)2+ ax- a2+ 4x2【】配31333由于二次型负惯性指数为 1，所以4 - a2 0 ，故-2 a 2 . 2x,q x 0 .9 y = f (x) 在 x = 1处取极小值， y = f (1) = -2 .(17)(本题满分 10

15、分)2 z2 z连续导数， z = f (e cos y 满足)f (u ) 具有+xy2= (4z + e cos y)e若xx2 x设函数2f (0) = 0, f (0) = 0 ，求 f (u ) 的表达式.【】z2 zx2因为= f (e cos y)e cos y,xxx=x2f (e cos y)ecos yzy2 z = - f (e cos y)e sin y,xxx2f (e cos y)ecos yy2所以， f (ex cos y)e2x = 4 f (ef (u) = 4 f (u) + u上述方程的通u4-2uf (u) = C e+ C e-2u12f (0) =

16、 0, f (0) = 0 得由C1 + C2 = 02C - 2C= 141211解得， C1 = 16 , C2 = - 1611u4-2u故， f (u) =e2u -C e-21616(18)(本题满分 10 分)8设S 为曲面 z = x2 + y2 (z 1) 的上侧，计算曲面积分I = (x -1)3 dydz + ( y -1)3 dzdx + (z -1)dxdy .S【】 非闭，补1 ：平面 z = 1，被 z = x + y 所截有限部分下侧，由 Gauss 公式，有22- (x -1)3 dydz + ( y -1)3 dzdx + (z -1)dxdy+1= 3(x

17、-1)2 + 3( y -1)2 +1 dVW= 3(x2 + y2 )dV - 6 xdV - 6 ydV + 7 dVW 和1 所围WWW为W ， W 关于 yoz 面和 zox 面对称，则 xdV = ydV = 0WW1W(x2 + y2 )dV =dxdydz2 2x + yx2 + y2 1p21qr (1- r )rdr=d22001p111= 2p ( r -r )46p ( - ) =64610= 246p211 dVdxdy =p zdz =dz00Wx2 + y2 z= 3 p + 7 p = p + 7 p = 4p- 6222+1- +1= 4p= (z -1)dxd

18、y = -(1-1)dxdy = 0又11 - x2 + y2 1 I = 4-p + 111(19)(本题满分 10 分) p2 p2， cos a - a = cosb ，且级数设数列a ,b 满足0 a， 0 bb 收敛.nnnnnnnnn=1(I) 证明： lim an = 0 .n(II) 证明：级数收敛.ann=1 bn9】(I) bn 收敛lim bn = 0【nn=1a = cos a - cos b = -2sin an + bn snnn2sin an - bn 02- p an - bn ppan - bn- 0又，42442即： an bn又 0 an bn , lim

19、 bn = 0 lim an = 0nn(II)证明：由(I) a = -2sin an + bn sin an - bnn22-2sin an + bn sin an - bn anbn=22bn2 an + bn bn - anb - a222bn = bn 22bn=nn2bn2bn2an bb又 bn=1n=1收敛 n 2收敛,收敛nn=1n(20)(本题满分 11 分)- 212- 4 13设矩阵 A = 0 ， E 为三阶-1 1矩阵.10- 3(I) 求方程组 Ax = 0 的一个基础解系；(II) 求满足 AB = E 的所有矩阵 B .】【-2 12-2 13-4-1 10-

20、33-41110010E ) = 0( A 1101-4 0,1-3-1(I) Ax = 0 的基础解系为x = (-1, 2,3,1)T10= (1, 0, 0)T , e()= (0, 0,1)TT= 0,1, 0, e(II) e123()()TTAx = e 的通x = k x + 2, -1, -1, 0= 2 - k , -1+ 2k , -1+ 3k , k11111 1() = (6 - k)TTAx = e 的通x = k x + 6, -3, -, -3 + 2k , -4 + 3k , k4, 0222222() = (-1- k ,1+ 2k ,1+ 3k , k)TT

21、Ax = e 的通x = k x + -1,1,1, 0333333 2 - k16 - k2- 3 + 2k-1- k3 -1+ 2k1+ 2k B = 123（ k , k , k 为任意常数） -1+ 3k123- 4 + 3kk21+ 3kk3123k1(21)(本题满分 11 分)111 01 2 11001 0证明n 阶矩阵 与 相似.11 0n 101 1 2 【】已知 A = (11) ， B = (01) ，0 1 n 则 A 的特征值为n ， 0 ( n -1重).A 属于l = n 的特征向量为(1,1, ,1)T ； r( A) = 1，故 Ax = 0 基础解系有 n

22、 -1个线性无关的解向量，即 A 属于 l = 0 有 n -1 个线性无关的特征向量， 故 A 相似于对角阵 n0L = .0 B 的特征值为 n ， 0 ( n -1重)，同理 B 属于l = 0 有 n -1个线性无关的特征向量，故 B 相似于对角阵L .由相似的传递性， A 相似于 B .(22)(本题满分 11 分)12量 X 的概率分布为 PX = 1 = PX = 2 =, 在给定 X = i 的条件下，随设随量Y 服从均匀分布U (0,i),(i = 1, 2).11（I） 求Y 的分布函数 FY ( y) ；（II） 求 EY .【】（I）设Y 的分布函数为 FY (y) ，

23、则FY ( y) = PY y = PX = 1PY y | X = 1+ PX = 2PY y | X = 2= 1 PY y | X = 1 + 1 PY y | X = 22当 y 0 时， FY ( y) = 0 ；21y3y当0 y 1时， FY ( y) = 2 (y+ 2 ) =；41y当1 y 2 时， FY ( y) = 2 (1+ 2 )； 当 y 2 时， FY ( y) = 1.所以Y 的分布函数为y 00 y 10,3y4,F ( y) = 1Yy 2(1+), 21,1 y 2y 2Y 的概率密度为(II) 3 ,0 y 1, 41f (y) = ,1 y 2,其他. 4Y 0,31+12E(Y )=f ( y) d y =y dy +y dyY44-01311134= +(4 -1) =4242(23)(本题满分 11 分)12- x2设 总 体 X 的 分 布 函 数 为 F (x;q ) = 1- e0,q ，x 0,x 0 ，q - alim P（III）是否nn 2x- x2e, x 0q的概率密度为 f (x;q ) = F (x