微积分课件：6-6 函数图形的描绘

1、 6.6 函数图形的描绘函数图形的描绘1图形描绘的步骤图形描绘的步骤作图举例作图举例小结小结 作业作业 曲线的曲线的渐近线渐近线6.6 函数图形的描绘函数图形的描绘第第6章章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用(asymptotic line) 6.6 函数图形的描绘函数图形的描绘2定义定义6.31. 铅直渐近线铅直渐近线如果如果 0 xx0 xx 一、曲线的渐近线一、曲线的渐近线铅直渐近线铅直渐近线. )(limxf 或或 )(limxf 0 xx 如如,)3)(2(1 xxy铅直渐近线铅直渐近线: :, 2 x)3)(2(1lim2 xxx)3)(2(1lim3 xxx. 3

2、 x (垂直于垂直于x轴的轴的渐近线渐近线)当曲线当曲线 y = f (x)上一动点上一动点P沿着曲线沿着曲线移向无穷点时移向无穷点时, 如果点如果点P到某定直线到某定直线L的距离趋向的距离趋向那么直线那么直线L就称为曲线就称为曲线 y = f (x)的一条的一条渐近线渐近线. .那么那么就是就是 y = f (x)的一条的一条(asymptotic line)于零于零, 6.6 函数图形的描绘函数图形的描绘32. 水平渐近线水平渐近线如如,arctan xy 水平渐近线水平渐近线: :,2 y xxarctanlim xxarctanlim.2 y )(limxfby 水平渐近线水平渐近线.

3、xxb或或b(b为常数为常数),22 (平行于平行于x轴的轴的渐近线渐近线)那么那么就是就是 y = f (x)的一条的一条如果如果 )(limxf 6.6 函数图形的描绘函数图形的描绘4的的水平渐近线方程为水平渐近线方程为曲线曲线xxxxycos25sin4 51 y解解xxxxcos25sin4lim xxxxxxcos25sin41lim 51 水平渐近线方程为水平渐近线方程为.51 y考研数学考研数学(二二)填空题填空题4分分 6.6 函数图形的描绘函数图形的描绘53. 斜渐近线斜渐近线0)()(lim baxxfx如如果果xlim )(limxbaxxfxxxfax)(lim axx

4、fx)(lim0baxy 斜渐近线斜渐近线.有有从而从而那么那么就是就是 y = f (x)的一条的一条下面求计算下面求计算 a, b 的公式的公式:由由(1)式和式和x为无穷大为无穷大,即即求出求出a后后, 将将a 代入代入(1)式可确定式可确定b,)()(baxxf x0 )0,( aba且且为常数为常数)1(.)(limaxxfbx 6.6 函数图形的描绘函数图形的描绘6;)(lim)1(不存在不存在xxfx,)(lim)2(存存在在axxfx 例例.1)3)(2(2)(的渐近线的渐近线求求 xxxxf解解)., 1()1 ,( 注注 )(lim1xfx, 1 x如果如果,)(lim不存

5、在不存在但但axxfx )(limaxxfbx ,)(limxxfax 定义域定义域可以断定可以断定 y = f (x)不存在斜渐近线不存在斜渐近线.是曲线的铅直渐近线是曲线的铅直渐近线.因为因为所以所以 6.6 函数图形的描绘函数图形的描绘7 xxfx)(lim)1()3)(2(2lim xxxx2 21)3)(2(2limxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx4 42 xy 1)3)(2(2limxxxx无水平渐近线无水平渐近线 )(limaxxfx.1)3)(2(2)(的渐近线的渐近线求求 xxxxf)(limxxfx )(limaxxfbx ,)(limxxfax a

6、 b 是曲线的一条斜渐近线是曲线的一条斜渐近线.x2又因为又因为所以所以 6.6 函数图形的描绘函数图形的描绘8的渐近线的渐近线,曲线曲线)2)(1(| xxxxy共有共有)B()A(选择题选择题:1条条.)D(2条条.)C(3条条.4条条. 6.6 函数图形的描绘函数图形的描绘9考研数学一考研数学一, 二二 (选择选择4分分)渐近线的条数为渐近线的条数为曲线曲线)e1ln(1xxy . 1)B(. 0)A(. 3)D(. 2)C(0 x是一条垂直渐近线是一条垂直渐近线; )e1ln(1limxx00 x )e1ln(1limxx x 0 y是一条水平渐近线是一条水平渐近线; xxfax)(l

7、im xxxxx)e1ln(lim1lim2; 1 )(limaxxfbx)e1ln(1limxxxx eln)e1ln(lim1limxxxxx )e11ln(limxx 0 xy 是一条斜是一条斜渐近线渐近线. 6.6 函数图形的描绘函数图形的描绘10利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.确定函数的定义域、值域、间断点确定函数的定义域、值域、间断点,函数是否有奇偶性、周期性函数是否有奇偶性、周期性.判定判定和拐点和拐点,讨论函数的单调性和极值讨论函数的单调性和极值,曲线的凹凸性曲线的凹凸性渐近线渐近线. 适当计算曲线上一些点的坐标适当计算曲线上一些点的坐标,是否与坐标轴是否有交

8、点是否与坐标轴是否有交点.特别注意特别注意二、图形描绘的步骤二、图形描绘的步骤 6.6 函数图形的描绘函数图形的描绘11例例.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解, 0: xD非奇非偶函数非奇非偶函数,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得驻点得驻点, 0)( xf令令. 3 x得得2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y三、作图举例三、作图举例水平渐近线水平渐近线 6.6 函数图形的描绘函数图形的描绘12 )(lim0 xfx, . 0 xx)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(

9、xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极小值极小值间间断断点点3 )926, 3( 无斜渐近线无斜渐近线.3)2(4)(xxxf 4)3(8)(xxxf 2)1(4)(2 xxxf列表确定函数单调区间列表确定函数单调区间, 凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:铅直渐近线铅直渐近线, 0)( xf令令, 2 x得驻点得驻点, 0)( xf令令. 3 x得得2)1(4lim20 xxx 6.6 函数图形的描绘函数图形的描绘13),0 , 31( ),2, 1( ),6 , 1().1 , 2(作图作图2)1(4)(2 xxxf拐点拐点)926, 3( 极小值极小值3)2( f补

10、充点补充点),0 , 31( x)(xf )(xf)(xf )3,( ), 0()2, 3( 3 )0 , 2( 2 0 0 不存在不存在 0 拐点拐点极小值极小值间间断断点点, 2 y. 0 x水平渐近线水平渐近线: :垂直渐近线垂直渐近线: :xyO3 1 6 2 2 1 1 2 3 6.6 函数图形的描绘函数图形的描绘14例例.e21)(22的图形的图形作函数作函数xx 解解),(:D偶函数偶函数, ,e2)(22xxx , 0)( x 令令, 0 x得驻点得驻点, 0)( x 令令. 1, 1 xx得点得点. 4 . 021)(0: xW .e2)1)(1()(22xxxx 22e21

11、lim)(limxxxx , 0 . 0 y图形关于图形关于y轴对称轴对称.水平渐近线水平渐近线因为因为 6.6 函数图形的描绘函数图形的描绘15x), 1( )1 , 0()(x )(x 0)(x 01 极大值极大值210拐点拐点)e21, 1( ,e2)(22xxx 22e2)1)(1()(xxxx . 0 y水水平平渐渐近近线线, 0)( x , 0 x驻点驻点, 0)( x . 1, 1 xx得得,e21)(22xx xyO21 1 1 6.6 函数图形的描绘函数图形的描绘16.1222的图形的图形作函数作函数 xxxy解解, 1: xD,)1()2(2 xxxy非奇非偶函数非奇非偶函

12、数,.)1(23 xy, 0 y令令, 0 x得驻点得驻点, 2 x.0的点的点无无 y 122lim21xxxx . 1 x垂直渐近线垂直渐近线因为因为 6.6 函数图形的描绘函数图形的描绘17 xxfx)(limxxxxx122lim2 1 xy )(limaxxfx)122(lim2xxxxx a b1 1 又又2)1()2( xxxy3)1(2 xyx)0 ,(), 2()1 , 0()2 , 1(y y 0y 无定义无定义120 0 极大值极大值2 极小值极小值2列表列表函数图形的描绘函数图形的描绘是曲线的一条斜渐近线是曲线的一条斜渐近线.1222的图形的图形作函数作函数 xxxy2, 0 xx驻点驻点所以所以 6.6 函数图形的描绘函数图形的描绘181 xyO2111 2 3 3.1222的图形的图形作函数作函数 xxxy:补补充充点点),25, 1( A).6 , 3(B作图作图1 x1 xy极大值极大值极小值极小值, 2)0( f2)2( fx)0 ,( ), 2( )1 , 0()2 , 1(y yy 无定义无定义120 极大值极大值2 极小值极小值2 00函数图形的描绘函数图形的描绘 6.6 函数图形