微积分课件：6-3 泰勒公式

1、 6.3 泰勒公式泰勒公式1小结小结 思考题思考题 作业作业一些应用一些应用6.3 泰勒泰勒(Taylor)公式公式泰勒公式的建立泰勒公式的建立第第6章章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用皮亚诺皮亚诺型余项泰勒公式型余项泰勒公式拉格朗日型拉格朗日型余项泰勒公式余项泰勒公式 泰勒泰勒(Taylor) (英英) 1685-1731 6.3 泰勒公式泰勒公式2简单简单的的, 多项式函数多项式函数特点特点:(1)易计算易计算函数值函数值;(2)导数与积分仍为导数与积分仍为多项式多项式;(3)多项式由它的系数完全确定多项式由它的系数完全确定,又由它在一点的函数值及又由它在一点的函数值及导

2、数值导数值确定确定.而其系数而其系数用怎样的多项式去逼近给定的函数用怎样的多项式去逼近给定的函数误差又如何呢误差又如何呢一、一、泰勒公式的建立泰勒公式的建立熟悉熟悉的函数来近似代替复杂函数的函数来近似代替复杂函数. 应用应用用多项式近似表示函数用多项式近似表示函数理论分析理论分析近似计算近似计算 6.3 泰勒公式泰勒公式3 )(xf,)(0存在存在若若xf xxx 0记记xxfxfxxf )()()(000回想微分回想微分)()()(000 xxxfxfxf ,0时时当当xx 一次多项式一次多项式)()(000 xxxfxf )(0 xxo 在在x0附近有附近有其误差是比其误差是比 (x x0

3、)高阶的无穷小高阶的无穷小. 6.3 泰勒公式泰勒公式4xy 1xye xy )1ln(xy (如下图如下图)如如,|很小时很小时当当 x,1exx .)1ln(xx 以直代曲以直代曲xyOxyO 6.3 泰勒公式泰勒公式5需要解决的问题需要解决的问题如何提高精度如何提高精度?如何估计误差如何估计误差?问题问题 (1) 系数怎么定系数怎么定?(2) 误差误差(如何估计如何估计)表达式是什么表达式是什么?不足不足 1. 精确度不高精确度不高; 2. 误差不能定量的估计误差不能定量的估计.)()(000 xxxfxf )(xf 希望希望一次多项式一次多项式在在x0附近用适当的附近用适当的高次多项式

4、高次多项式nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 )(xf 6.3 泰勒公式泰勒公式60 x)(xfy oxy猜想猜想)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2. 若有相同的切线若有相同的切线3. 若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1. 若在若在x0点相交点相交1. n次多项式系数的确定次多项式系数的确定 6.3 泰勒公式泰勒公式7nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 ,)(00axPn ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!10)(xfkakk 得得)()(0)(0)(x

5、fxPkkn )(!0)(xfannn 假设假设),(00 xfa ),()(00 xfxPn 又又,)(10axPn ),()(00 xfxPn 又又同理同理0000nk, 2 , 1 , 0 代入代入Pn(x)中得中得 )(xPn.)(0nxx ), 2 , 1 , 0(nk 20)(xx )(0 xf)(0 xx )(0 xf ! 2)(0 xf !)(0)(nxfn因为因为因为因为所以所以所以所以能满足要求能满足要求. 6.3 泰勒公式泰勒公式8二、皮亚诺二、皮亚诺型余项泰勒公式型余项泰勒公式).()()(00 xxxxoxRnn 皮亚诺皮亚诺(Peano,G.(意意)1858-193

6、2)定理定理6.66.6 若函数若函数f(x)在点在点x0处有处有n阶导数阶导数, 则有则有),()(!)(00)(xRxxnxfnnn 其中其中证证 nnxxxxxR)()(lim00, 0只需证明只需证明即证明即证明200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf )()()()(1lim00000 xxxfxfxfxxnxx )(!)()(! 2)(00)(200nnxxnxfxxxf, 0 6.3 泰勒公式泰勒公式910100)(0)()()!1()()()(lim0 nnnxxxxnxxnxfxfxf . 0 0)()(lim00 nnxxxxxR只需证明只需证明nnx

7、xxxxR)()(lim00 )00(洛必达法则洛必达法则 )()()(lim!10)(00)1()1(0 xfxxxfxfnnnnxx次次)1( n导数的定义导数的定义)()(!10)(0)(xfxfnnn 于是于是, 定理得证定理得证. 6.3 泰勒公式泰勒公式带有皮亚诺带有皮亚诺型型余项余项)()()(00 xxxxoxRnn 皮亚诺皮亚诺型型余项余项. .称为称为f (x)在点在点x0处处的的n阶局部泰勒公式阶局部泰勒公式; ;的幂展开的的幂展开的按按)()(0 xxxf 或称为或称为的的泰勒泰勒公式公式. .称为称为10200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf

8、)()(!)(000)(nnnxxoxxnxf 当对余项要求不高时当对余项要求不高时,可用可用皮皮亚诺亚诺型型余项余项 6.3 泰勒公式泰勒公式11n阶泰勒公式阶泰勒公式麦克劳林麦克劳林(Maclaurin,C.(英英)1698-1746)00000000泰勒公式化为泰勒公式化为, 00 x若若nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2 ).0)( xxon称为称为f (x)的的n阶局部麦克劳林公式阶局部麦克劳林公式. .200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(000)(nnnxxoxxnxf 6.3 泰勒公式泰勒公式12解解,e)

9、()()()(xnxfxfxf 1)0()0()0()0()( nffff代入上公式代入上公式, 得得 xe.0)()(! 212 xxonxxxnn几个初等函数的麦克劳林公式几个初等函数的麦克劳林公式例例xxfe)( 求求的的n阶阶带有皮亚诺带有皮亚诺型型余项的余项的麦克劳林公式麦克劳林公式. .因为因为所以所以)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf 带有皮亚诺带有皮亚诺型型余项的余项的麦克劳林麦克劳林( (Maclaurin) )公式公式0)(x 6.3 泰勒公式泰勒公式13解解), 2 , 1 , 0(2sin)()( nnxxfn, 0)0( f例

10、例, 1)0( f, 0)0( f, 1)0( f因为因为所以所以xxfsin)( 求求的的n阶阶带有皮亚诺带有皮亚诺型型余项的余项的麦克劳林公式麦克劳林公式. .得得)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf n阶阶带有皮亚诺带有皮亚诺型型余项的余项的麦克劳林麦克劳林( (Maclaurin) )公式公式0)(x xsin)()!12()1(! 5! 3212153mmmxomxxxx 0)(x代入公式代入公式: 6.3 泰勒公式泰勒公式与一个余项与一个余项Rn (x)之和之和:14 )(xfnnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(! 2)()()(

11、00)(200000 )(xRn 10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 其中其中).(0之间之间与与在在xx n次多项式次多项式 (residual)阶阶内有内有在在若若)1(),( )()(0 nbaxxf,),(时时则当则当bax 的一个的一个可表为可表为)()(0 xxxf 余项余项三、拉格朗日三、拉格朗日型余项泰勒公式型余项泰勒公式定理定理6.76.7导数导数, 6.3 泰勒公式泰勒公式15nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 称为称为f (x)的的),()(xfxPn ).()()(xPxfxRnn 泰勒多项式

12、来逼近函数泰勒多项式来逼近函数下面将证明确实可以用下面将证明确实可以用f (x), 并估计它的误差并估计它的误差.泰勒多项式泰勒多项式. 6.3 泰勒公式泰勒公式16分析分析).()()(xPxfxRnn 即证即证10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ).(0之间之间与与在在xx 10)()(nnxxxR)!1()()1( nfn 也即证也即证)!1()()1( nfn 10)()()( nnxxxPxf200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf 10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 其中其中).(0之间之间与与在在xx )()(!)(00)(x

13、Rxxnxfnnn 6.3 泰勒公式泰勒公式17证证.1)(阶阶导导在在区区间间内内有有由由于于 nxf),()()(xPxfxRnn 10)()( nxxx ),()()(xPxfxRnn nxxnx)(1()(0 10)()1()( nxxnnx ),()()()()()(xPxfxRnnnnn )(2)1()(0)(xxnnxn ),()()1()1(xfxRnnn )!1()()1( nxn 令令 10)()(nnxxxR 10)()()(nnxxxPxf)!1()()1( nfn 10)( nxx)(x nkxfxPkkn, 2 , 1 , 0)()(0)(0)( 由要求由要求000

14、0000000000000000000000000),()()(xPxfxRnn 6.3 泰勒公式泰勒公式18,0 xx 设设. 0)(,),(0 xxx 且且内可导内可导在在 柯西定理柯西定理)()(11 nR )()(xxRn ,)(),(0上连续上连续在在xxxxRn )(01之间之间与与在在xx )()(xxRn 10)()(nnxxxR)!1()()1( nfn ,)()(10上连续上连续在在及及 xxxRn )()(11 nR)()(22 nR)(102之之间间与与在在 x内内在在),(10 x 柯西定理柯西定理用用1次次用用2次次. 0)(, x 且且可导可导10)( nxx)(

15、x 0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn)(0 xRn)(0 x 0)()()()(0)(000 xxxxn )()(11 nR)(0 xRn )(0 x )!1()(),()()1()1()1( nxxfxRnnnn 6.3 泰勒公式泰勒公式19 10)()(nnxxxR)(00之间之间与与之间也在之间也在与与在在xxxn 如此下去如此下去,得得10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 可得可得 10)()(nnxxxR)!1()()1( nfn )(0之间之间与与在在xx )()()()(nnnnnR )()()1()1( nnnR )()()()(0)()

16、(0)()(xxRRnnnnnnnn 即即用用n+1次柯西定理次柯西定理, )()(xxRn )!1()()1( nRnn )!1()(),()()1()1()1( nxxfxRnnnn 6.3 泰勒公式泰勒公式20nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 的的幂幂展展开开的的按按称称为为)()(0 xxxf knkkxxkxf)(!)(000)( )()(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk 的幂展开的的幂展开的按按称为称为)()(0 xxxf 拉格朗日型余项拉格朗日型余项)()(! )1()()(010)1(之间之间与与在

17、在xxxxnfxRnnn 或称为或称为f (x)在点在点x0处处的的带有拉格朗日型余项的带有拉格朗日型余项的n 阶阶n次近似多项式次近似多项式.n 阶泰勒公式阶泰勒公式. .泰勒公式泰勒公式. . 6.3 泰勒公式泰勒公式21注注1.泰勒公式就是拉格朗日中值公式泰勒公式就是拉格朗日中值公式.2. 在泰勒公式中在泰勒公式中,故故之间之间介于介于则则, 0 x ),10( x可表为可表为这时的泰勒公式这时的泰勒公式, 按按x的幂的幂(在零点在零点)展开的展开的泰勒公式泰勒公式;200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf ).(0之间之间与与在在xx 10)1(00)()()!1

18、()()(!)( nnnnxxnfxxnxf n阶泰勒公式阶泰勒公式带有拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项的的麦克劳林公式麦克劳林公式. .00000000)10(0 xx,0时时当当 n, 00 x若若称为称为或称为或称为f (x)的的当要研究误差时当要研究误差时, 可用可用拉格朗日型余项拉格朗日型余项 6.3 泰勒公式泰勒公式22麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式近似公式近似公式nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2 误差估计式为误差估计式为1|)!1(| nnxnMR1)1()!1()( nnxnxf )10( 带有拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项

19、)(xfnnxnfxfxff!)0(! 2)0()0()0()(2 6.3 泰勒公式泰勒公式23解解,e)()()()(xnxfxfxf 1)0()0()0()0()( nffff.e)()1(xnxf 代入公式代入公式: xe).10( ,)!1(e! 2112 nxnxnnxxx例例xxfe)( 求求的的n阶阶带有拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项麦克劳林公式麦克劳林公式. .因为因为所以所以nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2 1)1()!1()( nnxnxf )10( n阶带有拉格朗日型余项的阶带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式麦克劳林公式得得 6.3 泰勒

20、公式泰勒公式24.! 21e2nxxxnx xe有有的近似表达公式的近似表达公式有误差估计式有误差估计式时时当当0 x1)!1(e nxnxnR ;)!1(1 nxnxe时时当当0 x; 0 nR时时当当0 xnR时时当当1 x,!1! 2111en 得到得到.)!1(3 n其误差其误差nR)!1(e n, 8 n若取若取其误差其误差8R.! 93 ;|)!1(1 nxn1,718279. 2e 可算出可算出) 10()!1(e! 21e12 nxnxxnnxxx 6.3 泰勒公式泰勒公式25解解), 2 , 1 , 0(2sin)()( nnxxfn, 0)0( f xsin xsin例例,

21、 1)0( f, 0)0( f, 1)0( f.)!12()1(! 5! 3212153mmmRmxxxx ,)!12()1(! 5! 312153 mxxxxmm因为因为所以所以xxfsin)( 求求的麦克劳林公式为的麦克劳林公式为从而从而xsin的多项式近似表达式为的多项式近似表达式为所以所以xsin的的n阶阶带有拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项麦克劳林公式麦克劳林公式. . 6.3 泰勒公式泰勒公式26误差为误差为 mR2).10( ,)!12(12 mxm,1时时当当 m,001. 0要使误差小于要使误差小于,2时时当当 m,001. 0要要使使误误差差小小于于mmmRmxxxxx21

22、2153)!12() 1(! 5! 3sin ,sinxx 有有 ), 2 , 1 , 0(2sin)()( nnxxfnx .1817. 0 x必须必须2R误差误差,! 3sin3xxx 有有4R误差误差.6544. 0 x必须必须,63x ,1205x 12)!12(2)12(sin mxmm 6.3 泰勒公式泰勒公式27xyO泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近xsinxy ! 33xxy ! 5! 353xxxy ! 7! 5! 3753xxxxy ! 9!7! 5! 39753xxxxxy mmmRmxxxxx212153)!12() 1(! 5! 3sin xysin 6.3 泰勒公式泰勒

23、公式28类似地类似地, 有有)!2()1(! 4! 21cos242mxxxxmm ,)!22(2)22(cos22 mxmmx ).10( 6.3 泰勒公式泰勒公式29)!12() 1(! 5! 3sin12153 mxxxxxmm要熟记要熟记! ! 21e2nxxxnx 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式带皮氏余项带皮氏余项),0()(xxon带拉氏余项带拉氏余项,)!1(e1 nxxn )10( ),0()(2xxom 带皮氏余项带皮氏余项带拉氏余项带拉氏余项,)!12(2)12(sin12 mxmmx )10( 6.3 泰勒公式泰勒公式30)!2()1(! 6! 4! 21c

24、os2642mxxxxxmm ),0()(xxon ),0()(12 xxom带皮氏余项带皮氏余项带拉氏余项带拉氏余项,)!22(2)22(cos22 mxmmx )10( nxxxxxnn 132)1(32)1ln( 带皮氏余项带皮氏余项带拉氏余项带拉氏余项,)1)(1()1(11 nnnxxn )10( 6.3 泰勒公式泰勒公式31带皮氏余项带皮氏余项带拉氏余项带拉氏余项nmxnnmmmxmmmxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 ),0()(xxon ,)1(! )1()1()1(11 nnmxxnnmmm )10( 6.3 泰勒公式泰勒公式32处的处的在在求函数求函数1423)(0

25、23 xxxxxf解解5)1( f8)1( f263)(2 xxxf66)( xxf6)( xf0)1( f6)1( f)()1(58)(1xRxxf 一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项. f (x)的一阶泰勒公式是的一阶泰勒公式是)()(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk ! 2)1)()(21 xfxR 2)1(! 2)1(6 x 其中其中. )1(之间之间与与介于介于x 三阶泰勒公式是三阶泰勒公式是. 0)(3 xR其其中中)()1()1(58)(33xRxxxf )0)()4( xf因因 6.3 泰勒公式泰勒公式33例例 解解

26、 用间接展开的方法较简便用间接展开的方法较简便. xe两端同乘两端同乘x, 得得).()!1()1(! 2e132nnnxxonxxxxx 带拉格朗日型余项的公式展开问题一般带拉格朗日型余项的公式展开问题一般注注)(! 21e2nnxxonxxx 不能用这种方法不能用这种方法.)()!1()1(! 211112 nnnxonxxxxx取代取代用用 (带皮带皮亚诺亚诺型型余项余项).).阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式展开为展开为把把nxxfx e)( 6.3 泰勒公式泰勒公式34例例 解解)(! 21e2nnxxonxxx 的带有拉格朗日型余项与的带有拉格朗日型余项与带有皮带有皮亚诺亚诺型型余项的

27、麦克劳林公式余项的麦克劳林公式, 并计算并计算).0()0()100()99(ff与与用间接展开的方法较简便用间接展开的方法较简便. 2ex利用泰勒多项式的系数与函数的导数之间的关系利用泰勒多项式的系数与函数的导数之间的关系xx 取代取代用用2 )10()!1(e! 21e12 nxnxxnnxxx22102)!1(e)1(!)1(2 nxnnkkkxnkx )10( 2ex)(!)1(202nnkkkxokx !100)0()100(f!50)1(50 ,!50!100)0()100( f. 0)0()99( f2e)(xxf 求出求出nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0(

28、)()(2 1)1()!1()( nnxnxf )10( 麦克劳林麦克劳林( (Maclaurin) )公式公式 6.3 泰勒公式泰勒公式35例例 ,10,1 . 1ln4 要求误差不超过要求误差不超过的近似值的近似值计算计算.可可达达到到要要求求解解 )1ln(x)10()1(111)1(11 nnnxxn1 . 0 x)1 . 0(nR 1 . 1ln nxxxxnn 132)1(32? n问问 nnn)1 . 0()1(3)1 . 0(2)1 . 0(1 . 0132)1 . 01ln( 已知已知x 和误差界和误差界, 要求确定项数要求确定项数n1 . 01 . 01 . 01 . 01

29、 . 0四、一些应用四、一些应用 6.3 泰勒公式泰勒公式36 )1 . 0(nR110111 nn4101 , 2 n4310141 R满足要求满足要求.)10()1(111)1()(11 nnnnxxnxR1 . 0 x11)1 . 0()1 . 01(111)1( nnnn 3210131 R, 3 nxxx4101 ,10,1 . 1ln4 要求误差不超过要求误差不超过的近似值的近似值计算计算.可可达达到到要要求求? n问问 1 . 1ln3)1 . 0(2)1 . 0(1 . 032 .09533. 000033. 0005. 01 . 0 )1ln(x)10()1(111)1(11

30、 nnnxxn nxxxxnn 132)1(32 6.3 泰勒公式泰勒公式37! 21cos2xx 计算计算 的近似值的近似值,使其精确到使其精确到0.005 ,试确定试确定x的适用范围的适用范围. .近似公式的误差近似公式的误差例例 用近似公式用近似公式解解 已知项数已知项数 n 和误差界和误差界, 确定公式中确定公式中 x 的适用范围的适用范围. .)cos(!4)(43xxxR 244x 令令005. 0244 x解得解得588. 0 x即即,588. 0时时当当 x由给定的近似公式计算的结果能准确到由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.xcos 6.3 泰勒公式泰勒公式38 解

31、解)(! 211e4422xoxxx )(! 4! 21cos442xoxxx )()! 412! 21(3cos2e442xoxxx 原式原式 00 因为分母是因为分母是4阶无穷小阶无穷小,所以所以只要将函数展开到只要将函数展开到4阶无穷小的阶无穷小的项就足以定出所给的极限了项就足以定出所给的极限了.4440)(127limxxoxx 常用函数的泰勒展开求常用函数的泰勒展开求例例 .127 00型未定式型未定式403cos2elim2xxxx 6.3 泰勒公式泰勒公式39),1()0(,1 , 0)(ffxf 且且上上有有二二阶阶导导数数在在函函数数.21)(1 , 0:. 1)( xfxf

32、上上恒恒有有不不等等式式在在试试证证像这类像这类估值问题估值问题常用泰勒公式常用泰勒公式.证证,1 , 00 x对任意对任意 )0(f201000! 2)()()(xfxxfxf )0(01x )1(f)1(20 x例例 分析分析 利用泰勒公式可以证明某些命题及不等式利用泰勒公式可以证明某些命题及不等式.201000)0(! 2)()0)()(xfxxfxf 202000)1(! 2)()1)()(xfxxfxf 带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式,得得(1)(2),2()1( 将将f (0)与与f (1)在在x0点展开成点展开成 6.3 泰勒公式泰勒公式402022010)1)(! 21)(! 21)(0 xfxfxf 即即 )(0 xf20200)1(2121)(xxxf ),10(2aaa 时时当当故故)1(2100 xx ),1()0(,1 , 0)(ffxf 且且上上有有二二阶阶导导数数在在函函数数例例.21)(1 , 0:. 1)( xfxf上恒有不等式上恒有不等式在在试证试证202201)1)(! 21)(! 21xfxf .21 6.3 泰勒公式泰勒公式41证明证明证证21)1(1xx 21x 2)121(21!21x 325)1)(221)(121(21