几何与代数：4-2 向量组的线性相关性

1、14.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、向量组的线性组合一、向量组的线性组合二、向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性2若干个同维数的列向量（或若干个同维数的列向量（或同维数的行向量同维数的行向量）所组成的集合叫做所组成的集合叫做向量组向量组 3211011100114321 ，例例为为4 4个个3 3维向量组维向量组3向量组与矩阵向量组与矩阵设设)(aijAnm 矩阵矩阵 aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1a2ajana1a2ajan维列向量维列向量个个有有mn. 的列向量组的列向量组称为矩阵称为矩阵向量组向量组Anaaa, ,214维

2、行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nmijAanm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 1向量组向量组 称为矩阵称为矩阵A的的行向量组行向量组 m,21 2 i m5矩阵矩阵构成一个构成一个维列向量维列向量个个反之反之nmmnn ,21 矩阵矩阵构成一个构成一个维行向量维行向量个个nmnmm ,21 mB 21 ),( 21nA 6，组实数组实数，对于任何一，对于任何一给定向量组给定向量组mmkkkA,: 2121 定义定义., 21数数称为这个线性组合的系称为这个线性组合的系，mkkkmmkkk 2211 向量向量线性组合线性组合 称

3、为向量组的一个称为向量组的一个),(21mL Rkkkkkkxmmm ,212211 是线性组合的全体是线性组合的全体m ,217mmkkk 2211，使使，一一组组数数如如果果存存在在和和向向量量给给定定向向量量组组mmkkkA,: 2121 的线性组合，的线性组合，是向量组是向量组则称向量则称向量A 线线性性表表示示，可可由由m 21.2211有解有解向量方程向量方程 mmxxx显然：显然：也称向量也称向量 能由向量组能由向量组A线性表示线性表示 8线性表示线性表示，量量零向量可由任意一组向零向量可由任意一组向m 21m 000021例例12342100050100,3001000001

4、210005010025303001000001 例例43210352 线性表示。线性表示。向量组向量组维向量可由维向量可由任意任意4321,4 9任意任意n维向量可由下列向量组线性表示维向量可由下列向量组线性表示 naaa21 10001000121naaannaaa 2211一般地一般地 100,010,00121n 维单位向量组。维单位向量组。称为称为向量组向量组nn ,2110 naaa21nnaaa 2211),(21mnLR Raaaaaaxmmm ,212211 11n ，如如：,21任意向量可由它自己所在的向量组线性表示任意向量可由它自己所在的向量组线性表示n 001211n

5、010212nn 1002112定理定理 设设 A =( 1, 2, , n), 则下列命题等价则下列命题等价：1o b L( 1, 2, , n);2o AX = b有解有解;),()(ARAR 证证 有数有数 x1, x2, , xn 使得使得,2211bxxxnn ,),(2121bxxxnn .21 nxxxXbAX有解有解b L( 1, 2, , n)1o 2o：3o),(21bAn 13 设设 R(A) = r,2o 3o：),(0111111dBOddccdcccArrrnrsns 行初等变换行初等变换AX = b有解有解dr+1 = 0 .)()(rARAR 14 321101

6、110011321 ，.321线性表示线性表示，能否用能否用试讨论向量试讨论向量 解解已知已知例例有有解解 332211xxx线线性性表表示示，能能用用向向量量321 311020111101321321321xxxxxxxxx即解方程即解方程15 311020111101321321321xxxxxxxxx即解方程即解方程 311020111101A初等行变换初等行变换非齐次线性方程非齐次线性方程的增广矩阵为的增广矩阵为 311011101101 220011101101 11001110110116 110011101101 110020100001 120321xxx方程的解为方程的解为

7、方程组有唯一解方程组有唯一解.能由向量组线性表示能由向量组线性表示 321120 17 线性表示。线性表示。由由将将321321,2 , 5 , 3,1 , 3 , 2,0 , 1 , 1,2 , 4 , 2 解解的解的解即求向量方程即求向量方程 332211xxx 2253432231321321xxxxxxxx即即解解方方程程 210253143212A 111011103212非齐次线性方程非齐次线性方程的增广矩阵为的增广矩阵为18 111011103212 0000111012101 000011103212 00001110210219 32311211xxxx 0000111012

8、101方程的解为方程的解为可取任意值可取任意值3x取一组解取一组解)2, 3 , 2( 321232 取另一组解取另一组解)0 , 1 , 1(21 方程组有解方程组有解.能由向量组线性表示能由向量组线性表示 20向量组等价向量组等价mA ,:21sB ,:21 1, 2 , 12211mikkksisiii 2, 2 , 12211silllmimiii 若若(1)(1)和和(2)(2)都成立都成立, ,称向量组称向量组A与与B等价等价. .若若(1)(1)成立成立, ,称向量组称向量组A能由向量组能由向量组B线性表示线性表示. .若若(2)(2)成立成立, ,称向量组称向量组B能由向量组能

9、由向量组A线性表示线性表示. .21向量组向量组,21m 与向量组与向量组是否等价？是否等价？,21m 自反性自反性 若向量组若向量组,21m 与向量组与向量组等价，等价，,21s 向量组向量组,21m 与向量组与向量组是否等价？是否等价？,21s 对称性对称性 等价等价等价等价22若向量组若向量组,21m 与向量组与向量组等价，等价，,21s 且向量组且向量组,21t 与向量组与向量组等价等价, ,21s 传递性传递性 等价等价向量组向量组,21t 与向量组与向量组,21m 是否等价？是否等价？向量组等价具有三性向量组等价具有三性: :自反性自反性, ,对称性对称性, ,传递性传递性23例例

10、向量组向量组,15129,420,753321 321, 可由可由 543,21021 和向量组和向量组21, 线性表示，线性表示，,211 ,02212 ,30213 是否等价？是否等价？解解24,15129,420,753321 321, 可由可由等等价价与与向向量量组组所所以以向向量量组组21321, 543,21021 21, 线性表示，线性表示，,02103211 ,31003212 2502211 nnxxx 向量方程向量方程一定有一定有0解解除除0解外，还有非解外，还有非0解吗？解吗？26,:21nA 给给定定向向量量组组定义定义则称向量组则称向量组 是是线性相关线性相关的，的，

11、A线线性性无无关关n , 2.21，不不存存在在不不全全为为零零的的数数nkkk, 21,21nkkk如如果果存存在在不不全全为为零零的的数数02211 nnkkk 使使否则称它否则称它线性无关线性无关02211 nnkkk 注注., 1. 性无关就是线性相关性无关就是线性相关不是线不是线对于任一向量组对于任一向量组27,0 2211时时当当 nnkkk 021 nkkk必必有有，不不存存在在不不全全为为零零的的数数nkkk, 2102211 nnkkk ，对对不不全全为为零零的的数数nkkk, 2102211 nnkkk 线线性性无无关关n , 2.21解解只只有有00 2211 nnxxx

12、 线线性性相相关关n ,21解解有有非非00 2211 nnxxx 28,:21线性相关线性相关向量组向量组mA 0 2211 mmxxx 有非零解有非零解02211 mmxxx 只有零解只有零解,:21线性无关线性无关向量组向量组mA 29.3.组组是是线线性性相相关关的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量, 4. 时时向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量 ,. 521的向量组的向量组对于含有两个向量对于含有两个向量 ; 0线线性性相相关关 .0线线性性无无关关 的的分分量量对对应应成成比比例例，线线性性相相关关21, 的的分分量量对对应应不不成成比比例例，线线性性无无关关21,

13、30:解解释释02211 kk，不不放放设设01 k2121 kk 于于是是比比例例这这两两个个向向量量对对应应分分量量成成线线性性相相关关给给定定两两个个向向量量21, 使使则则存存在在不不全全为为零零的的实实数数,21kk几何意义几何意义:在在R2, R3中中， 1, 2线性相关线性相关 1/ 2 ( (或共线或共线).).在在 R3中中， 1, 2 ， 3线性相关线性相关 1, 2 ， 3 共面共面. .31例例：用定义判断线性相关性。：用定义判断线性相关性。(2) (2) 向量向量, , 线性线性_关。关。相相相相000001 000)1(1 (1) (1) 向向量量线性线性_关。关。

14、 , 032例例 的线性相关性。的线性相关性。判断向量组判断向量组43214321,2 , 5 , 3,1 , 3 , 2,0 , 1 , 1,2 , 4 , 2 解解即即讨讨论论向向量量方方程程 0220534032243143214321xxxxxxxxxxx解解是是否否有有非非 0044332211 xxxx也即讨论齐次方程也即讨论齐次方程解解是是否否有有非非 033 210253143212A 111011103212 0000111012101 000011103212 000011102102初等行变换初等行变换 0220534032243143214321xxxxxxxxxxx3

15、4 43243121xxxxxx 0000111012101齐次方程齐次方程的解为的解为可可取取任任意意值值43, xx所以，齐次方程有非所以，齐次方程有非0解解线性相关。线性相关。向量组向量组4321, 044332211 xxxx有非有非0解解1, 243 xx令令3, 221 xx的线性关系为的线性关系为向量组向量组4321, 02324321 35定理定理 设有设有m维向量组维向量组 1, 2, , n, A =( 1, 2, , n), 1o 1, 2, , n线性相关线性相关;2o AX = 0有非零解有非零解;.)(nAR有不全为零的数有不全为零的数 x1, x2, , xn使使

16、 , 02211 nnxxx , 0),(2121 nnxxx.021 nxxxXAX有非零解有非零解1o 2o： 1, 2, , n线性相关线性相关证证3o则下列命题等价：则下列命题等价：（无关）（无关）（只有零解）（只有零解）)(nAR 36 设设 R(A) = r,2o 3o：.1111BOcccccArnrsns 行初等变换行初等变换AX = 0有非零解有非零解r 向量维数向量维数 的向量组必线性相关的向量组必线性相关.证证R( A) m m, 则则39例例 判断向量组判断向量组 1 =(0,1,1), 2 =(1,0,1), 3 =(1,1,0)的的解解1 , 02011101110

17、 所以所以, 1, 2 ， 3线性无关线性无关.解解2 011101110),(321 A 100110011R( A) = 3, 所以所以， 1, 2 ， 3线性无关线性无关.线性相关性线性相关性.40例例 的线性相关性。的线性相关性。判断向量组判断向量组43214321,2 , 5 , 3,1 , 3 , 2,0 , 1 , 1,2 , 4 , 2 解解24个个3维向量，维向量，一定线性相关，一定线性相关，线性相关。线性相关。4321, 41维维单单位位向向量量组组n 1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 n ，解解因方程组因方程组只有零解只有零解 . 0100,

18、 0010, 0001212121nnnxxxxxxxxx线线性性无无关关，n ,21 02211nnxxx .讨讨论论其其线线性性相相关关性性42判断向量组判断向量组 324323322321, 1, 1, 1, 1dddcccbbbaaa 0000433323134232221243214321xdxcxbxaxdxcxbxadxcxbxaxxxxx解解044332211 xxxx),(是是各各不不相相同同的的数数线线性性相相关关还还是是线线性性无无关关dcba43333322221111dcbadcbadcbaD 由克莱姆法则，上述方程由克莱姆法则，上述方程只有零解只有零解线线性性无无关

19、关，则则向向量量组组m 21其其系系数数行行列列式式0)()()()()( cdbdbcadacab是是范范德德蒙蒙德德行行列列式式44. , , 321133322211321线线性性无无关关试试证证线线性性无无关关已已知知向向量量组组bbbaabaabaabaaa 0 332211 bxbxbx设向量方程设向量方程, 0)()()( 133322211 aaxaaxaax即即, 0)()() 332221131 axxaxxaxx（亦即亦即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 aaa . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx证证例例45此此方方程程组组的的系系数数行行列列式式，

20、故故方方程程组组只只有有零零解解0 321 xxx . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx110011101 02 110110101 ., 321线线性性无无关关向向量量组组所所以以bbb0 332211 bxbxbx向量方程向量方程只只有有零零解解46定理定理 若若 1, 2, , m线性相关，线性相关，证证x1 1+ x2 2+ + xm m + 0 m+1+ + 0 n = 0. x1, x2, , xm, 0, , 0 不全为零，不全为零，则则 1, 2, , m , m +1 , , n 线性相关线性相关.由由 1, 2 , , m线性相关，知线性相关，知有不全为零的数有

21、不全为零的数 x1, x2, , xn 使使x1 1+ x2 2+ + xm m = 0.故故 1 , 2 , n 线性相关线性相关.47定理定理 若若 1, 2, , m线性相关，线性相关，部分部分相关，则整体相关相关，则整体相关整体无关，整体无关，则部分无关则部分无关则则 1, 2, , m , m +1 , , n 线性相关线性相关.等价命题等价命题则其任意一个部分组则其任意一个部分组线性无关。线性无关。若一个向量组若一个向量组线性无关，线性无关，48 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的的充分必要充分必要条件是条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向

22、量线性表示个向量线性表示m ,212 mm ,211 m证明证明 充分性充分性 设设m ,21即有即有112211 mmm 向量组线性无关的向量组线性无关的充分必要充分必要条件是其条件是其中任一个向量都不能由其余中任一个向量都不能由其余 m-1 -1 个向量线性表示个向量线性表示。m 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示）能由其余向量线性表示. .定理定理49故故 01112211 mmm 1,121 m 这这 个数不全为个数不全为0 0，m故故 线性相关线性相关. .m ,21必要性必要性设设 线性相关，线性相关，m ,21则有则有不全为不全为0 0的数使的数使 ,2

23、1mkkk. 02211 mmkkk 112211 mmm 50因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0 0，mkkk,21不妨设不妨设 则有则有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示. .1 则有则有不全为不全为0 0的数使的数使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 51定理定理: : 向量组向量组A: : 线性无关线性无关, ,而向量组而向量组B: : 线性相关线性相关, ,则向量则向量 必能由必能由向量组向量组A线性表示线性表示, ,且表示式是唯一的且表示式是唯一的. .m ,21 ,21m 向量组向量组B: : 线性相关线性

24、相关 ,21m证明证明则有不全为则有不全为0 0的数的数kkkkm,21若若k=0=0，则（，则（1 1）式变为：）式变为： ）（2. 02211 mmkkk ）（1. 02211 kkkkmm使使52则有不全为则有不全为0 0的数的数kkkkm,21若若k=0=0，则（，则（1 1）式变为：）式变为： ）（2. 02211 mmkkk 不全为零不全为零且且mkkk,21线性无关矛盾线性无关矛盾这与这与m ,210 k所以，由（所以，由（1 1）向量）向量 必能由向量组必能由向量组A线性表示线性表示. .）（1. 02211 kkkkmm使使 m ,21线性相关线性相关53）（）（若若4322

25、112211mmmmlllkkk mmmlklklk )()()(0)4()3(222111 ,21线性无关线性无关m , 0, 0, 02211 mmlklklk,2211mmlklklk 所以表示式是唯一的所以表示式是唯一的. .定理定理: : 向量组向量组A: : 线性无关线性无关, ,而向量组而向量组B: : 线性相关线性相关, ,则向量则向量 必能由必能由向量组向量组A线性表示线性表示, ,且表示式是唯一的且表示式是唯一的. .m ,21 ,21m 54线线性性表表示示，不不能能由由而而线线性性表表示示可可由由证证：线线性性无无关关而而线线性性相相关关32144321432321, 线线性性相相关关而而321, 线线性性无无关关432,)1( 线线性性无无关关32, 线线性性表表示示可可由由321, 线线性性表表示示可可由由4321, 例例,321线线性性相相关关 ,4321线线性性相相关关 ,432线线性性无无关关而而 线线性性表表示示可可由由4321, 55线线性性表表示示，不不能能由由而而线线性性表表示示可可由由证证：线线性性无无关关而而线线性性相相关关32144321432321, 线线性性表表