几何与代数：5-2 矩阵的相似对角化

1、1例例 .,2.11112221111为为对对角角阵阵使使求求可可逆逆阵阵的的特特征征值值和和特特征征向向量量求求设设APPPAA 解解(1)第一步第一步 写出矩阵写出矩阵A的特征方程的特征方程,求出特征值求出特征值. AI 0111222111 13rr 31cc 01112220 0111222101 2 022 . 2, 0321 第二步第二步 对每个特征值对每个特征值 代入齐次线性方程组代入齐次线性方程组 0 XAI 中中,求出一个基础解系求出一个基础解系., 021 1112221110AI 000000111 011222001 3自由未知量自由未知量: :32, xx TTpp0

2、 , 1 , 1,1 , 0 , 121 23 000210111111202113)2(AI自由未知量自由未知量: :3x Tp1 , 2, 13 第三步第三步写出全部特征向量写出全部特征向量2211pkpk 33pk).0(3常常数数 k),0,(21不不全全为为kk4(2)3 , 2 , 1, ipApiii 332211321321pppApApAppppA 321321 ppp 321pppP 取取02 P则则, PAP,1 APP 321 ?由由什什么么确确定定是是否否唯唯一一矩矩阵阵是是否否唯唯一一矩矩阵阵 P. 2, 0321 5一、相似矩阵的基本概念一、相似矩阵的基本概念 5

3、.2 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化 三、矩阵的相似对角化三、矩阵的相似对角化二、二、相似矩阵的性质相似矩阵的性质四、可相似对角化矩阵的应用四、可相似对角化矩阵的应用6使使如如果果存存在在可可逆逆矩矩阵阵阶阶矩矩阵阵都都是是与与设设,PnBABAPP 1. BABA，记为，记为相似相似与与则称则称;)1(AA反身性反身性；对称性对称性ABBA)2(.)3(CACBBA且且传递性传递性定义定义一、相似矩阵的定义与性质一、相似矩阵的定义与性质)(1111 BPPABAPP矩阵相似是一种矩阵相似是一种等价关系等价关系.7CBQQBAPP 11,APQPQBQQC111 )()(1PQAPQ 8定理

4、定理1 1 相似矩阵有相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征相同的特征多项式、相同特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩.1PAPB APPIBI1 PAIP 1PAIP 1.AI APPPIP11 AIBI ?证明证明，设设BA 使使得得可可逆逆阵阵则则,P A与与B特征多项式相同特征多项式相同, 因而特征值相同因而特征值相同.，BAPP 1BAPP 1BPAP 1.BA 二、二、相似矩阵的性质相似矩阵的性质9(1) 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似.其它的有

5、关相似矩阵的性质其它的有关相似矩阵的性质 （介绍介绍）BA ，BAPP 1.111 BPAP(2)若若A与与B相似，则相似，则kA与与kB相似相似.)(是是任任意意常常数数其其中中k10(4) 若若A与与B相似，而相似，而f(x)是一个多项式是一个多项式，则则 f(A)与与f(B)相似相似.(3) ., 为正整数为正整数相似相似与与则则相似相似与与若若mBABAmm1PAPB mB.1PAPm 因为因为APP1 APP1 APP1 APP1 m个个11111110 PIPaPBPaPPBaPPBannnnIaAaAaAaAfnnnn 1110)(nnnnaxaxaxaxf 1110)(.)(1

6、 PBPf11110)( PIaBaBaBaPnnnn11,0)6(1 APP0 A,1IAPP IA ,1kIAPP kIA 与与单位矩阵相似单位矩阵相似的的n阶矩阵只有单位阵阶矩阵只有单位阵I本身本身.与与数量矩阵数量矩阵kI 相似的相似的n阶方阵只有数量阵阶方阵只有数量阵kI本身本身.)( )(,)( 1112121121211kBPkAPBBPAAPBBPAAP ，则则, )5(221111BPAPBPAP 若若12有有对于对角矩阵对于对角矩阵, ,21 knkkk,)()()()(21 n 利用对角矩阵计算矩阵多项式利用对角矩阵计算矩阵多项式IAAaaAaAannnn 1110)(

7、为为对对角角阵阵若若 APP1,1 PPAkk可以很方便地计算可以很方便地计算矩阵矩阵A 的多项式的多项式.)()(1 PPA 13例例.,00020001,11322002yxBAyBxA相似，求相似，求与与若若设设 x=0，y=-2.解解相似，相似，与与BA，BA )()(BtrAtr 112)2(2yxyx即即14三、矩阵的相似对角化三、矩阵的相似对角化 nA 21设矩阵设矩阵.21的全部特征值的全部特征值是是，则则An 定理定理215nI 21 n 21.21n ，的全部特征值是：的全部特征值是： ，的特征值相同的特征值相同与与 A.21nA ，的全部特征值是：的全部特征值是：证证16

8、定理定理3 n阶矩阵阶矩阵A与对角矩阵相似的与对角矩阵相似的充分必要条件充分必要条件是是A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 .：个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量有有设设nA,21nPPP nipAPiii, 2 , 1 ,21nPPPP 令令 n 21, PAP则则 nA 21证证充充分分性性 APP117 nAPP 211设设 PAP则则 nPPPP21 设设 nnnPPPAPAPAP 221121 则则 niPAPiii, 2 , 1 .,21个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量的的是是nAPPPn必要性必要性18(1)若若 A 可对角化，即可对角化，即 A 相似

9、于对角阵相似于对角阵 , 则则 的主对角元素就是的主对角元素就是 A 的全部特征值的全部特征值. (2)若若 A 可对角化，则由可对角化，则由 A 的的 n 个线性无关的特个线性无关的特征向量征向量 p1, p2, , pn 可构造可构造 P = (p1, p2, , pn )，使使 P 1AP = . 若不记特征值若不记特征值 排列的顺序，则排列的顺序，则 是唯一是唯一的，称的，称 为为 A 的的相似标准形相似标准形.显然显然 P 不唯一不唯一.注意注意19定理定理4 矩阵矩阵 A 不同特征值的特征向量线性无关不同特征值的特征向量线性无关 .,222111mmmAAA 设设.21互不相同互不

10、相同，且且m )1(.02211 kk设设 22112211 AkAkkkA 则则)2(0222111 kk)3(0)1(212111 kk：又由式又由式 0:)3()2(2122 k,0221 且且,0,012 kk同理，同理，.,21线性无关线性无关 .21线性无关线性无关，由归纳法可证：由归纳法可证：m 证证时，时，当当2 m20推论推论1 如果矩阵如果矩阵 A 的特征值都是特征单根，则的特征值都是特征单根，则 A 与对角矩阵相似与对角矩阵相似 .的互异特征值，的互异特征值，是是，设设，An 21是它们对应的特征向量是它们对应的特征向量n ,21.与对角矩阵相似与对角矩阵相似A证证，线性

11、无关线性无关，则则，n 21(逆命题不成立逆命题不成立)矩阵与对角矩阵相似的充分条件矩阵与对角矩阵相似的充分条件(1)有有n个不同的特征值；个不同的特征值；或或(2)有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. .212推论推论，的线性无关特征向量的线性无关特征向量是是iiriii ,21.,11111线性无关线性无关，则则kkrkr 的不同特征值，的不同特征值，是矩阵是矩阵设设Ak ,21,21nrrrk 如果如果个线性无关个线性无关有有则则nA的特征向量，的特征向量，则则A可对角化可对角化. .,21nrrrk 如果如果个线性无关个线性无关没有没有则则nA的特征向量，的特征向量，则则A

12、不可对角化不可对角化.22推论推论3 n 阶矩阵阶矩阵 A 与对角矩阵相似与对角矩阵相似 的的重特征值，则重特征值，则的的是是若若0 XAIkAiii .个解向量组成个解向量组成基础解系由基础解系由ik .iiknAIR ，的全部互异特征值的全部互异特征值是是，设设分析：分析：Ar 21.21nkkkr 则则23.300000321xxA，求求个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量有有设设 例例)1(2 AI解解1,(0 二二重重）,20个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量一一定定有有 ，个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量有有3A123)0( AIR2dim0 V时时，当当0 .

13、0 x1)( AR即即24设设 .0011100为对角阵为对角阵 yxA求求x与与y应满足的条件应满足的条件 .)1()1(01110 2 yxAI.1(121 ，二重）二重）向向量量有有两两个个线线性性无无关关的的特特征征对对角角阵阵1 A1)(1 AIR 解解25 10101011yxAI 00000101yx01)(1 yxAIR .0 yx即即2131,rxrrr 0011100yxA26 163053064A设设A能否对角化能否对角化？若能对角若能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例.1为为对对角角阵阵使使APP 解解163053064 AI 212 . 2),( 121 二

14、重二重的特征值为的特征值为所以所以A27 得方程组得方程组代入代入二重二重将将0)( 11 XAI 063063063212121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系,0121 .1002 163053064 AI28 得得方方程程组组的的基基础础解解系系代代入入将将, 022 XAI .1 , 1 , 13 T .,321线性无关线性无关由于由于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A29注意注意 , ,213 P若令若令111 012 100. 1 APP则则有有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中

15、特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要要相互对应相互对应P30设矩阵设矩阵0aaaaaaaaaaA.能否与对角矩阵相似能否与对角矩阵相似并判断并判断，的特征值与特征向量的特征值与特征向量求求AAaaaaaaaaaAI 解解31aaaaaananana aaaaaana 111 0000111na ,1 nna .10,21重重 nna 32 .10,21重重 nna 即即, 01 XAI 00011121nxxxanaaaanaaaan T11,1,1 .01111 kk ：对应的特征向量为对应的特征向量为33 aaaaaaaaaAI2 021 nxxx ,0,0,0,1,1T2 ,0

16、,0,1,1,0T3 .1,1,0,0,0T n .能与对角矩阵相似能与对角矩阵相似，个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有nA 00000011134例例 下列矩阵能否与对角矩阵相似下列矩阵能否与对角矩阵相似 . 284014013,112202213,122212221CBA 311122212221 AIA diag ( 1 , -1 , 3 ).解解.与对角矩阵相似与对角矩阵相似A3511222213 BI 21 .1,021二重二重 2122122122BI ,21321xxx .1, 0, 1,0, 2, 132TT B diag ( 0 , 1 , 1 ).,0000001

17、211 .与对角矩阵相似与对角矩阵相似B 112202213B36284014013 CI 212 2,121 二重二重 ,21 CIR .不能与对角矩阵相似不能与对角矩阵相似C 284014013C 3840240121CI ,000024384 1dim1 V37把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义化，而且在理论和应用上都有意义.可对角化的矩阵主要有以下可对角化的矩阵主要有以下几种应用：几种应用：例例 已知方阵已知方阵A的特征值是的特征值是1230,1,3,相应的特征向量是相应的特征向量是1231111 ,0,2

18、 ,111 求矩阵求矩阵A. .四、可相似对角化矩阵的应用四、可相似对角化矩阵的应用38因为特征向量是因为特征向量是3维向量，所以矩阵维向量，所以矩阵A是是3阶方阵阶方阵.因为因为A有有3个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以A可以对角化可以对角化.解解即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵P, 使得使得1PAP 其中其中111102 ,111P 01,3 求得求得1111333110,22111636P 1APP 110121011 39例例 设矩阵设矩阵,163053064 A.10A求求163053064 AI .1,221二二重重 3630330661AI T1, 1, 11 解解 212 0

19、00110101,3231xxxx 40 0630630632AI 32102xxx .1, 0, 0,0, 1, 232TT 101011021321 P令令 1121APP则则,000000021 411 PPA11010 PPA 121011021111024101011021 12046102302047102302046102242.,111222111100AA求求设设 解解第一步第一步: :写出矩阵写出矩阵A的特征方程的特征方程, ,求出特征值求出特征值 AI 0111222111 , 01112220 022 2),(021 二重二重, 0111222101 , 0110220

20、01 43第二步第二步:对每个特征值对每个特征值 代入齐次线性方程组代入齐次线性方程组 0 XAI 中中,求出一个基础解系求出一个基础解系.),(01二二重重 111222111 000000111 A自由未知量自由未知量:32, xx TTpp0 , 1 , 1,1 , 0 , 121 , 23 000210111111202113)2(AI自由未知量自由未知量:3x Tp1 , 2, 13 44 ,321pppP 取取, PAP则则,1 APP,321 2121211012121211P1 PPA 9999991001001009999991100100222222222PPA第三步第三步

21、:45例例 设设A是是n阶方阵，阶方阵， 是是A的的n个特征值个特征值，2,4,2n计算计算解解( )3f xx设设A的特征值是的特征值是2,4,2n,即即2 ,ii .3IA 求求 的全部特征值，的全部特征值，IA3 的特征值是的特征值是()23ifi IA3 niiIA1)32(3).32(31)1( n再求乘积即为行列式的值再求乘积即为行列式的值. .46解解B的特征值为的特征值为(1)1(2)3(3)19fff 令令3( )31f xxx3阶矩阵阶矩阵B有有3个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以B可以对角化可以对角化.例例 已知已知3 3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为1，2，3，设设问矩阵问矩阵B能否与对角阵相似？能否与对角阵相似？,33IAAB ,3)(3