电工学 （电工技术）第七版：第四章 电路的若干定理

1、第四章第四章 电路的若干定理电路的若干定理叠加定理叠加定理替代定理替代定理戴维南定理和诺顿定理戴维南定理和诺顿定理最大功率传输定理最大功率传输定理叠加定理：叠加定理： 在在线性电路线性电路中，任一支路电流（或电压）都是电路中，任一支路电流（或电压）都是电路 中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流（或中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流（或 电压）的代数和。电压）的代数和。 4.1 4.1 叠加定理（叠加定理（Superposition Theorem） 单独作用：一个电源作用，其余电源不作用单独作用：一个电源作用，其余电源不作用 不作用不作用的的 电压源电压源（uS=0) 短路短

2、路 电流源电流源 (iS=0) 开路开路 举例证明定理举例证明定理 ibiaR2+R3+R1+uS1uS2uS3i1i1 = i11 + i12 + i13证明证明 ib2ia2R2+R3R1uS2i12ib3ia3R2R3+R1uS3i13ib1ia1R2R3R1+uS1i11uS1单独作用单独作用 uS2单独作用单独作用 uS3单独作用单独作用 R11ia+R12ib=uS11R21ia+R22ib=uS22其中其中R11=R1+R2R12= R21= - -R2R22=R2+R3 uS11=uS1- -uS2uS22=uS2- -uS3S1112S22222212aS11S2211122

3、122 uRuRRRiuuRRRR 1112212211221221RRRRR RR R 22122212S1S2S3RRRRuuu 由回路法由回路法ibiaR2+R3+R1+uS1uS2uS3i1R11ia1+R12ib1=uS1R21ia1+R22ib1=0R11ia2+R12ib2=-uS2R21ia2+R22ib2=uS2R11ia3+R12ib3=0R21ia3+R22ib3=-uS3S11222a11112212222S10 uRRiRRRRRu S212S222a2111221222212S2S21222S2() uRuRiRRRRRRuuRRu 12S322a311122122

4、12S312S30() RuRiRRRRRuRu ib2ia2R2+R3R1uS2i12ib3ia3R2R3+R1uS3i13ib1ia1R2R3R1+uS1i1122122212S1S2S3RRRRuuu S1112S22222212aS11S2211122122 uRuRRRiuuRRRR ia = ia1 + ia2 + ia3证得证得 即回路电流满足叠加定理即回路电流满足叠加定理 。 S11222a11112212222S10 uRRiRRRRRu S212S222a2111221222212S2S21222S2() uRuRiRRRRRRuuRRu 12S322a3111221221

5、2S312S30() RuRiRRRRRuRu 推广到有推广到有 l 个回路的电路个回路的电路 11S1111S1SljjjjlllllljRuRRuRRuRi 第第j列列12S11S22SSjjjjljjjlluuuu第第 j 个回路的回路电流个回路的回路电流 llllljljljjljljjjjlljjuiRiRiRuiRiRiRuiRiRiRS11S1111S11111 同样同样可以证明可以证明：线性电阻电路中任意支路的电压：线性电阻电路中任意支路的电压等于各电源（电压源、电流源）在此支路产生的电压等于各电源（电压源、电流源）在此支路产生的电压的代数和。的代数和。12S11S22SjjS

6、jjjjljlluuuuuS1 uSb把把 uSi 的的系数合并为系数合并为GjiiijijuGiSb1 b21jjijjiiii 支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。第第i个电压源单独作用时在个电压源单独作用时在第第j 个回路中产生的回路电流个回路中产生的回路电流例例1 用叠加定理求图中电压用叠加定理求图中电压u。 +10V4A6 +4 u解解(1) 10V电压源单独作用，电压源单独作用， 4A电流源开路电流源开路4A6 +4 u u =4V (2) 4A电流源单独作用，电流源单独作用， 10V电压源短路电压源短路u = -

7、 -4 2.4= - -9.6V 共同作用：共同作用：u=u +u = 4+(- - 9.6)= - - 5.6V +10V6 +4 u(1) 10V电压源单独作用：电压源单独作用：(2) 4A电流源单独作用：电流源单独作用：解解例例2用叠加定理求电压用叠加定理求电压US 。+10V6 I14A+US+10 I14 10V+6 I1+10 I14 +US6 I1 4A+US +10 I1 4 US = - -10 I1 +U1 = - -10 I1 +4I1 = - -10 1+4 1= - -6V US = - -10I1 +U1 = - -10 (- -1.6)+9.6=25.6V共同作用

8、：共同作用：US= US+US = - -6+25.6=19.6V A146101 IA6 . 146441 IV6 . 9464641 UUS = - -10 I1+U1US = - -10I1 +U1 10V+6 I1+10 I14 +US6 I1 4A+US +10 I1 4 +U1 +U1下 页上 页求电压源的电流及功率求电压源的电流及功率例例14 2A70V10 5 2 +I解解画出分电路图画出分电路图返 回2A电流源作用，电桥平衡：0)1(I70V电压源作用：A157/7014/70)2(IA15)2()1(III下 页上 页I (1)4 2A10 5 2 4 70V10 5 2

9、+I (2）两个简单电路1050W1570P应用叠加定理使计算简化返 回例例2计算电压计算电压u3A电流源作用：电流源作用：下 页上 页解解u12V2A1 3A3 6 6V画出分电路图画出分电路图u(2)i (2)12V2A1 3 6 6V1 3A3 6 u(1)V93) 13/6()1(u其余电源作用：其余电源作用：A2)36/()126()2(iV81266)2()2( iuV1789)2() 1 (uuu返 回 叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。几个独立源同时作用，取决

10、于使分析计算简便。下 页上 页注意注意例例3计算电压计算电压u、电流电流i。解解画出分电路图画出分电路图u（1）10V2i(1)1 2 i（1）受控源始终保留u10V2i1 i2 5Au(2)2i (2)i (2)1 2 5A返 回 ) 12/()210()1()1(iiV6321)1()1()1()1(iiiuA2)1(i10V电源作用：电源作用：下 页上 页u（1）10V2i(1)1 2 i（1）5A电源作用：电源作用： 02)5(12)2()2()2(iiiA1)2(iV2) 1(22)2()2(iuV826uA1) 1(2iu(2)2i (2)i (2)1 2 5A返 回1.叠加定理只

11、叠加定理只适用于适用于线性电路线性电路求求电压电压和和电流电流； 不适用不适用于于非线性电路非线性电路。 不能不能用叠加定理求用叠加定理求功率功率(功率为电源的二次函数功率为电源的二次函数)。2. 应用时电路的结构参数必须应用时电路的结构参数必须前后一致前后一致。应用叠加定理时注意以下几点：应用叠加定理时注意以下几点：5. 叠加时注意叠加时注意参考方向参考方向下求下求代数和代数和。3. 不作用的电压源不作用的电压源短路短路；不作用的电流源；不作用的电流源开路。开路。4. 含受控源含受控源(线性线性)电路亦可用叠加，电路亦可用叠加，受控源受控源应始终应始终保留保留。6. 可以把电源分组叠加可以把

12、电源分组叠加(每个电源只能作用一次每个电源只能作用一次) 齐性定理（齐性定理（homogeneity property）线性电路中，线性电路中，所有所有激励都增大激励都增大(或减小或减小)同样的倍数，则电路同样的倍数，则电路中响应也增大中响应也增大(或减小或减小)同样的倍数。同样的倍数。当电路中只有当电路中只有一个激励一个激励(独立源独立源)时，则时，则响应响应(电压或电流电压或电流)与激与激励成正比励成正比。已知：如图。已知：如图。求：电压求：电压 UL。 例例3R1R3R5R2RL+ +USR4+ +UL叠加定理推广叠加定理推广解解设设 IL = 1A法二：分压、分流。法二：分压、分流。法

13、三：电源变换。法三：电源变换。法四：用齐性原理（单位电流法）法四：用齐性原理（单位电流法）例例3+ +ULR1R3R5R2RL+ +USR4ILU +- -U K = US/ U UL= K RLIL= K A法一：节点法、回路法。法一：节点法、回路法。iR1R1R1R2RL+usR2R2例例采用倒推法：设采用倒推法：设 i=1A则则求电流求电流 iRL=2 R1=1 R2=1 us=51V，+2V2A+3V+8V+21V+us=34V3A8A21A5A13Ai =1AA5 . 113451 ssssiuuiuuii即即解解下 页上 页返 回叠加定理的各种形式总结叠加定理的各种形式总结RuS1

14、r1RuS2r2uS1uS2rRk uS1k uS2k rR叠加叠加齐次齐次r1+ r2uS1uS2RRk1 uS1k1 r1Rk2 uS2k2 r2线性线性k2 uS2k1 r1+ k2 r2Rk1 uS14.2 4.2 替代定理（替代定理（Substitution Theorem） 任意一个电路，其中第任意一个电路，其中第k k条支路的电压已知为条支路的电压已知为uk（电（电流为流为ik），那么就可以用一个电压等于），那么就可以用一个电压等于uk的理想电压源（的理想电压源（电流等于电流等于ik的独立电流源）来替代该支路，替代前后电路的独立电流源）来替代该支路，替代前后电路中各处电压和电流均

15、保持不变。中各处电压和电流均保持不变。 替代替代定理定理 Aik+uk支支路路 k A+ukikA证明证明:ukukAik+uk支支路路 k+ACBAik+uk支支路路 kABAC等电位等电位+ukAik+ukAB例例求图示电路的支路电压和电流求图示电路的支路电压和电流解解A10 10/)105(5/1101iA65/312 iiA45/213 iiV60102iu替替代代替代以后有：替代以后有：A105/ )60110(1iA415/603i替代后各支路电压和电流完全不变。替代后各支路电压和电流完全不变。下 页上 页i310 5 5 110V10 i2i1u注意注意i310 5 5 110V

16、i2i1返 回例例1若使若使试求试求Rx,81IIx 替代定理的应用替代定理的应用解解用替代：用替代：=+下 页上 页+U0.5 0.5 1 I0.5 0.5 0.5 0.5 1 I81U+0.5 0.5 10V3 1 RxIx+UI0.5 0.5 0.5 1 I0.5 I81返 回IIIU1 .05 .05 .25 .115 .21IIU075. 01815 . 25 . 1 下 页上 页U=U+U=(0.1- -0.075)I=0.025IRx=U/0.125I=0.025I/0.125I=0.2 +U0.5 0.5 1 I0.5 0.5 0.5 0.5 1 I81U+返 回例例2求电流求

17、电流I1解解用替代：用替代：A5 . 26154242671I下 页上 页6 5 7V3 6 I1+1 2 +6V3V4A4 2 4 4A7VI1返 回例例3已知已知: :uab=0, 求电阻求电阻R解解用替代：用替代：A1033abIIu用结点法：用结点法：14201)4121( aau点点V8bauuA11IA211R IIV12820bCRuuu6212R下下 页页上上 页页R8 3V4 b2 +a20V3 IV20CuR8 4 b2 +a20V1AcI1IR返返 回回例例 已知如图。现欲使负载电阻已知如图。现欲使负载电阻RL的电流为电源支路电流的电流为电源支路电流I的的1/6， 求此电

18、阻值。求此电阻值。4 +- -USRRLII/64 8 方法一：方法一：II/64 4 8 替代替代RLRL=9 RLII/61 2 2 L263IIR 替代替代方法二：方法二：LL1.59/6/6RUIRII叠加叠加+LLL4 1241.526412RRRIIUUUI II/64 4 8 +- -LRUI4 4 8 +- -LRUI/64 4 8 +- -LRU例例4用多大电阻替代用多大电阻替代2V电压源而不影响电路的工作电压源而不影响电路的工作解解0.5AII1应求电流应求电流I，先化简电路。先化简电路。622210)512121( 1uV52 . 1/61uA5 . 12/ )25(1I

19、A15 . 05 . 1I21/2R应用结点法得：应用结点法得：下 页上 页10V2 +2V2 5 14 4V10 3A2 +2V2 10 返 回例例5已知已知: : uab=0, 求电阻求电阻R解解00 cdababiiu用开路替代，得：用开路替代，得：V105 . 020 bdu短路替代短路替代V10 acuV3010120 RuA214/ )3042( Ri15230 RRiuR下 页上 页1A4 42V30 60 25 10 20 40 baR0.5Adc返 回应用替代定理注意：应用替代定理注意： 1. 替代定理适用于线性、非线性电路、定常和时变电路。替代定理适用于线性、非线性电路、定

20、常和时变电路。1) 原电路和替代后的电路必须有唯一解。原电路和替代后的电路必须有唯一解。2. 替代定理的应用必须满足的条件替代定理的应用必须满足的条件:1.5A2.5A1A10V5V2 5 10V5V2 2.5A5V+？3）未被替代支路的相互连接及参数不能改变。）未被替代支路的相互连接及参数不能改变。 2) 被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系。被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系。返回目录返回目录4.3 4.3 戴维宁定理和诺顿定理戴维宁定理和诺顿定理工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电压、电流工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电路的其

21、余部分就或功率的问题。对所研究的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路( (电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路), ), 使分析和计使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。及其计算方法。下 页上 页返 回1. 1. 戴维宁定理戴维宁定理任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源以用一个

22、电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压的电压等于外电路断开时端口处的开路电压uoc，而电阻等，而电阻等于一端口的输入电阻（或等效电阻于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。）。下 页上 页abiu+- -AiabReqUoc+- -u+- -返 回例例下 页上 页10 10 +20V+Uocab+10V1A5 2A+Uocab5 15VabReqUoc+- -应用电源等效变换应用电源等效变换返 回I例例(1) (1) 求开路电压求开路电压Uoc(2) (2) 求输入电阻求输入电阻ReqA5 . 0201020 I510/10 eqRV1510105 .

23、 0 ocU下 页上 页10 10 +20V+Uocab+10V5 15VabReqUoc+- -应用戴维宁定理应用戴维宁定理 两种解法结果一致，戴维宁定理更具普两种解法结果一致，戴维宁定理更具普遍性。遍性。注意注意返 回2.2.定理的证明定理的证明+替代替代叠加叠加A中中独独立立源源置置零零下 页上 页abi+uNAuab+Aocuu iRueq abi+uNuabi+AReq返 回iRuuuueqoc 下 页上 页i+uNabReqUoc+- -返 回3.3.定理的应用定理的应用（1 1）开路电压）开路电压Uoc 的计算的计算 等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零等效电阻为将一端口网

24、络内部独立电源全部置零( (电压源短路，电流源电压源短路，电流源开路开路) )后，所得无源一端口网络的输入电阻。常用下列方法计算：后，所得无源一端口网络的输入电阻。常用下列方法计算：（2 2）等效电阻的计算）等效电阻的计算 戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc，电压，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算源方向与所求开路电压方向有关。计算Uoc的方法视电路形式选择前面学过的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。的任意方法，使易于计算。下下 页页上上 页页返返 回回2 23 3方法更有一般性。方法更有一般性

25、。 当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和Y互换的方法计算等互换的方法计算等效电阻；效电阻； 开路电压，短路电流法。开路电压，短路电流法。 外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）；外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）；iuReq scoceqiuR 下 页上 页uabi+NReqiabReqUoc+- -u+- -abui+NReq返 回外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变络的等效电路不变( (伏伏- -安特性等效安特性等效) )。

26、当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。一部分电路中。下 页上 页注意注意例例1 计算计算Rx分别为分别为1 1.2 、5.2 时的电流时的电流I IIRxab+10V4 6 6 4 解解断开断开Rx支路，将剩余一端口网络化支路，将剩余一端口网络化为戴维宁等效电路：为戴维宁等效电路：返 回 求等效电阻求等效电阻ReqReq=4/6+6/4=4.8 Rx =1.2 时，时，I= Uoc /(Req + Rx) =0.333ARx =5.2 时，时，I= Uoc /(Req + Rx) =0.2A下下

27、 页页上上 页页Uoc = U1 - - U2 = - -10 4/(4+6)+10 6/(4+6) = 6- -4=2V 求开路电压求开路电压b+10V4 6 6 4 +- -UocIabUoc+RxReq+ U1 - -+ U2- -b4 6 6 4 +- -Uoc返返 回回求电压求电压Uo例例2解解 求开路电压求开路电压UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9V 求等效电阻求等效电阻Req方法方法1 1：加压求流：加压求流下 页上 页3 3 6 I+9V+U0+6I3 6 I+9V+U0C+6I3 6 I+U+6IIo独立源置零独立源置零U=6I+3I=9II=Io 6/(6+

28、3)=(2/3)IoU =9 (2/3)I0=6IoReq = U /Io=6 返 回方法方法2 2：开路电压、短路电流：开路电压、短路电流(Uoc=9V)6 I1 +3I=96I+3I=0 0I=0Isc=I1=9/6=1.5AReq = Uoc / Isc =9/1.5=6 独立源保留独立源保留下 页上 页3 6 I+9V+6IIscI1U0+- -+- -6 9V3 等效电路等效电路V333690U返 回 计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。体问题具体分析，以计算简便为

29、好。求求负载负载RL消耗的功率消耗的功率例例3解解 求开路电压求开路电压Uoc下下 页页上上 页页注意注意100 50 +40VRL+50VI14I150 5 100 50 +40VI14I150 返返 回回A1 . 01IV101001ocIU 求等效电阻求等效电阻Req用开路电压、短路电流法用开路电压、短路电流法A4 . 0100/40scI254 . 0/10scoceqIUR下 页上 页100 50 +40VI150 200I1+Uoc+Isc100 50 +40VI150 200I1+40100200100111IIIIsc50 +40V50 返 回已知开关已知开关S例例41 A2A

30、2 V4V求开关求开关S打向打向3 3，电压，电压U等于多少。等于多少。解解V4A 2ocScUi2eqRV1141)52(U下 页上 页UocReq5 50VIL+10V25 A2306052550ocLUIW204552LLIPAV5 U+S1321A线性线性含源含源网络网络+- -5 U+1A2 4V+返 回任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，电阻等阻的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，电阻等于该一端口的输入电阻。于该一

31、端口的输入电阻。4. 4. 诺顿定理诺顿定理一般情况，诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。诺一般情况，诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。下 页上 页abiu+- -AabReqIsc注意注意返 回例例1求电流求电流I 求短路电流求短路电流IscI1 =12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6AIsc=- -I1- -I2=- - 3.6- -6=- -9.6A解解 求等效电阻求等效电阻ReqReq =10/2=1.67 诺顿等效电路诺顿等效电路: :应 用 分 流应

32、 用 分 流公式公式I =2.83A下 页上 页12V2 10 +24V4 I+Isc12V2 10 +24V+Req2 10 I1 I24 I- -9.6A1.67 返 回例例2求电压求电压U 求短路电流求短路电流Isc解解 本题用诺顿定理求比较方便。因本题用诺顿定理求比较方便。因a、b处的短路电流比开路电压容易求。处的短路电流比开路电压容易求。下 页上 页ab3 6 +24V1A3 +U6 6 6 A363366/3242136/624scIIscab3 6 +24V3 6 6 6 返 回 466/3/63/6eqR下 页上 页 求等效电阻求等效电阻Reqab3 6 3 6 6 6 Req

33、 诺顿等效电路诺顿等效电路: :V164) 13(UIscab1A4 U3A返 回下 页上 页 若一端口网络的等效电阻若一端口网络的等效电阻 Req= 0，该，该一端口网络只有戴维宁等效电路，一端口网络只有戴维宁等效电路，无诺顿等效电路。无诺顿等效电路。注意注意 若一端口网络的等效电阻若一端口网络的等效电阻 Req= ，该，该一端口网络只有诺顿等效电路，无一端口网络只有诺顿等效电路，无戴维宁等效电路。戴维宁等效电路。abAReq=0UocabAReq= Isc返 回小结：小结： （1）戴维南等效戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断电路中电压源电压等于将外电路断开时开时 的的开路电压开路电压

34、Uoc，诺顿等效诺顿等效电路中电流源电流等电路中电流源电流等于将外电路短路时的于将外电路短路时的短路电流短路电流Isc ，电压源，电压源(电流源电流源)方方向与所求开路电压（短路电流）方向相同。向与所求开路电压（短路电流）方向相同。 （2）串联（并联）电阻为将一端口网络内部独立电串联（并联）电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零（电压源短路，电流源开路）后，所得入源全部置零（电压源短路，电流源开路）后，所得入端等效电阻。端等效电阻。 等效电阻的计算方法：等效电阻的计算方法： a. 当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法 计算；计算； b. 端口加电压求电流法或加电流求电压法（内部独立电端口加电压求电流法或加电流求电压法（内部独立电 源置零）。源置零）。 c. 等于端口的开路电压与短路电流的比（内部等于端口的开路电压与短路电流的比（内部 独立电源独立电源保留）保留） 。 （3） 当一端口内部含有受控源时，控制支路与受控源当一端口内部含有受控源时，控制支路与受控源 支支路必须包含在被等效变换的同一部分电路中。路必须包含在被等效变换的同一部分电路中。 4.4 4.4 最大功率传输定理最大功率传输定理一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载一个含源线