概率论2-3 离散型随机变量

1、2.4 连续型随机变量连续型随机变量n连续型随机变量连续型随机变量 取值是某个区间或整个实数集；取值是某个区间或整个实数集； 取值不能一一列出；取值不能一一列出； 对于这种变量，我们关心的是它的取值落对于这种变量，我们关心的是它的取值落在某个区间的概率。在某个区间的概率。n离散型随机变量离散型随机变量 取值是有限个或可列个，可一一列出；取值是有限个或可列个，可一一列出； 变量的每一个可能取值都能计算出概率。变量的每一个可能取值都能计算出概率。2.4.1 2.4.1 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度定义定义 如果对于随机变量如果对于随机变量X 的分布函数的分布函数F(x)， 存在

2、非负可积函数存在非负可积函数 f (x)，使得对于任意，使得对于任意 实数实数 x，有，有则称则称 X 为为连续型随机变量连续型随机变量，其中函数其中函数 f (x) 称称为为X 的的概率密度函数概率密度函数,简称简称概率密度概率密度.xdttfxF,)()(连续型随机变量连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定由其密度函数唯一确定 由定义知道，概率密度由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：具有以下性质：. 0)(10 xf. 1)(20dxxff (x)0 x1)( .)()()(3211221021xxdxxfxFxFxXxPxxf (x)x01x2x).()()(40 xfxFx

3、xf处连续，则有在点若注注 意意 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是密度函数不是概率！概率！我们不能认为： ！afaXP，对任意的实数是连续型随机变量，则设aX0 aXP有连续型随机变量的一个重要特点连续型随机变量的一个重要特点证明： 所以有0 aXP aanndxxf1limP Xa1limnP aXan说 明由上述性质可知，对于连续型随机变量，我由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们

4、所关心的是它在某一区间上取值的问题我们所关心的是它在某一区间上取值的问题 ，的密度函数为若已知连续型随机变量xfXP(a X b)= P(aX b)=P(a X b)=P(aX0,t0，有，有()()()()().s ttsP XsteP Xst XseP XseP Xt例例5 5设设X X服从参数为服从参数为3 3的指数分布，求它的概率密度的指数分布，求它的概率密度及及023610( 12)031xPXdxedxe 和和(1)P X 330( )00 xexf xx解解X X的概率密度的概率密度3311(1)( )3xP Xf x dxedxe( 12)PX 2112()( )xxP xXx

5、f x dx例例6 若已使用了若已使用了t(t0)小时的电子管，在以后小时的电子管，在以后t小时内失效的（条件）概率为小时内失效的（条件）概率为 ，其中，其中 是是不依赖于不依赖于t的正数。假定电子管寿命为零的概率是零，的正数。假定电子管寿命为零的概率是零，求电子管在求电子管在t0小时内失效的概率。小时内失效的概率。()tot 解解 设设T为电子管的寿命，则由题目的条件得为电子管的寿命，则由题目的条件得()()P tTtt Tttot 故有故有(,)(),()P tTtt TttotP Tt ()(),()P tTtttotP Tt ()( )(),1( )F ttF ttotF t ()(

6、)()1( ),F ttF totF ttt等式两边分别求等式两边分别求 的极限，可得的极限，可得0t 00()( )()limlim1( ),ttF ttF totF ttt ( )1( )F xF t分离变量，求解微分方程可得分离变量，求解微分方程可得1ln1( )F ttC即即1( )tF tCe 由于电子管寿命为零的概率为零，故初始条件由于电子管寿命为零的概率为零，故初始条件为为F(0)=0，从而，从而C1，对，对t0有有( )1tF te 所以电子管在所以电子管在t0小时内失效的概率为小时内失效的概率为000()( )1tP TtF te 3 3正态分布正态分布X如果连续型随机变量的

7、密度函数为 22212xf xex 0 其中，为参数 ，xf (x)02X则称随机变量服从，参数为，的正态分布记作2XN，标准正态分布标准正态分布为标准正态分布，我们称，若1010N数为标准正态分布的密度函 xexx2221密度函数的验证下面验证： 121222dxedxxfx首先验证： 12122dxedxxx222dxex或验证：2222dxexdyedxedxeyxx2222222dydxeeyx 2222dydxeyx 222只需证明22222200 xyredxdyderdr 0222re2222dxex因此，cossinxryr作极坐标变换：， 则有下面验证：121222dxexd

8、xedxexx2222122121则有1dueu2221xdxudu作变换：， 则综上所述， xexfx22221 f x满足密度函数的两项基本条件，因此确是一个密度函数正态分布密度函数的图形性质 我们有：由高等数学中的知识，数对于正态分布的密度函xexfx22221hXPXhPhx，有这表明：对于任意的对称，曲线关于直线0 xf (x)0hh 越小落在该区间中的概率就变量越远时，随机间离同样长度的区间，当区对于的值就越小这表明，越远，离取到最大值时，当Xxfxfxfx21 yf xxyf xOx曲线在处有拐点；曲线以轴为渐近线 f xxyf x若 固定，而改变的值，则的图形沿轴平行移动，但不

9、改变其形状因此图形的位置完全由参数 所确定 的取值越分散形越平坦，这表明的图越大时，当附近的概率越大；反之落在图形越陡，因而越小时，可知，当的最大值为的值，由于固定，而改变若XxfyXxfyfxf21xf (x)01正态分布的重要性正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服

10、从正态分布则该随机指标一定服从或近似服从正态分布正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的许多分布所不具备的正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布可以作为许多分布的近似分布标准正态分布的计算，则其密度函数为，如果随机变量10 NX ,2122xex xdtedttxxtx2221其分布函数为标准正态分布的计算（续） 0 xxP Xx对于我们可直接查表求出0 x 如果，我们可由公式 2212txxxt dtedt x0)(xx-xtudtdu 作变换，得2212uxxedu 22112uxedu 2212uxedu 1x 一般正态分布的计算2XN设，则2221( )2txF xedttdtydy令，则，代入上式，得221( ).2xyxF xedy 122112, ()-().xxx - x - P x Xx=故对任意的有()()()baP aXb 一般正态分布的区间概率一般正态分布的区间概率()()bP Xb ()1()aP Xa ( )x为标准正态分布函数n 。n 。n 。2( ,)XN X X的取值几乎都落入以的取值几乎都落入以 为中心，以为中心，以3 3 为半径为半径的区间内。这是因为：的